二級倒立擺的LQR控制器的設(shè)計(jì)與仿真案例分析1.1設(shè)計(jì)思想來源最優(yōu)控制的思想是我國當(dāng)前最先進(jìn)的控制理論的技術(shù)基礎(chǔ)和理論核心,它已經(jīng)不斷發(fā)展在達(dá)到了現(xiàn)代經(jīng)典運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)理論基礎(chǔ)及其系統(tǒng)極點(diǎn)運(yùn)動(dòng)配置控制方法之后,成功地研究解決了一種僅僅是適用于單元一輸入、雙輸出極點(diǎn)運(yùn)動(dòng)配置控制方法的用于系統(tǒng)極點(diǎn)能源消耗較少的系統(tǒng)極點(diǎn)運(yùn)動(dòng)控制配置方法。它所指的需要幫助解決的一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)既或具有或很可能或者是一個(gè)線性的,也或很有可能或者是非線性的,定?；蛘哒f都可能是一個(gè)時(shí)變。該控制思想目前正在討論的重要關(guān)注點(diǎn)之一就是:在受到一些未知的不可控的約束時(shí),尋求一種最優(yōu)的控制策略,使得某些性能指標(biāo)都可以采用極大化值或者采用極小值。其在現(xiàn)代控制理論中,其對于處理和優(yōu)化問題的可靠性和能力都是不可以被替代的。它在傳統(tǒng)的極點(diǎn)綜合配置原理方法的研究基礎(chǔ)上進(jìn)行了重新開發(fā)而來,通過把大量變量確定常線性系統(tǒng)的一個(gè)閉環(huán)固定極點(diǎn)綜合位移轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)預(yù)定的極點(diǎn)位置。極點(diǎn)運(yùn)動(dòng)配置的一個(gè)本質(zhì)原理主要是用系統(tǒng)中反饋閉環(huán)去極化和改變原子子系統(tǒng)自由閉環(huán)運(yùn)動(dòng)的極點(diǎn)模式,從而促使系統(tǒng)達(dá)到了大多數(shù)情況下的設(shè)計(jì)目標(biāo)。影響系統(tǒng)的性能相關(guān)參數(shù)其實(shí)就是對整個(gè)體系所必須具備的各種功能進(jìn)行綜合化的表述。反映系統(tǒng)的性能的參數(shù)其實(shí)只是具有各項(xiàng)系統(tǒng)性能的總體表達(dá)。影響系統(tǒng)的性能參數(shù)往往通過不同的方法來體現(xiàn)。1.2控制參數(shù)K的求解(4-1)、，為維狀態(tài)(4-2)其中加權(quán)陣即為正半定對稱陣，Q(t)=Q(t)T≥o即為正/半定對稱陣即為正/半定對稱陣。(4-3)對上面函數(shù)求導(dǎo)，求導(dǎo)后令其的值等于0，計(jì)算出最小值(4-4)由此繼續(xù)可得出：（4-5）其中可由下式求得：(4-6)可由Riccati方程求出：(4-7)如果越接近于常值矩陣，而且所以：（4-8）則。通過以上的表達(dá)式可以得出狀態(tài)的反饋參數(shù)為，通過這個(gè)式子得出結(jié)論，即最優(yōu)控制理論的問題，總而言之關(guān)鍵在于矩陣的符合設(shè)計(jì)要求的選擇。在獲取到符合設(shè)計(jì)要求的矩陣后，由上述的幾個(gè)式子能夠得出，然后即可得出控制反饋參數(shù)。仿真軟件MATLAB內(nèi)自動(dòng)帶有l(wèi)qr函數(shù)，即可輕松的用這個(gè)函數(shù)方程計(jì)數(shù)器求到系統(tǒng)的控制反饋參數(shù)K。以上都是理論出門的知識(shí)，通過上面的知識(shí)，可以稍微總結(jié)出幾點(diǎn)注意事項(xiàng)：從系統(tǒng)的性能參數(shù)函數(shù)是把參數(shù)函數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)量的一個(gè)性能標(biāo)準(zhǔn)變量函數(shù)。函數(shù)的不一樣會(huì)導(dǎo)致函數(shù)不一樣，所以函數(shù)是通過函數(shù)表示的函數(shù)即。所以換一種想法考慮，在系統(tǒng)的狀態(tài)表達(dá)式里函數(shù)會(huì)決定函數(shù)，與此同時(shí)，函數(shù)被函數(shù)和函數(shù)一起表示出來，所以其實(shí)函數(shù)本質(zhì)上是被函數(shù)所表示的。對于選取一個(gè)控制系統(tǒng)加權(quán)控制矩陣的選擇問題，其本質(zhì)上還是在于符合要求的加權(quán)控制矩陣的選擇方法。常規(guī)情況下，選擇，雖然理論上來看，對系統(tǒng)的控制影響非常關(guān)鍵，但是時(shí)至今日，依舊沒有各種情況下都適用的規(guī)則可以來遵循，唯一的有效方法是根據(jù)不斷的仿真和調(diào)試選擇參數(shù)。二次型相關(guān)的最優(yōu)控制種類的研究，一般被簡稱為使性能參數(shù)函數(shù)來獲得極小值的控制由性能指標(biāo)函數(shù)的極小值關(guān)系式導(dǎo)出,將其控制函數(shù)叫做最優(yōu)控制，系統(tǒng)狀態(tài)方程式以函數(shù)為解的輸入，那么最終的控制最優(yōu)解為最優(yōu)選擇，對應(yīng)的系統(tǒng)性能控制值為最優(yōu)控制性能。(4)在現(xiàn)實(shí)的設(shè)計(jì)工作中,研究者們需要根據(jù)自身設(shè)計(jì)的不同需求,通過選擇合適的方案來進(jìn)行優(yōu)化和控制。如果它的主要性能指標(biāo)具體內(nèi)涵主要是因?yàn)槠涫褂弥械氖找?、盈利?自然我們更多地采用了在極大化的性能指標(biāo)類型中的最佳優(yōu)化處理方法。但是如果系統(tǒng)的幾個(gè)重要的性能參數(shù)包括了使用時(shí)的能耗、費(fèi)力等,那么就自然地應(yīng)該多采用它在極低變化中的性能指標(biāo)類型進(jìn)行優(yōu)化處理。(5)正常情況下，設(shè)計(jì)者們可以把二次型的相關(guān)問題簡單的歸納為在一些特定的約束條件下關(guān)于極值類的相關(guān)情況。如果在已有的系統(tǒng)里已知了系統(tǒng)性能參數(shù)函數(shù)，在特有的狀態(tài)下的微分方程表達(dá)式的條件下，最優(yōu)極值控制函數(shù)的性能確定性就是使用相對情況下容許的控制函數(shù)求出函數(shù)的最優(yōu)極值的辦法。1.3matlab仿真調(diào)整LQR性能參數(shù)LQR控制器在設(shè)計(jì)過程中，最重要的一個(gè)步驟就是對待系統(tǒng)加權(quán)控制矩陣的挑選，設(shè)計(jì)者需要選擇通過大量的仿真實(shí)驗(yàn)來挑選符合設(shè)計(jì)要求的才有一定可能達(dá)到設(shè)計(jì)者們想要的控制目標(biāo),如果選則不正確有很大可能會(huì)導(dǎo)致最簡單的控制目標(biāo)也實(shí)現(xiàn)不了。只有合理地選取一個(gè)加權(quán)矩陣才會(huì)促使整個(gè)系統(tǒng)的控制運(yùn)行起來,達(dá)到設(shè)計(jì)人員想要做出的結(jié)果,如果我們做得沒有這點(diǎn),不用說系統(tǒng)的能耗最低、最優(yōu),就連一些基本穩(wěn)定的控制也無法實(shí)現(xiàn)。如今世界上對于加權(quán)控制矩陣的模型選取還沒有一個(gè)在任何情況下都完全適應(yīng)的理論，只能在借鑒之前學(xué)者的研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，通過持續(xù)而且不停地仿真和對比實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行選取加權(quán)控制矩陣。下面介紹了選擇加權(quán)控制矩陣的常規(guī)規(guī)律:（1）常規(guī)情況下，加權(quán)控制矩陣為對角矩陣，正常的設(shè)計(jì)思路是將矩陣控制不動(dòng)，接著通過改變矩陣的值，觀察所得仿真結(jié)果并進(jìn)行對比選擇。當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)單輸入的情況時(shí)，就成為一個(gè)標(biāo)量值（通常情況下矩陣的值為1)。（2）加權(quán)控制矩陣的形式多種多樣，也就是說即使研究者們設(shè)計(jì)時(shí)所要求的控制器一樣時(shí)，加權(quán)控制矩陣的形式也可以有很多種，但對角線形式的矩陣只能是一個(gè)。綜合上述所說，利用拉格朗日建模方法得到的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程表達(dá)式并通過大量的仿真和實(shí)驗(yàn)的方法來研究選擇符合設(shè)計(jì)要求的的倒立擺加權(quán)控制矩陣，為今后有興趣鉆研倒立擺控制法的學(xué)者們提供了一些有著重要參考價(jià)值的寶貴經(jīng)驗(yàn)和文獻(xiàn)。二級倒立擺系統(tǒng)平臺(tái)的唯一控制目標(biāo)是被電機(jī)驅(qū)動(dòng)小車，不管處在滑動(dòng)軌道上的什么位置，整個(gè)系統(tǒng)卻可以在非常短的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對倒立擺擺桿的擺起和穩(wěn)定住的控制。通過仿真即可計(jì)算得出一個(gè)性能參數(shù)最符合控制要求的加權(quán)控制狀態(tài)反饋參數(shù)。1.4二級倒立擺控制系統(tǒng)框圖圖4-1倒立擺系統(tǒng)的輸入輸出框圖在設(shè)計(jì)LQR控制器時(shí)，首先需要在理論上層面上研究倒立擺系統(tǒng)的所有輸入和輸出量，對于本文所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)輸入和輸出狀態(tài)空間方程式的表達(dá)式，必須需要包含六個(gè)輸入狀態(tài)變量，即，它們從左到右分別代表了小車的沿著水平方向滑動(dòng)的運(yùn)動(dòng)距離，一級擺桿和二級擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)后與水平方向的夾角，小車沿著水平方向的運(yùn)動(dòng)距離的微分量，一級擺桿和二級擺桿做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度的微分量。輸出，就是小車的沿著水平方向滑動(dòng)的運(yùn)動(dòng)距離，一級、二級擺與垂直移動(dòng)方向之間的角度。在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，需要注意輸入是單位階躍輸入。系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，通過電動(dòng)控制器的自動(dòng)調(diào)節(jié)，小車會(huì)運(yùn)動(dòng)到預(yù)期位置，擺桿也可以自動(dòng)保持豎直向上穩(wěn)定?？刂频淖钪匾牟襟E就是對加權(quán)控制矩陣的合理選擇，之后一節(jié)設(shè)計(jì)者將通過對加權(quán)控制矩陣的合理選擇，通過控制變量法來對研究目標(biāo)進(jìn)行幾組對比仿真來進(jìn)行深入探索。1.5選擇最優(yōu)控制參數(shù)的MATLAB仿真1、當(dāng)控制參數(shù)矩陣，時(shí)，通過仿真得到的參數(shù)K=[17.3205121.0116-215.666018.96373.0110-35.1455]。得到的圖像見下圖。圖4-2第一次仿真結(jié)果圖像當(dāng)控制參數(shù)矩陣，時(shí)，通過仿真得到的參數(shù)K=[10.0000109.1741-168.131211.88791.0315-27.2198]。得到的結(jié)果圖像見下圖。圖4-3第二次仿真結(jié)果圖像當(dāng)控制參數(shù)矩陣，時(shí)，通過仿真得到的參數(shù)K=[3.162391.4349-122.68095.05511.971