2026屆山東省威海市二中數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等差數(shù)列中，若，則（）A.42 B.45C.48 D.512．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.3．如圖是拋物線拱形橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（）（結(jié)果精確到）（參考數(shù)值：）A B.C. D.4．曲線在處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.5．已知數(shù)列滿足，且，為其前n項(xiàng)的和，則（）A. B.C. D.6．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)(即圓錐用平行于底面的平面截去一個(gè)錐體得到的).下圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位:cm),那么該壺的容量約為（）A.100 B.C.300 D.4007．已知雙曲線，過原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于、兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過右焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.8．已知，，則（）A. B.C. D.9．甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)中相同的是（）A.極差 B.方差C.平均數(shù) D.中位數(shù)10．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.2 B.0.24C.0.28 D.0.3211．用1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字可寫出（）個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.6412．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，是數(shù)列的最小項(xiàng)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在矩形中，，，將沿BD所在的直線進(jìn)行翻折，得到空間四邊形.給出下面三個(gè)結(jié)論：①在翻折過程中，存在某個(gè)位置，使得；②在翻折過程中，三棱錐的體積不大于；③在翻折過程中，存在某個(gè)位置，使得異面直線與所成角45°.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.14．某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對(duì)折次，那么______.15．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：，驗(yàn)證時(shí)，等式左邊________16．?dāng)€尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖．如圖屬重檐四角攢尖，它的上層輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則側(cè)面與底面的夾角為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求.18．（12分）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，，，（1）求（2）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線的斜率為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式19．（12分）求滿足下列條件的圓錐曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)的橢圓；（2）與雙曲線－＝1有相同的漸近線且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線.20．（12分）數(shù)列中，，且.（1）證明；數(shù)列是等比數(shù)列.（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．（12分）已知雙曲線：的兩條漸近線所成的銳角為且點(diǎn)是上一點(diǎn)（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)能否為線段的中點(diǎn)？并說明理由22．（10分）在四棱錐中，平面，底面是邊長為2的菱形，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意是等差數(shù)列，，.故選：C2、D【解析】由復(fù)數(shù)除法求得后可得其共軛復(fù)數(shù)【詳解】由題意，∴故選：D3、C【解析】先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求出m，從而可得拋物線方程，再令y＝代入拋物線方程求出x，即可得到答案【詳解】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以拋物線的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m故選：C4、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出并借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】由求導(dǎo)得：，則有，因此，曲線在處的切線的斜率為，所以曲線在處切線的傾斜角是.故選：D5、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由題可知是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：B.6、B【解析】根據(jù)圓臺(tái)的體積等于兩個(gè)圓錐的體積之差，即可求出【詳解】設(shè)大圓錐的高為，所以，解得故故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查圓臺(tái)體積的求法以及數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題7、A【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接、，求得、，利用雙曲線的定義可得出關(guān)于、的等式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接、，如下圖所示：由題意可知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，也為的中點(diǎn)，且，則四邊形為矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性質(zhì)可得，故為等邊三角形，故，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，.故選：A.8、C【解析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：C.9、C【解析】根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，可直接判斷方差不同；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算極差、中位數(shù)、平均數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】由莖葉圖可得：甲的數(shù)據(jù)更集中，乙的數(shù)據(jù)較分散，所以甲與乙的方差不同；甲的極差為；乙的極差為，所以甲與乙的極差不同；甲的中位數(shù)為，乙的中位數(shù)為，所以中位數(shù)不同；甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，所以甲、乙的平均數(shù)相同；故選：C.10、C【解析】依據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性即可求得【詳解】由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線由，可得則，故故選：C11、A【解析】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列即可.【詳解】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列，共可寫出個(gè)三位數(shù).故選：A12、D【解析】利用最值的含義轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題解決即可【詳解】解：由題意可得，整理得，當(dāng)時(shí)，不等式化簡(jiǎn)為恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，不等式化簡(jiǎn)為恒成立，所以，綜上，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③【解析】在矩形中，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，對(duì)于①，連接，假設(shè)存在某個(gè)位置，使得，則可得到，進(jìn)而得矛盾，可判斷；對(duì)于②在翻折過程中，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，再根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算即可；對(duì)于③，由題知，，設(shè)平面與平面所成的二面角為，進(jìn)而得，進(jìn)而得異面直線與所成角的余弦值的范圍為，即可判斷.【詳解】解：如圖1，在矩形中，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，則在在翻折過程中，形成如圖2的幾何體，故對(duì)于①，連接，假設(shè)存在某個(gè)位置，使得，由于，，所以平面，所以，這與圖1中的與不垂直矛盾，故錯(cuò)誤；對(duì)于②在翻折過程中，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，此時(shí)，體積為，故三棱錐的體積不大于，故正確；對(duì)于③，，，由②的討論得，所以，所以，設(shè)翻折過程中，平面與平面所成的二面角為，所以，故，由于要使直線與為異面直線，所以，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值的范圍為，由于，所以在翻折過程中，存在某個(gè)位置，使得異面直線與所成角為45°.故答案為：②③14、①.5②.【解析】（1）按對(duì)折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.【詳解】（1）由對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對(duì)著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對(duì)折后的圖形面積為，對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.解答題15、【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可解答.【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：，驗(yàn)證時(shí)，等式左邊=.故答案為：.16、【解析】設(shè)此四棱錐P-ABCD底面邊長為，斜高為，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OP.則以O(shè)為原點(diǎn)，為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求出側(cè)面與底面夾角.【詳解】設(shè)此四棱錐P-ABCD底面邊長為，斜高為，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OP.則，，以O(shè)為原點(diǎn)，為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，顯然平面的法向量為所以，所以側(cè)面與底面的夾角為故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）1280【解析】（1）直接利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；（2）先判斷出數(shù)列單調(diào)性，由，則時(shí)，，時(shí)，；然后去掉絕對(duì)值，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由，可知，∴;【小問2詳解】由（1）知，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，由，則時(shí)，，時(shí)，；.18、（1），；（2），【解析】（1）設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則通項(xiàng)公式可求；（2）根據(jù)題意表示出斜率關(guān)系，然后采用累加法求解出的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為，，，由已知，，得，解得或（舍），所以，，由得，所以所以，（2）由直線的斜率為，得，即，由，，，，，可得，所以，當(dāng)時(shí)也滿足，所以，19、（1）；（2）【解析】（1）由題意可得，，從而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）由題意設(shè)雙曲線的共漸近線方程為,再將的坐標(biāo)代入方程可求出的值，從而可求出雙曲線方程【小問1詳解】因?yàn)?，所以P、Q分別是橢圓長軸和短軸上的端點(diǎn)，且橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)與雙曲線共漸近線的方程為,代入點(diǎn)，解得m=2,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，又∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，從而，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知，則，∴，∴.21、（1）；（2）點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)，理由見解析.【解析】（1）由漸近線夾角求得一個(gè)斜率，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可解得得雙曲線方程；（2）設(shè)直線方程為（斜率不存在時(shí)另說明），與雙曲線方程聯(lián)立，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，然后難驗(yàn)證直線與雙曲線是否相交即可得【詳解】解：（1）由題意知，雙曲線的漸近線的傾斜角為30°或60°，即或當(dāng)時(shí)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入，無解當(dāng)時(shí)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入，解得故的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）不能是線段的中點(diǎn)設(shè)交點(diǎn)，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，由得，