北京101中學2026屆高二上數(shù)學期末預測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種2．以下說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變；②設(shè)有一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均增加5個單位③線性回歸方程必過④設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于0，之間的線性相關(guān)程度越高；⑤在一個列聯(lián)表中，由計算得的值，那么的值越大，判斷兩個變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大。其中錯誤的個數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.33．已知雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，其虛軸長為（）A.16 B.8C.2 D.14．將一張坐標紙折疊一次，使點與重合，求折痕所在直線是（）A. B.C. D.5．已知下列四個命題，其中正確的是（）A. B.C. D.6．若是函數(shù)的一個極值點，則的極大值為（）A. B.C. D.7．不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或8．已知直線平分圓C：，則最小值為（）A.3 B.C. D.9．函數(shù)的極大值點為（）A. B.C. D.不存在10．將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率是（）A. B.C. D.11．曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是_______.14．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見如表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為______.類別老年教師中年教師青年教師合計人數(shù)90018001600430015．設(shè)，是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上任意一點，過作平分線的垂線，垂足為M，則點M到直線的距離的最小值是___16．如圖是一個無蓋的正方體盒子展開圖，A，B，C，D是展開圖上的四點，BD則在正方體盒子中，AD與平面ABC所成角的正弦值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求的方程；（2）設(shè)的右焦點為F，過F作兩條互相垂直的直線AB和DE，其中A，B，D，E都在橢圓上，求的取值范圍.18．（12分）已知等差數(shù)列滿足：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式：（2）在數(shù)列的每相鄰兩項與間插入個，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新數(shù)列，數(shù)列的前項和記為，求及.19．（12分）新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學生充分的自由選擇權(quán).新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級將來高考選考物理的情況，隨機選取了100名高一學生，將他們某次物理測試成績（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計這100名學生本次物理測試成績的中位數(shù).（2）根據(jù)調(diào)查，本次物理測試成績不低于60分的學生，高考將選考物理科目；成績低于60分的學生，高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測試成績在，的學生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.20．（12分）已知函數(shù)，是的一個極值點.（1）求b的值；（2）當時，求函數(shù)的最大值.21．（12分）已知等比數(shù)列的前n項和為，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這n個數(shù)之和為，求數(shù)列的前n項和22．（10分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點，若的周長為8.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)為橢圓上的動點，過原點作直線與橢圓分別交于點、（點不在直線上），求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：當區(qū)域①、②、⑤這三個區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當區(qū)域③、④，必須有1個區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B2、C【詳解】方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，故①正確；一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均減少5個單位，故②不正確；線性回歸方程必過樣本中心點，故③正確；根據(jù)線性回歸分析中相關(guān)系數(shù)的定義：在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大，故④不正確；對于觀察值來說，越大，“x與y有關(guān)系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點睛】本題主要考查用樣本估計總體、線性回歸方程、獨立性檢驗的基本思想.3、C【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程的特點，結(jié)合虛軸長的定義進行求解即可.【詳解】因為雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，所以，因此該雙曲線的虛軸長為，故選：C4、D【解析】設(shè)，，則折痕所在直線是線段AB的垂直平分線，故求出AB中點坐標，折痕與直線AB垂直，進而求出斜率，用點斜式求出折痕所在直線方程.【詳解】，，所以與的中點坐標為，又，所以折痕所在直線的斜率為1，故折痕所在直線是，即.故選：D5、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導公式和求導法則即可求解判斷.【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B.6、D【解析】先對函數(shù)求導，由已知，先求出，再令，并判斷函數(shù)在其左右兩邊的單調(diào)性，從而確定極大值點，然后帶入原函數(shù)即可完成求解.【詳解】因為，，所以，所以，，令，解得或，所以當，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；當，，單調(diào)遞增，所以的極大值為故選：D7、A【解析】確定對應二次方程的解，根據(jù)三個二次的關(guān)系寫出不等式的解集【詳解】，即為，故選：A8、D【解析】根據(jù)直線過圓心求得，再利用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】根據(jù)題意，直線過點，即，則，當且僅當，即時取得最小值.故選：D.9、B【解析】求導，令導數(shù)等于0，然后判斷導數(shù)符號可得，或者根據(jù)對勾函數(shù)圖象可解.【詳解】令，得，因為時，，時，，所以時有極大值；當時，，時，，所以時有極小值.故選：B10、B【解析】由題意知直線的斜率為，設(shè)其傾斜角為，將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率為，化簡求值即可得到答案.【詳解】由知斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)，則故新直線的斜率是.故選：B.11、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設(shè)，，，∴離心率.故選：C.12、D【解析】先求定義域，再求導數(shù)，令解不等式，即可.【詳解】函數(shù)的定義域為令，解得故選：D【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題知方程，，有且只有一個零點，進而構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值得變化情況，作出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】解：因為函數(shù)，，有且只有一個零點，所以方程，，有且只有一個零點，令，則，，令，則所以為上的單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以當時，；當時，；所以當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為當趨近于時，趨近于，當趨近于時，趨近于，且，時，，故的圖像大致如圖所示，所以方程，，有且只有一個零點等價于或.所以實數(shù)的取值范圍是故答案為：14、【解析】由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設(shè)樣本中老年教師的人數(shù)為x，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得.故答案為.考點：分層抽樣.15、1【解析】構(gòu)造全等三角形，結(jié)合雙曲線定義，求得點的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得點到直線距離的最小值.【詳解】延長交的延長線于點，如下所示：因為平分，且，故△△，則，又，則，又在△中，分別為的中點，故可得；設(shè)點的坐標為，則，即點在圓心為，半徑的圓上，圓心到直線的距離，故點到直線距離的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的定義，以及直線與圓的位置關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵在于通過幾何關(guān)系求得點的軌跡方程，屬中檔題.16、##【解析】先復原正方體，再構(gòu)造線面角后可求正弦值.【詳解】復原后的正方體如圖所示，設(shè)所在面的正方形的余下的一個頂點為，連接，則平面，故為AD與平面ABC所成角，而，故為AD與平面ABC所成角的正弦值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，及經(jīng)過點建立等式可求解；（2）分斜率存在與不存在兩種情況進行討論，當斜率存在時，計算與后再求范圍即可.【小問1詳解】由題意知的離心率為，整理得，又因為經(jīng)過點，所以，解得，所以，因此，的方程為.小問2詳解】由已知可得，當直線AB或DE有一條的斜率不存在時，可得，或，，此時有或.當AB和DE的斜率都存在時且不為0時，設(shè)直線：，直線：，，，，由得，所以，，所以，用替換可得.所以，綜上所述，的取值范圍為.18、（1）；（2），.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式進行求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式進行求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為成等差數(shù)列，所以有，因成等比數(shù)列，所以，所以；【小問2詳解】由題意可知：在和之間插入個，在和之間插入個，，在和之間插入個，此時共插入的個數(shù)為：，在和之間插入個，此時共插入的個數(shù)為：，因此.19、（1），中位數(shù)為；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)直方圖及中位數(shù)性質(zhì)求中位數(shù)即可.（2）首先由分層抽樣原則求選取的5人在、的人數(shù)分布情況，再應用列舉法求古典概型的概率即可.【小問1詳解】由圖知：，解得.學生成績在的頻率為；學生成績在的頻率為.設(shè)這100名學生本次物理測試成績的中位數(shù)為，則，解得，故估計這100名學生本次物理測試成績的中位數(shù)為.【小問2詳解】由（1）知，學生成績在的頻數(shù)為，學生成績在的頻數(shù)為.按分層抽樣的方法從中選取5人，則成績在的學生被抽取人，分別記為，，成績在的學生被抽取人，分別記為，，.從中任意選取2人，有，，，，，，，，，這10種選法，其中至少有1人高考選考物理科目的選法有，，，，，，，，這9種，∴這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.20、（1）；（2）【解析】（1）先求出導函數(shù)，再根據(jù)x=2是的一個極值點對應x=2是導數(shù)為0的根即可求b的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出函數(shù)的極值點，通過比較極值與端點值的大小從而確定出最大值.【小問1詳解】由題設(shè)，.∵x=2是的一個極值點，∴x=2是的一個根，代入解得：.經(jīng)檢驗，滿足題意.【小問2詳解】由（1）知：，則.令，解得x=1或x=2.x1(1,2)2(2,3)30﹣0+遞減遞增∵當x∈(1,2)時，即在(1,2)上單調(diào)遞減；當x∈(2,3)時，即在(2,3)上單調(diào)遞增.∴當x∈[1,3]時，函數(shù)的最大值為與中的較大者.∴函數(shù)的最大值為.21、（1）；（2）【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列公比為q，利用與關(guān)系可求q，在中令n＝1可求；(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式可求，分析{}的通項公式，利用錯位相減法求其前n項和.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由己知，可得，兩式相減可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】由題意知在與之間插入n個數(shù)，這個數(shù)組成以為首項的等差數(shù)列，∴，設(shè){}前n項和為，①①×3：②①－②：22、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)周長可求，再根據(jù)離心率可求，求出后可求橢圓的方程.（2）當直線軸時，計算可得的面積的最大值為，直線不垂直軸時，可設(shè)，聯(lián)立直線方程和