第25講簡諧運(yùn)動(dòng)、機(jī)械波模型【模型一簡諧運(yùn)動(dòng)模型】類型1彈簧振子模型類型2單擺模型類型3振動(dòng)圖像模型類型4受迫振動(dòng)與共振模型【模型二機(jī)械波模型】類型1.機(jī)械波特征模型類型2.波動(dòng)圖像模型類型3.波的多解模型類型4.波特有的現(xiàn)象模型一、簡諧運(yùn)動(dòng)簡諧運(yùn)動(dòng)：如果物體的位移與時(shí)間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動(dòng)圖像(x－t圖像)是一條正弦曲線，這樣的振動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)。描述簡諧運(yùn)動(dòng)的物理量：物理量定義意義位移由平衡位置指向物體所在位置的有向線段描述物體振動(dòng)中某時(shí)刻的位置相對于平衡位置的位移振幅振動(dòng)物體離開平衡位置的最大距離描述振動(dòng)的強(qiáng)弱和能量周期振動(dòng)物體完成一次全振動(dòng)所需要的時(shí)間描述振動(dòng)的快慢，兩者互為倒數(shù)：T＝eq\f(1,f)頻率振動(dòng)物體完成全振動(dòng)的次數(shù)與所用時(shí)間之比相位ωt＋φ0在各個(gè)時(shí)刻所處的不同狀態(tài)3.簡諧運(yùn)動(dòng)的公式和圖像：（1）表達(dá)式：①動(dòng)力學(xué)表達(dá)式：F＝－kx，其中“－”表示回復(fù)力與位移的方向相反。②運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式：x＝A_sin_(ωt＋φ0)，其中A表示振幅，ω＝eq\f(2π,T)＝2πf表示簡諧運(yùn)動(dòng)的快慢，ωt＋φ0表示簡諧運(yùn)動(dòng)的相位，φ0叫作初相位。（2）簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像：①如圖所示。②物理意義：表示振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。4.簡諧運(yùn)動(dòng)的兩種理想化模型模型彈簧振子單擺概念是小球和彈簧組成的系統(tǒng)，有時(shí)簡稱為振子。是一個(gè)理想化模型將一小球用細(xì)線懸掛起來，把小球拉離最低點(diǎn)釋放后，小球就會來回?cái)[動(dòng)，這樣的裝置就叫作單擺，是實(shí)際擺的理想化模型示意圖特點(diǎn)(1)彈簧質(zhì)量與小球相比可忽略；(2)桿光滑無摩擦，小球運(yùn)動(dòng)時(shí)空氣阻力可忽略(1)擺線為不可伸縮的細(xì)線；(2)細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可忽略；(3)球的直徑與線的長度相比可忽略；(4)空氣等阻力可以忽略做簡諧運(yùn)動(dòng)的條件彈簧形變在彈簧彈性限度內(nèi)最大擺角θ<5°做簡諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力彈簧的彈力提供擺球重力沿與擺線垂直方向的分力提供做簡諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置彈簧處于原長處最低點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期與振幅無關(guān)T＝2π_eq\r(\f(l,g))做簡諧運(yùn)動(dòng)的能量轉(zhuǎn)化彈性勢能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒重力勢能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒5.受迫振動(dòng)和共振（1）受迫振動(dòng)：系統(tǒng)在驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)叫作受迫振動(dòng)。做受迫振動(dòng)物體的周期(或頻率)等于驅(qū)動(dòng)力的周期(或頻率)，而與物體的固有周期(或頻率)無關(guān)。（2）共振曲線：如圖所示的共振曲線，反映某振動(dòng)系統(tǒng)做受迫振動(dòng)的振幅A與驅(qū)動(dòng)力頻率f之間的關(guān)系。驅(qū)動(dòng)力的頻率f跟振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率f0相差越小，振幅越大；驅(qū)動(dòng)力的頻率f等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率f0時(shí)，振幅最大。二、機(jī)械波1．機(jī)械波的形成和傳播(1)產(chǎn)生條件：①有波源；②有介質(zhì)，如空氣、水、繩子等。(2)傳播特點(diǎn)：①傳播振動(dòng)形式、能量和信息；②介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)不隨波遷移；③介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)頻率、起振方向都與波源相同。2.機(jī)械波的圖像（1）坐標(biāo)軸：橫坐標(biāo)x表示在波的傳播方向上各質(zhì)點(diǎn)的平衡位置，縱坐標(biāo)y表示某一時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移。（2）意義：表示介質(zhì)中的“各個(gè)質(zhì)點(diǎn)”在“某一時(shí)刻”的位移。（3）圖像(以簡諧波為例)：如圖所示。（4）應(yīng)用：(1)可直接讀取振幅A、波長λ，以及該時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移。(2)可確定該時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)加速度的方向，并能比較該時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)速度或加速度的大小。(3)可結(jié)合波的傳播方向確定各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向，或結(jié)合某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向確定波的傳播方向。3.波速、波長、頻率(周期)及其關(guān)系（1）波長λ：在波的傳播方向上，振動(dòng)相位總是相同的兩個(gè)相鄰質(zhì)點(diǎn)間的距離。（2）波速v：波在介質(zhì)中的傳播速度，由介質(zhì)本身的性質(zhì)決定。（3）頻率f：由波源決定，等于波源的振動(dòng)頻率；與周期的關(guān)系為f＝eq\f(1,T)。（4）波長、波速、頻率和周期的關(guān)系：v＝fλ＝eq\f(λ,T)。4.波特所有現(xiàn)象（1）干涉和衍射：內(nèi)容波的衍射波的干涉定義波可以繞過障礙物繼續(xù)傳播的現(xiàn)象頻率相同、相位差恒定、振動(dòng)方向相同的兩列波疊加時(shí)，某些區(qū)域的振動(dòng)總是加強(qiáng)、某些區(qū)域的振動(dòng)總是減弱的現(xiàn)象現(xiàn)象波偏離直線而傳播到直線以外的空間兩列波疊加區(qū)域形成相互間隔的穩(wěn)定的振動(dòng)加強(qiáng)區(qū)和振動(dòng)減弱區(qū)，產(chǎn)生穩(wěn)定的干涉圖樣條件發(fā)生明顯衍射的條件：縫、孔的寬度或障礙物的尺寸跟波長相差不多，或者比波長更小充分條件：兩列波的頻率相同，相位差恒定，振動(dòng)方向相同相同點(diǎn)干涉和衍射是波特有的現(xiàn)象（2）多普勒效應(yīng)①定義：波源與觀察者相互靠近或者相互遠(yuǎn)離時(shí)，觀察者接收到的波的頻率發(fā)生變化的現(xiàn)象叫作多普勒效應(yīng)。②規(guī)律：波源的頻率不變，只是觀測到的波的頻率發(fā)生變化。如果二者相互靠近，觀測到的頻率變大；如果二者相互遠(yuǎn)離，觀測到的頻率變小。③應(yīng)用：利用聲波的多普勒效應(yīng)可以測定車輛行駛的速度；利用光波的多普勒效應(yīng)可以判斷遙遠(yuǎn)天體相對地球的運(yùn)行速度。【模型一簡諧運(yùn)動(dòng)模型】類型1彈簧振子模型1．動(dòng)力學(xué)特征：F＝－kx，“－”表示回復(fù)力的方向與位移方向相反，k是比例系數(shù)，不一定是彈簧的勁度系數(shù)。2．運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體加速度與物體偏離平衡位置的位移大小成正比而方向相反，為變加速運(yùn)動(dòng)，遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均減小，靠近平衡位置時(shí)則相反。3．周期性特征：相隔nT(n為正整數(shù))的兩個(gè)時(shí)刻，物體處于同一位置且振動(dòng)狀態(tài)相同。4．對稱性特征：(1)時(shí)間對稱性：相隔eq\f(T,2)或eq\f(（2n＋1）T,2)(n為正整數(shù))的兩個(gè)時(shí)刻，物體位置關(guān)于平衡位置對稱，位移、速度、加速度大小相等、方向相反。如圖甲所示。O為平衡位置，A、B為振子偏離平衡位置最大位移處，振子t時(shí)刻在C點(diǎn)，t＋eq\f(（2n＋1）T,2)時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，則位移xD＝－xC，速度vD＝－vC，加速度aD＝－aC。(2)空間對稱性：如圖乙所示，振子經(jīng)過關(guān)于平衡位置O對稱的兩點(diǎn)P、P′(OP＝OP′)時(shí)，速度的大小、動(dòng)能、勢能相等，相對于平衡位置的位移大小相等。此外，振子由P到O所用時(shí)間等于由O到P′所用時(shí)間，即tPO＝tOP′。振子往復(fù)過程中通過同一段路程(如OP段)所用時(shí)間相等，即tOP＝tPO。5．能量特征：簡諧運(yùn)動(dòng)的能量包括動(dòng)能Ek和勢能Ep，簡諧運(yùn)動(dòng)過程中，系統(tǒng)動(dòng)能與勢能相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒?！镜淅?】（2025·甘肅·高考真題）如圖，輕質(zhì)彈簧上端固定，下端懸掛質(zhì)量為的小球A，質(zhì)量為m的小球B與A用細(xì)線相連，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。彈簧勁度系數(shù)為k，重力加速度為g。現(xiàn)剪斷細(xì)線，下列說法正確的是（

）小球A運(yùn)動(dòng)到彈簧原長處的速度最大 剪斷細(xì)線的瞬間，小球A的加速度大小為小球A運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧的伸長量為 小球A運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，彈簧的伸長量為【變式1-1】（2024·北京·高考真題）圖甲為用手機(jī)和輕彈簧制作的一個(gè)振動(dòng)裝置。手機(jī)加速度傳感器記錄了手機(jī)在豎直方向的振動(dòng)情況，以向上為正方向，得到手機(jī)振動(dòng)過程中加速度a隨時(shí)間t變化的曲線為正弦曲線，如圖乙所示。下列說法正確的是（）A．時(shí)，彈簧彈力為0B．時(shí)，手機(jī)位于平衡位置上方C．從至，手機(jī)的動(dòng)能增大D．a(chǎn)隨t變化的關(guān)系式為【變式1-2】真空中有一點(diǎn)P與微粒Q，Q在運(yùn)動(dòng)中受到指向P且大小與離開P的位移成正比的回復(fù)力，則下列情況有可能發(fā)生的是（

）A．速度增大，加速度增大 B．速度增大，加速度減小C．速度增大，加速度不變 D．速度減小，加速度不變【變式1-3】如圖甲所示，“笑臉彈簧小人”由頭部、輕彈簧及底座組成，將彈簧小人靜置于桌面上，其簡化模型如圖乙所示，頭部在O點(diǎn)時(shí)剛好靜止?，F(xiàn)將頭部壓到B點(diǎn)由靜止釋放，頭部在AB之間上下振動(dòng)，底座始終未離開地面，不計(jì)空氣阻力，且彈簧始終在彈性限度內(nèi)，下列說法正確的是（）A．頭部在上下振動(dòng)的過程中受到重力、彈力和回復(fù)力B．頭部從O點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，速度逐漸增大C．頭部從O點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，加速度逐漸增大D．頭部在上下振動(dòng)過程中，頭部的機(jī)械能守恒【變式1-4】（2022·浙江·高考真題）如圖所示，一根固定在墻上的水平光滑桿，兩端分別固定著相同的輕彈簧，兩彈簧自由端相距。套在桿上的小球從中點(diǎn)以初速度向右運(yùn)動(dòng)，小球?qū)⒆鲋芷跒榈耐鶑?fù)運(yùn)動(dòng)，則（）A．小球做簡諧運(yùn)動(dòng)B．小球動(dòng)能的變化周期為C．兩根彈簧的總彈性勢能的變化周期為D．小球的初速度為時(shí)，其運(yùn)動(dòng)周期為【變式1-5】如圖甲所示，把小球安裝在彈簧的一端，彈簧的另一端固定，小球和彈簧穿在光滑的水平桿上。小球振動(dòng)時(shí)，沿垂直于振動(dòng)方向以速度v勻速拉動(dòng)紙帶，紙帶上可留下痕跡，a、b是紙帶上的兩點(diǎn)，不計(jì)阻力，如圖乙所示。由此可判斷（）A．t時(shí)間內(nèi)小球的運(yùn)動(dòng)路程為vtB．小球的機(jī)械能守恒C．小球通過a點(diǎn)時(shí)的速度大于通過b點(diǎn)的速度D．如果小球以較小的振幅振動(dòng)，周期也會變小【變式1-6】如圖所示，彈簧振子在A、B之間做簡諧運(yùn)動(dòng)，平衡位置為O，振子的振動(dòng)周期為T。從振子處于B點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，向右為正方向，能正確反映振子位移x與時(shí)間t、回復(fù)力F與時(shí)間t、加速度a與時(shí)間t、彈簧振子的機(jī)械能E與時(shí)間t變化關(guān)系的圖像是()類型2單擺模型1.單擺：用不可伸長的細(xì)線懸掛小球的裝置，細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略。（如圖所示）做簡諧運(yùn)動(dòng)的條件：最大擺角θ＜5°：回復(fù)力：F＝mgsinθ兩點(diǎn)說明：①當(dāng)擺球在最高點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)向＝eq\f(mv2,l)＝0，F(xiàn)T＝mgcosθm。②當(dāng)擺球在最低點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)向＝eq\f(mveq\o\al(2,max),l)，F(xiàn)向最大，F(xiàn)T＝mg＋meq\f(v2max,l)。3.周期公式：T＝2πl(wèi)g（1）l為等效擺長，表示從懸點(diǎn)到擺球重心的距離。（2）g為等效重力加速度：（1）對于不同星球表面：g＝GMR2，M與（2）單擺處于超重或失重狀態(tài)時(shí)：g效＝g±a。（3）重力場與勻強(qiáng)電場中：g效＝G效4.類單擺問題的解題方法（1）確認(rèn)符合單擺模型的條件，即“類單擺”模型。（2）尋找等效擺長l效及等效加速度g效，最后利用公式T＝2πl(wèi)效g【典例2】（2025·四川·高考真題）如圖所示，甲、乙、丙、丁四個(gè)小球用不可伸長的輕繩懸掛在天花板上，從左至右擺長依次增加，小球靜止在紙面所示豎直平面內(nèi)。將四個(gè)小球垂直紙面向外拉起一小角度，由靜止同時(shí)釋放。釋放后小球都做簡諧運(yùn)動(dòng)。當(dāng)小球甲完成2個(gè)周期的振動(dòng)時(shí)，小球丙恰好到達(dá)與小球甲同側(cè)最高點(diǎn)，同時(shí)小球乙、丁恰好到達(dá)另一側(cè)最高點(diǎn)。則（

）A．小球甲第一次回到釋放位置時(shí)，小球丙加速度為零B．小球丁第一次回到平衡位置時(shí)，小球乙動(dòng)能為零C．小球甲、乙的振動(dòng)周期之比為D．小球丙、丁的擺長之比為【變式2-1】如圖所示，一單擺懸于O點(diǎn)，擺長為L，若在O點(diǎn)正下方的O'點(diǎn)釘一個(gè)光滑小釘子，使OO'＝L2，將單擺拉至A處無初速度釋放，小球?qū)⒃贏、B、C間來回振動(dòng)，若振動(dòng)中擺線與豎直方向夾角小于5°，重力加速度為g，小球可看成質(zhì)點(diǎn)，則此擺的周期是（A.2πLg B.2πL2gC.2πLg【變式2-2】如圖，老式擺鐘的擺錘可視為單擺，擺長為，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹椤[鐘的秒針、分針、時(shí)針均繞中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，擺錘的最大擺角小于5°。下列說法正確的是（）A．秒針的角速度是時(shí)針的360倍B．若將擺鐘移到月球上，擺鐘走得更慢，需把擺錘上調(diào)至合適位置即可校準(zhǔn)擺鐘C．?dāng)[錘在最低點(diǎn)時(shí)速度最大，加速度為零D．若把擺鐘置于加速上升的電梯中，擺鐘走得更慢【變式2-3】（2024·浙江·高考真題）如圖所示，不可伸長的光滑細(xì)線穿過質(zhì)量為0.1kg的小鐵球，兩端A、B懸掛在傾角為的固定斜桿上，間距為1.5m。小球平衡時(shí)，A端細(xì)線與桿垂直；當(dāng)小球受到垂直紙面方向的擾動(dòng)做微小擺動(dòng)時(shí)，等效于懸掛點(diǎn)位于小球重垂線與AB交點(diǎn)的單擺，重力加速度，則（）A．?dāng)[角變小，周期變大B．小球擺動(dòng)周期約為2sC．小球平衡時(shí)，A端拉力為ND．小球平衡時(shí)，A端拉力小于B端拉力【變式2-4】某同學(xué)用如圖所示的裝置描繪單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像。第一次實(shí)驗(yàn)時(shí)在紙帶上恰好有兩個(gè)完整的振動(dòng)圖像，第二次實(shí)驗(yàn)時(shí)改變擺長，用2倍的速度拉相同的紙帶，紙帶上也恰好有兩個(gè)完整的振動(dòng)圖像，則第一次實(shí)驗(yàn)和第二次實(shí)驗(yàn)中單擺的擺長之比為（）A．4∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶4【變式2-5】同一單擺在不同星球表面小角度擺動(dòng)的周期一般不同，與星球的密度和半徑有關(guān)。四個(gè)選項(xiàng)中橫軸為，縱軸為。是該單擺在地球表面小角度擺動(dòng)的周期，和是地球的密度和半徑，星球均看成質(zhì)量分布均勻的球體且忽略星球的自轉(zhuǎn)。下列圖像正確的是（

）A．B．C．D．【變式2-6】如圖甲所示為桿線擺的原理圖，它可以繞著懸掛軸來回?cái)[動(dòng)，其擺球的運(yùn)動(dòng)軌跡被約束在一個(gè)傾斜的平面內(nèi)。某同學(xué)利用鐵架臺做了一個(gè)桿線擺，如圖乙所示，用來探究它的周期的影響因素。把鐵架臺底座的一側(cè)墊高，立柱傾斜，擺桿通過光滑鉸鏈與立柱連接，擺桿始終與立柱垂直。讓鋼球小角度擺動(dòng)，測出靜止時(shí)擺桿與重垂線的夾角為，擺線的長度為，擺桿的長度為，根據(jù)已有的知識，下列關(guān)系可能正確的是（）A．、不變時(shí)，越大，周期越短B．、不變時(shí)，越大，周期越長C．、不變時(shí)，越大，周期越長D．無論、怎樣改變，只要不變，則周期不變類型3振動(dòng)圖像模型1.對簡諧運(yùn)動(dòng)圖像的理解（1）簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像是一條正弦曲線或余弦曲線，分別如圖甲、乙所示。（2）圖像反映的是位移隨時(shí)間的變化規(guī)律，隨時(shí)間的增加而延伸，圖像不代表質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。2.由簡諧運(yùn)動(dòng)圖像可獲取的信息（1）判定振動(dòng)的振幅A和周期T，如圖所示。（2）判定振動(dòng)物體在某一時(shí)刻的位移。（3）判定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向①下一時(shí)刻位移若增加，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向是遠(yuǎn)離平衡位置；②下一時(shí)刻位移若減小，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向是指向平衡位置。（4）判定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度（回復(fù)力）的大小和方向。（5）比較不同時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的勢能和動(dòng)能的大小。質(zhì)點(diǎn)的位移越大，它所具有的勢能越大，動(dòng)能則越小?！镜淅?】（2019·全國II卷）如圖，長為l的細(xì)繩下方懸掛一小球a。繩的另一端固定在天花板上O點(diǎn)處，在O點(diǎn)正下方的O′處有一固定細(xì)鐵釘。將小球向右拉開，使細(xì)繩與豎直方向成一小角度（約為2°）后由靜止釋放，并從釋放時(shí)開始計(jì)時(shí)。當(dāng)小球a擺至最低位置時(shí)，細(xì)繩會受到鐵釘?shù)淖钃?。設(shè)小球相對于其平衡位置的水平位移為x，向右為正。下列圖像中，能描述小球在開始一個(gè)周期內(nèi)的x—t關(guān)系的是（

）A．B．C．D．【變式3-1】（2024·甘肅·高考真題）如圖為某單擺的振動(dòng)圖像，重力加速度g取，下列說法正確的是A．?dāng)[長為1.6m，起始時(shí)刻速度最大 B．?dāng)[長為2.5m，起始時(shí)刻速度為零C．?dāng)[長為1.6m，A、C點(diǎn)的速度相同 D．?dāng)[長為2.5m，A、B點(diǎn)的速度相同【變式3-2】（2024·河北·高考真題）如圖，一電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)輕桿在豎直框架平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，輕桿一端固定在電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)軸上，另一端懸掛一紫外光筆，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)紫外光始終豎直投射至水平鋪開的感光紙上，沿垂直于框架的方向勻速拖動(dòng)感光紙，感光紙上就畫出了描述光點(diǎn)振動(dòng)的圖像．已知輕桿在豎直面內(nèi)長,電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為．該振動(dòng)的圓頻率和光點(diǎn)在內(nèi)通過的路程分別為（

）A． B． C． D．【變式3-3】（2024·福建·高考真題）如圖（a），裝有砂粒的試管豎直靜浮于水中，將其提起一小段距離后釋放，一段時(shí)間內(nèi)試管在豎直方向的振動(dòng)可視為簡諧運(yùn)動(dòng)。取豎直向上為正方向，以某時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，試管振動(dòng)圖像如圖（b）所示，則試管（）A．振幅為 B．振動(dòng)頻率為C．在時(shí)速度為零 D．在時(shí)加速度方向豎直向下【變式3-4】（2022·海南·高考真題）在同一地方，甲、乙兩個(gè)單擺做振幅不同的簡諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)圖像如圖所示，可知甲、乙兩個(gè)單擺的擺長之比為（

）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4【變式3-5】（2024·遼寧·高考真題）如圖（a），將一彈簧振子豎直懸掛，以小球的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，豎直向上為正方向建立x軸。若將小球從彈簧原長處由靜止釋放，其在地球與某球狀天體表面做簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像如（b）所示（不考慮自轉(zhuǎn)影響），設(shè)地球、該天體的平均密度分別為和，地球半徑是該天體半徑的n倍。的值為（）A． B． C． D．【變式3-6】（2024·浙江·高考真題）如圖1所示，質(zhì)量相等的小球和點(diǎn)光源，分別用相同的彈簧豎直懸掛于同一水平桿上，間距為，豎直懸掛的觀測屏與小球水平間距為，小球和光源做小振幅運(yùn)動(dòng)時(shí)，在觀測屏上可觀測小球影子的運(yùn)動(dòng)。以豎直向上為正方向，小球和光源的振動(dòng)圖像如圖2所示，則（）A．時(shí)刻小球向上運(yùn)動(dòng) B．時(shí)刻光源的加速度向上C．時(shí)刻小球與影子相位差為 D．時(shí)刻影子的位移為類型4受迫振動(dòng)與共振模型1、受迫振動(dòng)模型（1）概念：系統(tǒng)在驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)．（2）振動(dòng)特征：物體做受迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定后，物體振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，與物體的固有頻率無關(guān)．（3）受迫振動(dòng)中系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)化:做受迫振動(dòng)的系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒,系統(tǒng)與外界時(shí)刻進(jìn)行能量交換.2、共振模型（1)概念：當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率等于固有頻率時(shí)，物體做受迫振動(dòng)的振幅最大的現(xiàn)象．(2)共振的條件：驅(qū)動(dòng)力的頻率等于固有頻率．(3)共振的特征：共振時(shí)振幅最大．(4)共振曲線：如圖所示，橫坐標(biāo)為驅(qū)動(dòng)力的頻率f，縱坐標(biāo)為振幅A。它直觀地反映了驅(qū)動(dòng)力的頻率對某固有頻率為f0的振動(dòng)系統(tǒng)做受迫振動(dòng)時(shí)振幅的影響。由圖可知，f與f0越接近，振幅A越大；當(dāng)f＝f0時(shí)，振幅A最大。【典例4】某振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率為f0，在周期性驅(qū)動(dòng)力的作用下做受迫振動(dòng)，驅(qū)動(dòng)力的頻率為f。若驅(qū)動(dòng)力的振幅保持不變，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)f<f0時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)的振幅隨f增大而減小B．當(dāng)f>f0時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)的振幅隨f減小而增大C．該振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)穩(wěn)定后，振動(dòng)的頻率等于f0D．該振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)穩(wěn)定后，振動(dòng)的頻率等于f【變式4-1】如圖所示的裝置，彈簧振子的固有頻率是4Hz，現(xiàn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)把手，給彈簧振子以周期性的驅(qū)動(dòng)力，測得彈簧振子振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的頻率為1Hz，則把手轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率為（

）A．1Hz B．3Hz C．4Hz D．5Hz【變式4-2】（2021·浙江·高考真題）為了提高松樹上松果的采摘率和工作效率，工程技術(shù)人員利用松果的慣性發(fā)明了用打擊桿、振動(dòng)器使松果落下的兩種裝置，如圖甲、乙所示。則（）

A．針對不同樹木，落果效果最好的振動(dòng)頻率可能不同B．隨著振動(dòng)器頻率的增加，樹干振動(dòng)的幅度一定增大C．打擊桿對不同粗細(xì)樹干打擊結(jié)束后，樹干的振動(dòng)頻率相同D．穩(wěn)定后，不同粗細(xì)樹干的振動(dòng)頻率始終與振動(dòng)器的振動(dòng)頻率相同【變式4-3】如圖甲所示，把一個(gè)篩子用四根彈簧支撐起來，篩子上裝一個(gè)電動(dòng)偏心輪，它每轉(zhuǎn)一周，給篩子一個(gè)驅(qū)動(dòng)力，這就做成了一個(gè)共振篩，該共振篩的共振曲線如圖乙所示。已知增大電壓，可使偏心輪轉(zhuǎn)速提高，增加篩子質(zhì)量，可增大篩子的固有周期。現(xiàn)在，在某電壓下偏心輪的轉(zhuǎn)速為36r/min。要增大篩子的振幅，下列措施可行的是（）A．升高電壓B．降低電壓C．減小篩子質(zhì)量D．減小偏心輪的轉(zhuǎn)速【變式4-4】某同學(xué)利用如圖所示的裝置做多單擺實(shí)驗(yàn)。在一根張緊的繩子上懸掛幾個(gè)擺球，當(dāng)驅(qū)動(dòng)擺B擺動(dòng)起來后，擺A、C、D、E也跟著擺動(dòng)起來。已知擺長LB=LD>LA>LC>LE，在振動(dòng)穩(wěn)定后，下列說法正確的是（）

A．驅(qū)動(dòng)擺B只是把振動(dòng)形式傳遞給其他單擺，并不傳遞能量B．單擺D、E的擺動(dòng)振幅AD>AEC．單擺A擺動(dòng)過程中多次通過同一位置時(shí)，速度和加速度都一定相同D．單擺A、B、C、D、E的擺動(dòng)周期滿足TB=TD>TA>TC>TE【變式4-5】為了提升汽車行駛過程中的平順性和穩(wěn)定性，在汽車車身和底座間裝有彈簧和減震器來減緩震動(dòng)。如圖所示，圖甲為某汽車正勻速通過某路口的連續(xù)等間距的減速帶，圖乙為該車車身的振幅A和車速v的關(guān)系圖像，圖像最高點(diǎn)對應(yīng)的速度為。已知兩相鄰減速帶間的距離為1m，該車車身的固有頻率為10Hz，該車經(jīng)過該減速帶過程中，下列說法正確的是（）A．該車經(jīng)過減速帶時(shí)車身上下振動(dòng)的頻率隨車速增大而減小B．該車經(jīng)過減速帶時(shí)車身上下振動(dòng)的頻率恒為10HzC．圖乙中D．不同車輛經(jīng)過該減速帶時(shí)一定相同【模型二機(jī)械波模型】類型1.機(jī)械波特征模型1.機(jī)械波的傳播特點(diǎn)（1）波傳到任意一點(diǎn)，該點(diǎn)的起振方向都和波源的起振方向相同。（2）介質(zhì)中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都做受迫振動(dòng)，因此，任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率和周期都和波源的振動(dòng)頻率和周期相同。（3）波從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)，由于介質(zhì)不同，波長和波速可以改變，但頻率和周期都不會改變。（4）波源經(jīng)過一個(gè)周期T完成一次全振動(dòng)，波恰好向前傳播一個(gè)波長的距離，所以v＝λT＝λf2.描述波的物理量（1）波長λ：在波的傳播方向上，振動(dòng)相位總是相同的兩個(gè)相鄰質(zhì)點(diǎn)間的距離。（2）波速v：波在介質(zhì)中的傳播速度，由介質(zhì)本身的性質(zhì)決定。（3）頻率f：由波源決定，等于波源的振動(dòng)頻率；與周期的關(guān)系為f＝1T（4）波長、波速和頻率（周期）的關(guān)系：v＝fλ＝λT【典例5】（2025·云南·高考真題）如圖所示，均勻介質(zhì)中矩形區(qū)域內(nèi)有一位置未知的波源。時(shí)刻，波源開始振動(dòng)產(chǎn)生簡諧橫波，并以相同波速分別向左、右兩側(cè)傳播，P、Q分別為矩形區(qū)域左右兩邊界上振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的平衡位置。和時(shí)矩形區(qū)域外波形分別如圖中實(shí)線和虛線所示，則（）A．波速為B．波源的平衡位置距離P點(diǎn)C．時(shí)，波源處于平衡位置且向下運(yùn)動(dòng)D．時(shí)，平衡位置在P、Q處的兩質(zhì)點(diǎn)位移相同【變式5-1】（2025·河南·高考真題）賈湖骨笛是河南博物院鎮(zhèn)館之寶之一，被譽(yù)為“中華第一笛”。其中一支骨笛可以發(fā)出等音。已知音和音所對應(yīng)的頻率分別為和，則（）A．在空氣中傳播時(shí)，音的波長大于音的B．在空氣中傳播時(shí)，音的波速小于音的C．由空氣進(jìn)入水中，音和音的頻率都變大D．由空氣進(jìn)入水中，音的波長改變量大于音的【變式5-2】（2025·安徽·高考真題）如圖，某同學(xué)演示波動(dòng)實(shí)驗(yàn)，將一根長而軟的彈簧靜置在光滑水平面上，彈簧上系有一個(gè)標(biāo)記物，在左端沿彈簧軸線方向周期性地推、拉彈簧，形成疏密相間的機(jī)械波。下列表述正確的是（）A．彈簧上形成的波是橫波B．推、拉彈簧的周期越小，波長越長C．標(biāo)記物振動(dòng)的速度就是機(jī)械波傳播的速度D．標(biāo)記物由靜止開始振動(dòng)的現(xiàn)象表明機(jī)械波能傳遞能量【變式5-3】（2024·江蘇·高考真題）水槽中平靜的水面上漂著兩片小紙屑、。如圖所示，O、A、B在一條直線上，OA=2AB，時(shí)刻開始用筆尖周期性地輕點(diǎn)水面O點(diǎn)，t1時(shí)刻觀察到開始振動(dòng)，B開始振動(dòng)的時(shí)刻為（）A．t1 B． C．2t1 D．【變式5-4】（2024·海南·高考真題）一歌手在湖邊唱歌，歌聲通過空氣和水傳到距其2km的湖對岸，空氣中的聲速為340m/s，水中聲速為1450m/s，歌聲可視為頻率為400Hz的聲波，則下列說法正確的是（）A．在水中傳播頻率會改變B．由空氣和水傳到湖對岸的時(shí)間差約為4.5sC．在空氣中波長為0.85mD．在水中的波長為5m【變式5-5】（2025·重慶·高考真題）一浮筒（視為質(zhì)點(diǎn)）在池塘水面以頻率f上下振動(dòng)，水面泛起圓形的漣漪（視為簡諧波）。用實(shí)線表示波峰位置，某時(shí)刻第1圈實(shí)線的半徑為r，第3圈實(shí)線的半徑為9r，如圖所示，則（）A．該波的波長為4r B．該波的波速為2frC．此時(shí)浮筒在最低點(diǎn) D．再經(jīng)過，浮筒將在最低點(diǎn)【變式5-6】（2025·全國卷·高考真題）一組身高相近的學(xué)生沿一直線等間隔排成一排，從左邊第一位同學(xué)開始，依次周期性地“下蹲、起立”，整個(gè)隊(duì)列呈現(xiàn)類似簡諧波的波浪效果，如圖所示。假定某次游戲中，形成的波形的波長為4m，左邊第一位同學(xué)蹲至最低點(diǎn)時(shí)，隊(duì)列中另一同學(xué)恰好站直，則這兩位同學(xué)間的距離可能是（

）A．1m B．2m C．5m D．6m類型2.波動(dòng)圖像模型1、波的傳播方向與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向的互判方法（1）“上下坡”法：沿波的傳播方向，“上坡”時(shí)質(zhì)點(diǎn)向下振動(dòng)，“下坡”時(shí)質(zhì)點(diǎn)向上振動(dòng)（2）“同側(cè)”法：波形圖上某點(diǎn)表示傳播方向和振動(dòng)方向的箭頭在圖線同側(cè)（3）“微平移”法：將波形沿傳播方向進(jìn)行微小的平移，再由對應(yīng)同一x坐標(biāo)的兩波形曲線上的點(diǎn)來判斷振動(dòng)方向2.由波的圖像畫出某一質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)圖像的步驟（1）由波的圖像求出波的周期,即質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期;（2）從波的圖像中找出該質(zhì)點(diǎn)在計(jì)時(shí)時(shí)刻相對平衡位置的位移;（3）根據(jù)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向和波傳播方向間的關(guān)系,確定質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向;（4）建立y-t坐標(biāo)系,根據(jù)正弦或余弦規(guī)律畫出質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像.3.三步求解波的圖像與振動(dòng)圖像綜合問題【典例6】（2025·天津·高考真題）位于坐標(biāo)原點(diǎn)的波源從平衡位置開始沿y軸運(yùn)動(dòng)，在均勻介質(zhì)中形成了一列沿x軸正方向傳播的簡諧波，P和Q是平衡位置分別位于和處的兩質(zhì)點(diǎn)，時(shí)波形如圖所示，此時(shí)Q剛開始振動(dòng)，時(shí)Q第一次到達(dá)波谷。則（）A．該波在此介質(zhì)中的波速為B．波源開始振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向沿y軸負(fù)方向C．P的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為D．平衡位置位于處的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)第一次到達(dá)波峰【變式6-1】（2024·湖南·高考真題）如圖，健身者在公園以每分鐘60次的頻率上下抖動(dòng)長繩的一端，長繩自右向左呈現(xiàn)波浪狀起伏，可近似為單向傳播的簡諧橫波。長繩上A、B兩點(diǎn)平衡位置相距，時(shí)刻A點(diǎn)位于波谷，B點(diǎn)位于波峰，兩者之間還有一個(gè)波谷。下列說法正確的是（

）A．波長為 B．波速為C．時(shí)刻，B點(diǎn)速度為0 D．時(shí)刻，A點(diǎn)速度為0【變式6-2】（2024·天津·高考真題）一列簡諧橫波在均勻介質(zhì)中沿x軸傳播，圖1是時(shí)該波的波形圖，圖2是處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像。則時(shí)該波的波形圖為（）A．B．C．D．【變式6-3】（2025·山東·高考真題）均勻介質(zhì)中分別沿x軸負(fù)向和正向傳播的甲、乙兩列簡諧橫波，振幅均為，波速均為，M、N為介質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)。時(shí)刻的波形圖如圖所示，M、N的位移均為。下列說法正確的是（

）A．甲波的周期為 B．乙波的波長為C．時(shí)，M向y軸正方向運(yùn)動(dòng) D．時(shí)，N向y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)【變式6-4】（2024·全國甲卷·高考真題）一列簡諧橫波沿x軸傳播，周期為，時(shí)刻的波形曲線如圖所示，此時(shí)介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)b向y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是（）A．該波的波速為B．該波沿x軸正方向傳播C．時(shí)質(zhì)點(diǎn)a和質(zhì)點(diǎn)c的運(yùn)動(dòng)方向相反D．時(shí)介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)a向y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)E．時(shí)介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)b的速率達(dá)到最大值【變式6-5】（2022·山東·高考真題）一列簡諧橫波沿x軸傳播，平衡位置位于坐標(biāo)原點(diǎn)O的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)圖像如圖所示。當(dāng)時(shí)，簡諧波的波動(dòng)圖像可能正確的是（）A．B．C．D．【變式6-6】（2023·上?！じ呖颊骖}）如圖所示，有一周期為、沿軸正方向傳播的波，當(dāng)時(shí)波恰好傳到點(diǎn)，則時(shí)，段的波形圖為（

）

A．

B．

C．

D．

【變式6-7】（（2021·湖北·高考真題）一列簡諧橫波沿x軸傳播，在t=0時(shí)刻和t=1s時(shí)刻的波形分別如圖中實(shí)線和虛線所示。已知x=0處的質(zhì)點(diǎn)在0~1s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為4.5cm。下列說法正確的是（）A．波沿x軸正方向傳播B．波源振動(dòng)周期為1.1sC．波的傳播速度大小為13m/sD．t=1s時(shí)，x=6m處的質(zhì)點(diǎn)沿y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)類型3.波的多解模型波的多解問題的三種主要類型（1）周期性：時(shí)間周期性：時(shí)間間隔Δt與周期T的關(guān)系不明確；空間周期性：波傳播的距離Δx與波長λ的關(guān)系不明確．（2）雙向性：傳播方向雙向性：波的傳播方向不確定；振動(dòng)方向雙向性：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向不確定．（3）波形的隱含性：在波動(dòng)問題中，往往只給出完整波形的一部分，或給出幾個(gè)特殊點(diǎn)，而其余信息均處于隱含狀態(tài)，這樣波形就有多種情況，形成波動(dòng)問題的多解性。2.解決波的多解問題的一般思路（1）首先找出造成多解的原因，比如考慮傳播方向的雙向性，可先假設(shè)波向右傳播，再假設(shè)波向左傳播，分別進(jìn)行分析。（2）根據(jù)周期性列式，若題目給出的是時(shí)間條件，則列出t＝nT＋Δt（n＝0，1，2，…）；若給出的是距離條件，則列出x＝nλ＋Δx（n＝0，1，2，…）進(jìn)行求解。（3）根據(jù)需要進(jìn)一步求與波速v=【典例7】（2025·海南高考真題）如圖所示，實(shí)線和虛線分別是沿著軸正方向傳播的一列簡諧橫波在時(shí)刻和的波形圖，已知波的周期，則下列關(guān)于該列波說法正確的是（）A．波長為 B．波速為C．周期為 D．時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)向下振動(dòng)【變式7-1】（2021·山東·高考真題）一列簡諧橫波沿x軸傳播，如圖所示，實(shí)線為時(shí)的波形圖，虛線為時(shí)的波形圖。以下關(guān)于平衡位置在O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像，可能正確的是（）A．B．C．D．【變式7-2】（2025·陜晉青寧卷·高考真題）一列簡諧橫波在介質(zhì)中沿直線傳播，其波長大于，a、b為介質(zhì)中平衡位置相距的兩質(zhì)點(diǎn)，其振動(dòng)圖像如圖所示。則時(shí)的波形圖可能為（

）A．B．C．D．【變式7-3】（2024·重慶·高考真題）一列沿x軸傳播的簡諧波，在某時(shí)刻的波形圖如圖甲所示，一平衡位置與坐標(biāo)原點(diǎn)距離為3米的質(zhì)點(diǎn)從該時(shí)刻開始的振動(dòng)圖像如圖乙所示，若該波的波長大于3米。則（

）A．最小波長B．頻率C．最大波速D．從該時(shí)刻開始2s內(nèi)該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為【變式7-4】（2023·海南·高考真題）下面上下兩圖分別是一列機(jī)械波在傳播方向上相距6m的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)P、Q的振動(dòng)圖像，下列說法正確的是（

）

A．該波的周期是5s B．該波的波速是3m/sC．4s時(shí)P質(zhì)點(diǎn)向上振動(dòng) D．4s時(shí)Q質(zhì)點(diǎn)向上振動(dòng)【變式7-5】如圖甲所示，在波的傳播方向上有A、B、C三點(diǎn)，其中AB=BC=10m，t=0時(shí)刻開始觀察到A、CA．若向右傳播，該波的波長為80B．若向左傳播，該波的波長為80C．若振源位于C點(diǎn)，起振方向向上，且3λ<AC<4λ（λ為波長），那么從振源起振開始計(jì)時(shí)，B處質(zhì)點(diǎn)第1次到達(dá)波峰需要17D．若振源位于C點(diǎn)，起振方向向下，且3λ<AC<4λ（λ為波長），那么從振源起振開始計(jì)時(shí)，B處質(zhì)點(diǎn)第1次到達(dá)波峰需要17【變式7-6】（2023·湖北·高考真題）一列簡諧橫波沿x軸正向傳播，波長為，振幅為。介質(zhì)中有a和b兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其平衡位置分別位于和處。某時(shí)刻b質(zhì)點(diǎn)的位移為，且向y軸正方向運(yùn)動(dòng)。從該時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，a質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像為（

）A．

B．

C．

D．類型4.波特有的現(xiàn)象模型1.波的干涉和衍射波的干涉波的衍射條件兩列波的頻率必須相同明顯條件：障礙物或孔的尺寸比波長小或相差不多現(xiàn)象形成加強(qiáng)區(qū)和減弱區(qū)相互隔開的穩(wěn)定的干涉圖樣波能夠繞過障礙物或孔繼續(xù)向前傳播注意：發(fā)生衍射是無條件的，發(fā)生明顯衍射是有條件的。2.波的干涉現(xiàn)象中振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)、減弱點(diǎn)的兩種判斷方法（1）波形圖法如圖所示，在某時(shí)刻波的干涉的波形圖上，波峰與波峰（或波谷與波谷）的交點(diǎn)（如圖中的P、Q）一定是振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)，而波峰與波谷的交點(diǎn)（如圖中的R、S）一定是振動(dòng)減弱點(diǎn)，各振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)或振動(dòng)減弱點(diǎn)各自連接而成以兩波源為中心向外輻射的連線，形成加強(qiáng)線和減弱線，兩種線互相間隔，加強(qiáng)點(diǎn)與減弱點(diǎn)之間各質(zhì)點(diǎn)的振幅介于加強(qiáng)