第六單元圓第23講圓的基本性質(zhì)(3年5考)1.理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念,了解等圓、等弧的概念.2.探索并證明垂徑定理及其推論.3.探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系,了解并證明圓周角定理及其推論.課標(biāo)要求知識梳理夯基礎(chǔ)重難突破提能力視野拓展培素養(yǎng)實戰(zhàn)演練精評價基礎(chǔ)對練1.串題練透考點如圖所示,點A,B,C,D在☉O上,AB是☉O的直徑.(1)寫出圖中的弦:

;

(2)☉O中最長的弦是

,寫出☉O的半徑:

;

AC,BC,ABABOA,OB,OC,OD(3)寫出圖中的劣弧:

;

(4)寫出弦BC所對的弧:

;

(5)弦BC所對的圓心角是

,圓周角是

;

(6)☉O的對稱軸是

.

∠BOC∠BAC直徑AB所在的直線(答案不唯一)知識梳理知識點一圓的相關(guān)概念和性質(zhì)弦、直徑連接圓上任意兩點的

叫作弦,經(jīng)過

的弦叫作直徑,直徑是圓中最

的弦

弧圓上任意兩點間的部分叫作

,弧有優(yōu)弧、劣弧、

.之分

圓心角頂點在

的角

線段圓心長弧半圓圓心圓周角頂點在

,兩邊都與圓

的角

與圓有關(guān)的性質(zhì)對稱性圓是軸對稱圖形,也是

對稱圖形.對稱中心是

旋轉(zhuǎn)不變性圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都與自身重合圓上相交中心圓心基礎(chǔ)對練2.定理及推論辨析如圖所示,AB是☉O的弦,弦CD交AB于點P,CD=6cm.3⊥⊥3知識梳理知識點二垂徑定理及其推論定理垂直于弦的直徑

弦,并且

弦所對的兩條弧

推論平分弦(不是直徑)的直徑

于弦,并且平分弦所對的兩條弧

定理與推論的延伸弦的垂直平分線經(jīng)過

,并且平分弦所對的弧;

平分弦所對的一條弧的直徑

弦,并且平分弦所對的另一條

平分平分垂直圓心垂直平分弧基礎(chǔ)對練3.串題練透考點如圖所示,AB是☉O的直徑.66°32°4知識梳理知識點三弧、弦、圓心角1.定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧

,所對的弦也

.

2.推論:在同圓或等圓中,兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,它們所對應(yīng)的其余兩組量分別對應(yīng)

.

溫馨提示應(yīng)用定理時,一定要注意“在同圓或等圓中”這個條件,同時要特別注意一條弦對應(yīng)兩條弧.相等相等相等基礎(chǔ)對練4.如圖所示,AB是☉O的直徑,CD是☉O的弦.(1)∠ADB的度數(shù)為

;

(2)若∠ACD=36°,則∠ABD的度數(shù)為

,∠BAD的度數(shù)為

.

90°36°54°知識梳理知識點四圓周角定理及其推論1.圓周角定理:同弧或等弧所對的圓周角

,等于它所對的圓心角的

.

2.推論:(1)半圓或直徑所對的圓周角是

;

(2)90°的圓周角所對的弦是

.

相等一半直角直徑基礎(chǔ)對練5.如圖所示,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,點E在BC的延長線上,∠A=65°,則∠BCD=

,∠DCE=

.

115°65°知識梳理知識點五圓內(nèi)接四邊形1.性質(zhì):圓內(nèi)接四邊形的對角

.

2.拓展:圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于其內(nèi)對角,如圖所示,∠C=∠DAE.互補核心考點1垂徑定理及其推論(3年1考)6.(2025·宜賓)如圖所示,AB是☉O的弦,半徑OC⊥AB于點D.若AB=8,OC=5,則OD的長是()A7.如圖所示,AB是☉O的直徑,CD是☉O的弦,AB⊥CD于點E,若AB=10,CD=8,則cos∠OCE等于()C8.傳統(tǒng)文化圓在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用,如圖所示,某園林中圓弧形門洞的頂端到地面的高度為2.8m,地面入口的寬度為1m,門枕的高度為0.3m,則該圓弧所在圓的半徑為()A.1.2m B.1.3mC.1.4m D.0.5mB核心考點2圓周角定理及推論(3年2考)9.(2025·黔西一模)如圖所示,△ABC內(nèi)接于☉O,連接OB,OC,∠A=45°,則∠BOC的度數(shù)為()A.60° B.75° C.90° D.100°CBA.70° B.110° C.120° D.140°CA.40° B.25° C.20° D.15°21核心考點3圓的有關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(3年2考)典例精析例(2025·貴州一模)如圖所示,☉O是△ABC的外接圓,D是直徑AB上一點,∠ACD的平分線交AB于點E,交☉O于另一點F,FA=FE.(1)求證:CD⊥AB;(2)設(shè)FM⊥AB,垂足為M,若OM=OE=1,求AC的長.13.(2025·畢節(jié)一模)如圖所示,☉O為△ABC的外接圓,且AB=AC,BD是☉O的直徑,過點A作AE⊥BD于點E,交BC于點F,連接AD.(1)寫出圖中一個與∠C相等的角;解:(1)∠C=∠ABC(答案不唯一).真題對練(2)判斷△ABF的形狀,并說明理由;解:(2)△ABF是等腰三角形,理由如下:∵BD為☉O的直徑,∴∠BAD=90°.∴∠D+∠ABE=90°.∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°.∴∠BAE+∠ABE=90°,∴∠D=∠BAE.又∠C=∠D,∴∠C=∠BAE.∵AB=AC,∴∠C=∠ABF.∴∠BAF=∠ABF.∴△ABF是等腰三角形.歸納總結(jié)圓的有關(guān)性質(zhì)的綜合運用,主要是運用圓的有關(guān)性質(zhì)去解決相關(guān)計算和證明,運用的難點在于作輔助線和破解題目中已知條件,為解決問題打下鋪墊.作輔助線的主要思想是構(gòu)造與性質(zhì)相關(guān)的模型去解決問題,如:構(gòu)造垂徑定理的模型時,常作垂直于弦的直徑得到直角三角形;構(gòu)造與圓周角相關(guān)的模型時,常有(1)作過圓上某點的直徑,連接過直徑端點的弦;(2)構(gòu)造同弧所對的圓周角.破解題目中已知條件時,要注意把已知條件與定理、模型聯(lián)系起來,如:利用圓周角定理時,注意找準(zhǔn)直徑、等弦或同弦所對的圓周角;同時還要聯(lián)系以往所學(xué)的知識,尋找多個模型形成的常見組合模型等.14.新情境如圖所示,將一個球放置在圓柱形玻璃瓶上,測得瓶高AB=20cm,底面直徑BC=12cm,球的最高點到瓶底面的距離為32cm,則球的半徑為

cm(玻璃瓶厚度忽略不計).

7.5提示:如圖所示,設(shè)球心為O,過O作OM⊥AD于點M,連接OA.1.下列說法正確的是()A.弦是直徑B.半圓是弧C.長度相等的弧是等弧D.過圓心的線段是直徑基礎(chǔ)過關(guān)B2.如圖所示,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=60°,則∠ADC的度數(shù)為()A.15° B.30° C.45° D.60°B3.如圖所示,A,B,C在☉O上,AC,OB交于點D.若AD=CD=8,OD=6,則☉O半徑的長為()D4.如圖所示,AB是☉O的弦,半徑OC⊥AB,D為圓周上一點,若∠ADC的度數(shù)為35°,則∠ABO的度數(shù)為()A.15° B.20° C.25° D.30°B5.如圖所示,點A,B,C,D在☉O上,AC⊥BC,AC=5,∠ADC=30°,則BC的長為()A6.如圖所示,將一根木棒的一端固定在O點,另一端綁一重物.將此重物拉到A點后放開,讓此重物由A點擺動到B點.則此重物移動路徑的形狀為()A.傾斜直線 B.拋物線C.圓弧 D.水平直線CCA.50cm B.35cmC.25cm D.20cm8.如圖所示,已知四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,E為AD延長線上一點,∠AOC=128°,則∠CDE等于()A.64° B.60° C.54° D.52°ABA.66° B.56° C.34° D.28°10.如圖所示,☉O的弦AB=8,半徑OC⊥AB,垂足為D,且CD=2,則∠OAB的正弦值等于()A412.如圖所示,☉O中,AB為直徑,BC與☉O相切于點B,AC交☉O于點E,D為AC上一點,∠AOD=∠C.(1)求證:OD⊥AE;(1)證明:∵BC為☉O的切線,AB是☉O的直徑,∴AB⊥BC.∴∠ABC=90°.∴∠A+∠C=90°.∵∠AOD=∠C,∴∠A+∠AOD=90°.∴∠ADO=90°,即OD⊥AE.(1)求證:∠DAE=∠AED;(1)證明:設(shè)∠ABC=α,則∠AOC=2α.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∴∠OAC=90°-α.∵AD是☉O的切線,∴OA⊥AD.∴∠OAD=90°.∴∠DAE=α.∵∠AOC=2