2026屆浙江省杭二中高三上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．2．定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿(mǎn)足任意，有，且當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知直線與直線則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．設(shè)實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為（）A．2 B．24 C．16 D．145．半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱，則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為（）A． B． C． D．6．如圖，平面與平面相交于，，，點(diǎn)，點(diǎn)，則下列敘述錯(cuò)誤的是（）A．直線與異面B．過(guò)只有唯一平面與平行C．過(guò)點(diǎn)只能作唯一平面與垂直D．過(guò)一定能作一平面與垂直7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B．4 C． D．8．在等腰直角三角形中，，為的中點(diǎn)，將它沿翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時(shí)四面體的外接球的表面積為（）.A． B． C． D．9．已知函數(shù)f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均為常數(shù)）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱(chēng)，則f（5）+f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．410．已知不重合的平面和直線，則“”的充分不必要條件是（）A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B．且C．且 D．內(nèi)的任何直線都與平行11．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足：，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線上，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.14．已知橢圓，，若橢圓上存在點(diǎn)使得為等邊三角形（為原點(diǎn)），則橢圓的離心率為_(kāi)________．15．若的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則展開(kāi)式中x的系數(shù)為_(kāi)____16．不等式對(duì)于定義域內(nèi)的任意恒成立，則的取值范圍為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形，求的值．18．（12分）已知矩陣不存在逆矩陣，且非零特低值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，求的值.19．（12分）已知在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.20．（12分）如圖，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，已知在三棱錐中，平面，分別為的中點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）設(shè)平面與交于點(diǎn)，求證：為的中點(diǎn).22．（10分）如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.過(guò)頂點(diǎn)，的平面與棱，分別交于，兩點(diǎn).（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：四邊形是平行四邊形；（Ⅲ）若，試判斷二面角的大小能否為？說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)拋物線定義得，即可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由題意可得的周期為，當(dāng)時(shí)，，令，則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)，求得的取值范圍.【詳解】是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，滿(mǎn)足任意，，令，又，為周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)，作出圖像，如下圖所示：函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，，若，的圖像和的圖像只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以，的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，則有，即，.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過(guò)程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考?？嫉臒狳c(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.3、B【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系.【詳解】若，則，故或，當(dāng)時(shí)，直線，直線，此時(shí)兩條直線平行；當(dāng)時(shí)，直線，直線，此時(shí)兩條直線平行.所以當(dāng)時(shí)，推不出，故“”是“”的不充分條件，當(dāng)時(shí)，可以推出，故“”是“”的必要條件，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷，前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來(lái)考慮，后者依據(jù)兩個(gè)條件之間的推出關(guān)系，本題屬于中檔題.4、D【解析】

做出滿(mǎn)足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿(mǎn)足的可行域，如下圖陰影部分，根據(jù)圖象，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長(zhǎng)與高分別為，利用，可得，進(jìn)一步得到側(cè)面積，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖所示.設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長(zhǎng)與高分別為，則，在中，，化為，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正三棱柱與球的切接問(wèn)題，涉及到基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.6、D【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線與共面，則A，D，B，C共面，則AB，CD共面，與，矛盾，故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過(guò)只有唯一平面與平行，故正確.C.根據(jù)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直知，故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過(guò)不一定能作一平面與垂直，故錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義，性質(zhì)以及線面關(guān)系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.7、A【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的的值，當(dāng)，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行過(guò)程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果為，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有判斷程序框圖輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.8、D【解析】

如圖，將四面體放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，這樣根據(jù)幾何關(guān)系，求外接球的半徑.【詳解】中，易知，翻折后,，，設(shè)外接圓的半徑為，，，如圖：易得平面，將四面體放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，設(shè)幾何體外接球的半徑為，，四面體的外接球的表面積為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計(jì)算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑時(shí)，一般可以用補(bǔ)形法，因正方體，長(zhǎng)方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體，比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，或是構(gòu)造直角三角形法，確定球心的位置，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.9、C【解析】

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性即可求出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)（5，f（5））與點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））滿(mǎn)足（5﹣1）÷2＝2，故它們關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱(chēng)，所以f（5）+f（﹣1）＝2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，屬于中檔題．10、B【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，則相交或，排除；B.且，故，當(dāng)，不能得到且，滿(mǎn)足；C.且，，則相交或，排除；D.內(nèi)的任何直線都與平行，故，若，則內(nèi)的任何直線都與平行，充要條件，排除.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.11、A【解析】試題分析：由題意得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以必有解，則，且，∴．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)【方法點(diǎn)睛】函數(shù)極值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略（1）知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).（2）已知函數(shù)求極值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表檢驗(yàn)f′（x）在f′（x）＝0的根的附近兩側(cè)的符號(hào)―→下結(jié)論.（3）已知極值求參數(shù).若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x0，y0）處取得極值，則f′（x0）＝0，且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反.12、B【解析】

轉(zhuǎn)化，為，利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿(mǎn)足：所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，右準(zhǔn)線方程，得到交點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求解即可．【詳解】解：雙曲線的右準(zhǔn)線，漸近線，雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)，交點(diǎn)在拋物線上，可得：，解得．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

根據(jù)題意求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，將其代入橢圓的方程，求出參數(shù)m的值，再根據(jù)離心率的定義求值.【詳解】由題意得，將其代入橢圓方程得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，屬于中檔題.15、2025【解析】

利用賦值法，結(jié)合展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和列方程，由此求得的值.再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】依題意，令，解得，所以，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：令，得，所以的系數(shù)為.故答案為：2025【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，考查二項(xiàng)式展開(kāi)式指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)題意，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為只對(duì)于內(nèi)的任意恒成立，令，則只需在定義域內(nèi)即可，利用放縮法，得出，化簡(jiǎn)后得出，即可得出的取值范圍.【詳解】解：已知對(duì)于定義域內(nèi)的任意恒成立，即對(duì)于內(nèi)的任意恒成立，令，則只需在定義域內(nèi)即可，，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由可知，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)有解時(shí)，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，使得，，則，所以的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，解決恒成立問(wèn)題求參數(shù)值，涉及分離參數(shù)法和放縮法，考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，由可得，（所以，解得，所以不等式的解集為．（2）由題可得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形，符合題意．綜上，可得．18、【解析】

由不存在逆矩陣，可得，再利用特征多項(xiàng)式求出特征值3，0，，利用矩陣乘法運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椴淮嬖谀婢仃?，，所?矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，則或，所以，即，所以，所以【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關(guān)的問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.19、(1);(2).【解析】分析：（1）在式子中運(yùn)用正弦、余弦定理后可得．（2）由經(jīng)三角變換可得，然后運(yùn)用余弦定理可得，從而得到，故得．詳解：(1)由題意及正、余弦定理得，整理得，∴（2）由題意得，∴，∵，∴，∴.由余弦定理得，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∴．∴面積的最大值為．點(diǎn)睛：（1）正、余弦定理經(jīng)常與三角形的面積綜合在一起考查，解題時(shí)要注意整體代換的應(yīng)用，如余弦定理中常用的變形，這樣自然地與三角形的面積公式結(jié)合在一起．（2）運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件，在解題中必須要注明．20、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，由三角形中位線定理得，由此能證明平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】證明：證明：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)．又是的中點(diǎn)，連接，則．因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）由，可得：，即所以又因?yàn)橹崩庵?，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個(gè)法向量為，同理可得平面的一個(gè)法向量為，則所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）要做證明，只需證明平面即可；（2）易得∥平面，平面，利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到∥，從而獲得證明【詳解】證明：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)?，所?又因?yàn)?，平面，平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?（2）因?yàn)槠矫媾c交于點(diǎn)，所以平面.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥.又因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平?又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以∥，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道容易題.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）不能為.【解析】

（1）由平面平面，可得平面，從而證明；（2）由平面與平面沒(méi)有交點(diǎn)，可得與不相交，又與共面，所以，同理可證，得證；（3）作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，根據(jù)三垂線定理，確定二面角的平面角，若，，由大角對(duì)大邊知，兩者矛盾，故二面角的大小不能為.【詳解】（1）由平面平面，平面平面，且，