數(shù)值分析閆麗宏咸陽師范學(xué)院第七章

非線性方程與方程組的數(shù)值解法值7.1引言7.2二分法7.3簡單迭代法7.4牛頓法及其變形方法7.5多項式方程求根7.6非線性方程組的數(shù)值解法7.1引言7.1引言

在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)中，常遇到一些高次代數(shù)方程或超越方程，這些方程看起來很簡單，卻不容易求得精確根，只能用數(shù)值方法求出根的近似值.設(shè)非線性方程一般形式可記為(7.1)其中.

非線性方程一般分為代數(shù)方程和超越方程兩種，當(dāng)

是n次多項式，則稱方程（7.1）為代數(shù)方程或n次多項式方程，否則稱為超越方程.7.1引言

對于非線性方程（7.1）,如果實(shí)數(shù)

滿足

，則稱

是該方程的根,或稱

是函數(shù)

的零點(diǎn)；

定理1（根的存在性）若

在

上連續(xù)，

且

，則方程

在

上至少存在一個實(shí)根.

若

可分解為其中m為正整數(shù)，且

，則稱

為方程（7.1）的m重根，或稱

為函數(shù)的m重零點(diǎn);當(dāng)

時，為單根或單零點(diǎn).7.1引言第一步：根的隔離即確定根所在的區(qū)間,使方程在這個小區(qū)間內(nèi)有且僅有一個根,所得小區(qū)間稱為方程根的隔離區(qū)間.第二步：根的精確化再用一種方法把此近似值精確化,使其滿足精度要求.根的逐步精確化的方法，包括二分法、迭代法、牛頓法和割線法等.數(shù)值方法求解方程（7.1）的根一般分成二個步驟進(jìn)行:7.1

引言（1）作

的草圖,由

與橫軸交點(diǎn)的大致位置來確定；或者將

改寫成

，根據(jù)

和

交點(diǎn)橫坐標(biāo)來確定根的隔離區(qū)間.

通常隔離區(qū)間的確定方法為（2）逐步搜索:從a點(diǎn)出發(fā),選取適當(dāng)?shù)牟介Lh,根據(jù)定理1，比較

與

的符號來確定根的隔離區(qū)間.

7.1引言0123456

的符號－－＋＋－－＋表7-1計算結(jié)果根據(jù)定理1，區(qū)間（1,2），（3,4），（5,6）內(nèi)有實(shí)根.

例1考察方程

的根所在的區(qū)間.解設(shè)從

出發(fā)，取為步長h=1向右進(jìn)行根的搜索，列表記錄各個節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值的符號:7.2二分法7.2二分法

二分法的基本思想是逐步將含根區(qū)間二等分，通過判別區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)

值符號，進(jìn)一步搜索含根區(qū)間，使含根區(qū)間長度縮小到充分小，從而求

出滿足給定精度的根的近似值.

當(dāng)非線性方程（7.1）中的

在上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)

，

則

非線性方程（7.1）在[a，b]上有且僅有一個根.

此時可以使用二分法求出該單根。77.2二分法利用二分法求解方程（7.1）單根的具體步驟如下：（3）判斷若

(為預(yù)先給定精度)，則

就是所求近似根，否則檢驗：①若

與

異號，則根位于區(qū)間

，取

；②若

與

同號，則根位于區(qū)間

，取.

（4）若

（

為預(yù)先給定精度），則方程的近似根為

；否則，回到（2）繼續(xù)計算.（1）計算

在區(qū)間端點(diǎn)

處的值；（2）計算

在區(qū)間

中點(diǎn)處的值

；7.2二分法說明：

(ⅰ)上述計算步驟（2）和（3）每執(zhí)行一次就把新的區(qū)間分成兩份，根的范圍也縮小一半.如果第

次二分后得到的區(qū)間記

為

，根的近似值記為

，則有

，

，那么當(dāng)時

，

，這說明如果二分過程無限繼續(xù)下去，這些區(qū)間必將收斂于一點(diǎn)，即為所求根.(ⅱ)第

次二分后，根

與近似根

滿足誤差估計式 ,（7.2）通過該誤差估計式（7.2），可以事先估計二分的次數(shù).

7.2二分法

例2

使用二分法求方程

在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根,要求精確到.解

已知

且

，

則方程

在區(qū)間

內(nèi)只有一個實(shí)根.

當(dāng)

，

，計算

，區(qū)間

中有根，

，繼續(xù)二分；

當(dāng)

，

，計算

，區(qū)間

中有根，

，繼續(xù)二分；

7.2二分法的符號

0121.5+111.51.25-21.251.51.375+31.251.3751.3125-41.31251.3751.3438+51.31251.34381.3281+61.31251.32811.3203-71.32031.32811.3242-表7-2計算結(jié)果

如此反復(fù)二分下去，計算結(jié)果見表7-2.可以看出

時，

，已經(jīng)達(dá)到預(yù)定精度，因此該方程在區(qū)間

內(nèi)的近似根為.7.2二分法

誤差估計式（7.2）可以在計算機(jī)進(jìn)行二分法求根時預(yù)先估計一下二分的次數(shù)，對于例2，由

也可以解出

，這樣計算機(jī)無需每步進(jìn)行步驟（4）的檢測，在進(jìn)行到該步時輸出計算結(jié)果即為所求.

7.2二分法二分法的優(yōu)缺點(diǎn)：

二分法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡單，收斂性總能保證，對

要求不高(只要

連續(xù)即可)，程序容易實(shí)現(xiàn)

它的缺點(diǎn)是只能求單實(shí)根，不能求重根和復(fù)根，也不能推廣到方程組情

形；其收斂速度僅與比值為

的幾何級數(shù)相同，不算太快.因此二分法

常用于求根的初始近似值,然后再使用其它的方法求根.7.3簡單迭代法7.3.1簡單迭代法迭代法基本思想

迭代算法是數(shù)值計算方法中一種逐次逼近的方法，其基本思想是首先將方程

改寫成某種等價的形式，由等價形式構(gòu)造相應(yīng)的迭代公式，然后選取方程的某個初始近似值

代入公式反復(fù)校正根的近似值，直到滿足精度要求為止.7.3.1簡單迭代法構(gòu)造原理簡單迭代法的構(gòu)造原理

將非線性方程

改寫為等價形式：,(7.3)其中

連續(xù)，稱為迭代函數(shù).

給定初始近似值

，構(gòu)造如下迭代公式：(7.4)由式（7.4）得到解的近似序列

的過程，稱為簡單迭代法.7.3.1簡單迭代法

如果近似序列

有極限

則

即為方程（7.3）的根,此時稱迭代法收斂.因

，

故

是迭代函數(shù)的不動點(diǎn)，簡單迭代法（7.4）又稱為不動點(diǎn)迭代法.7.3.1簡單迭代法簡單迭代法的幾何解釋：在幾何上,方程

的根

就是在平面上曲線

與直線

的交點(diǎn)

的橫坐標(biāo).

對于

的初始近似值

,在曲線

上可

確定一點(diǎn)

,這里

.

過點(diǎn)

作

軸的平行線交直線

于點(diǎn),然后過點(diǎn)

作

軸的平行線與曲線

交于點(diǎn),這里.

圖7-17.3.1簡單迭代法

如此繼續(xù),在曲線

上得到一系列點(diǎn)

這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別由迭代公式（7.4）依次求得的迭代值.如果點(diǎn)列

趨近于點(diǎn),則相應(yīng)的迭代值

收斂到所求的根

，如圖7-2所示。圖7-27.3.1簡單迭代法圖7-2

但也有相反的情況，如圖7-2所示，無論

取何值，迭代總是發(fā)散。7.3.1簡單迭代法例3使用簡單迭代法求方程

在

內(nèi)的根，計算結(jié)果保留4位有效數(shù)字.解

因為

，,則方程在[0,1]中必有一實(shí)根，現(xiàn)將方程改寫為如下等價方程

取初始值

，可逐次算得由此得迭代格式7.3.1簡單迭代法因為

和

已趨于一致，所以取為原方程在

內(nèi)的根的近似值.

一個方程的迭代格式并不是唯一的，且迭代也不總是收斂的.本例方程也可改寫成

得迭代公式

仍取

,算得：

顯然，該迭代序列不趨向于某個定值，這種不收斂的迭代過程稱為發(fā)散.由例3可以看出，迭代函數(shù)

選得不同，相應(yīng)的迭代序列收斂情況也不一樣.7.3.1簡單迭代法

綜上所述，用迭代法計算方程

的根時，需解決如下問題：（1）如何選擇初始近似解

及迭代函數(shù)

才能保證迭代公式產(chǎn)生的序列收斂.（2）當(dāng)序列

收斂時,如何估計

次近似解的誤差,即何時迭代可以終止.（3）若兩個迭代均收斂,如何取舍?即如何衡量迭代收斂的快慢.7.3.2迭代法收斂性定理2（收斂性定理）設(shè)迭代函數(shù)

滿足以下兩個條件:（1）當(dāng)

時，有

；（2）對任意

，有

，則

在

上有唯一根

；

且對任意初值

，由迭代過程

得到的迭代序列

均收斂于

，并有誤差估計為

（7.5）

（7.6）7.3.2迭代法收斂性說明：

（1）由式（7.5）可知，只要

充分小，就可以保證

足夠小,因此可用

（

為預(yù)先給定精度）作為迭代終止的標(biāo)準(zhǔn);

（2）由式（7.6）可知，

值越小,迭代收斂得越快；如果預(yù)先給定精度

，由式（7.6）還可以估計迭代次數(shù);

（3）在定理2條件下，對區(qū)間

內(nèi)的任一點(diǎn)作為初始值

均能保證該迭代收斂，這種形式的收斂稱為大范圍收斂.

（4）若將定理條件（2）削弱為:存在正常數(shù)

，對任意

都有

，

則定理2結(jié)論仍然成立.7.3.2迭代法收斂性例4使用迭代法求方程

在

內(nèi)的根，精確到.解

將方程變形為 ,迭代公式為,

因為.又

，在

內(nèi)為增函數(shù)，

，滿足定理2的收斂條件.7.3.2迭代法收斂性

取

，由迭代公式（7.8）算得

取近似根為7.3.2迭代法收斂性例5為求方程

在區(qū)間

內(nèi)的一個根，將方程改寫成下列等價形式,并建立相應(yīng)的迭代公式,,,,分析上述每種迭代格式的收斂性.解(1)

，

，

，另外，當(dāng)

時，.由定理2，迭代過程

收斂.7.3.2迭代法收斂性(2)，

，

，不滿足定理條件，迭代過程可能收斂也可能發(fā)散，例如：取

，由迭代公式計算得

，迭代收斂

，

；取

，由迭代公式計算得

迭代發(fā)散.

已經(jīng)有定理證明了當(dāng)

時，只有初值正好選擇到根的精確解時，迭代法收斂，否則無論選擇怎樣的初值，迭代法均發(fā)散。7.3.3局部收斂和收斂階

由于非線性方程的復(fù)雜性，定理2的條件很難滿足.在實(shí)際應(yīng)用時通常只考察其在根

附近的收斂性，即局部收斂性.

定義1

設(shè)

有根

，如果存在

在某個鄰域

，對任意

，迭代法（2.4）產(chǎn)生的序列

，且收斂于

，則稱迭代法是局部收斂的.7.3.3局部收斂和收斂階為了衡量簡單迭代法（7.4）收斂速度的快慢，下面給出收斂階的定義.定義2設(shè)迭代過程

收斂于方程

的根，如果當(dāng)

時迭代誤差

滿足漸近關(guān)系式

，

常數(shù)則稱該迭代過程是

階收斂的.特別地，當(dāng)

時稱為線性收斂；當(dāng)

時稱為平方收斂，當(dāng)

時稱為超線性收斂.數(shù)

的大小反映了迭代法收斂的快慢，

越大，迭代法收斂速度越快.7.3.3局部收斂和收斂階

定理4（收斂階判別定理）對于迭代過程

及正整數(shù)

，如果

在所求根

的鄰域內(nèi)連續(xù)，且

（7.8）則該迭代過程在點(diǎn)

鄰域是

階收斂的.證明

因為

，由定理3可以判定迭代過程

局部收斂.將

在

處作Taylor展開，有

在

與

之間.7.3.3局部收斂和收斂階由式（7.9），以及

和

，上式可化為因此，當(dāng)

時，

（7.9）這表明迭代過程

為

階收斂的.

由定理4可知，迭代過程的收斂速度依賴于迭代函數(shù)

的選取.如果當(dāng)

時,則迭代過程至多是線性收斂.7.3.3局部收斂和收斂階例6用簡單迭代法求方程

的正實(shí)根,當(dāng)

，計算終止.解

方法一

將原方程改寫成

取初值

，計算結(jié)果見表2-3.因，故.

得迭代函數(shù)為

，因

在

的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且,所以，當(dāng)

充分接近

時，迭代公式

，收斂，但只有線性收斂.7.3.3局部收斂和收斂階迭代次數(shù)方法一誤差方法二誤差01

1

11.2599210.2599211.50.50000021.3122940.0523731.3478260.15217431.3223540.0100601.3252000.02262641.3242690.0019151.3247184.82225×10-451.3246333.63880×10-41.3247182.16754×10-761.3247026.91233×10-5

71.3247151.31299×10-5

81.3247172.49399×10-6

表7-3兩種方法的計算結(jié)果7.3.3局部收斂和收斂階

方法二

將原方程改寫成

，得迭代函數(shù)為

，因

在

的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且.

因，故.

所以，當(dāng)

充分接近

時，迭代公式

收斂，且至少二階收斂.取初值

，計算結(jié)果見表2-3.7.3.4迭代法的加速技巧

對于收斂的迭代過程，只要迭代次數(shù)足夠多，就可使結(jié)果達(dá)到任意的精度要求.

但有時迭代過程收斂緩慢，會使計算量變得很大，這時需要對迭代進(jìn)行加速.

甚至對于不收斂的迭代過程，當(dāng)對該迭代加速時迭代過程有可能收斂.（1）埃特金加速法

以線性收斂的迭代法為例，設(shè)

是一個線性收斂序列，收斂于方程的根

，誤差

，即

，

，因此當(dāng)

充分大時有

，從而有7.3.4迭代法的加速技巧由此可取

的校正值為

，

，（7.10）式（7.10）稱為埃特金（Aitken）加速方法.可以證明

，

這表明序列

的收斂速度比

收斂得快.7.3.4迭代法的加速技巧7.3.4迭代法的加速技巧（2）斯蒂芬森迭代法

斯蒂芬森（Steffensen）迭代法是Aitken加速法與簡單迭代法的結(jié)合，其迭代公式為

（7.11）式（7.11）實(shí)際上是將簡單迭代法（7.4）計算兩步合并成一步得到的，可將它寫成另一種簡單迭代公式，，（7.12）其中.7.3.4迭代法的加速技巧7.3.4迭代法的加速技巧對簡單迭代法（7.12）有如下局部收斂性定理.定理5若

為方程

的根,則

為方程

的根；反之，若

為方程

的根，設(shè)

存在，

，則

為方程

的根，且Steffensen迭代法（7.12）是2階收斂的.7.3.4迭代法的加速技巧例7

用Steffensen迭代法求解方程

在區(qū)間

附近的根,計算結(jié)果精確到.解

根據(jù)定理3可以判定求解上述方程的簡單迭代法，

是發(fā)散的.

以迭代公式

為基礎(chǔ)形成Steffensen算法:

7.3.4迭代法的加速技巧取

，計算結(jié)果如下表.0123451.251.3615081.3305921.3248841.3247181.324718表2-4計算結(jié)果因，故.

上述計算表明該迭代過程是收斂的，這說明即使迭代公式

是發(fā)散的，但通過Steffensen方法處理后迭代仍可能收斂.對于原來已經(jīng)收斂的階數(shù)較低的簡單迭代法,由定理5可知它可達(dá)到2階收斂.7.4牛頓法7.4牛頓法及其變形方法1.牛頓法的構(gòu)造假設(shè)方程

是線性方程，則它的根是很容易求解的.牛頓法是一種線性化的近似方法，其基本思想是將非線性方程轉(zhuǎn)化為某種線性方程來迭代求解.

設(shè)

在

附近二次連續(xù)可微.設(shè)

是

附近的一個近似值（假定

），將函數(shù)

在點(diǎn)

處做一階Taylor展開,有

，7.4.1牛頓法則方程

近似為如下線性方程,其根記為

即

為的新近似值.則方程

近似為線性方程,重復(fù)上述過程，將函數(shù)

在

點(diǎn)展開得

，得到新的近似解7.4.1牛頓法如此繼續(xù)下去，得到迭代序列

，

（7.13）

這就是牛頓法，式（7.13）稱為牛頓迭代公式.2.牛頓法的幾何解釋圖7-3如圖所示，設(shè)初始近似值為

，過點(diǎn)

作曲線

的切線

：

，切線

與

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

則為

的一次近似值.繼續(xù)過點(diǎn)

作曲線

的切線

：

，

切線

與

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

則

為

的二次近似值。

重復(fù)以上過程，可得的

近似值序列

，.由于這種幾何背景，牛頓法也稱為切線法.3.牛頓法的收斂性和收斂階

牛頓法等價于迭代函數(shù)是

的簡單迭代法.由于,假定

是方程

的一個根，即

，且

，則

.

由定理4可知，牛頓法在根

附近至少局部平方收斂.并且由式（2.9）可得

注意牛頓法是局部收斂的，它對初值

的選取比較嚴(yán)格，初值只有在根

附近才能保證收斂，因此在實(shí)際應(yīng)用中，常用二分法或逐步搜索法選取初值.7.4.1牛頓法5.牛頓法的應(yīng)用7.4.1牛頓法例8

給定方程

，判別該方程有幾個實(shí)根，并用牛頓法求出方程所有實(shí)根,精確到.圖7-4解

將原方程改寫為等價形式

，作函數(shù)

和

的圖像如圖2-4所示，可知方程有兩個實(shí)根

，.解此方程的牛頓迭代公式為：7.4.1牛頓法取初始值,計算得,,,因，所以.取初始值

,計算得

，

，

，因，所以.7.4.1牛頓法例9構(gòu)造計算

（

）的牛頓迭代公式，并計算

的近似值，計算結(jié)果精確到.解

由于

是方程

的正根，因此取

，

代入式（7.13），得到求平方根的牛頓迭代公式

，.

.由于,故取初始近似值

，取

代入上式，此時迭代公式為

，7.4.1牛頓法計算結(jié)果如表7-5所示，

，故.012341010.75000010.72383710.72380510.723805表7-5牛頓法計算結(jié)果7.4.1牛頓法例10不直接用除法運(yùn)算,使用牛頓法求

（

）的值，并計算

，計算結(jié)果精確到

.解

令

，取

，

，則求倒數(shù)的牛頓迭代公式為取

，迭代結(jié)果如表2-6，迭代4次便得到精度

為的結(jié)果00.61725

30.8100360.00259110.764190.14690940.8100450.00000920.8074450.04328650.8100450.000000表7-6計算結(jié)果7.4.1牛頓法7.4.2牛頓法的變形

牛頓法的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快（對單根）；為了克服這些缺點(diǎn)，下面將對牛頓法進(jìn)行變形。

缺點(diǎn)是對重根收斂慢；每次迭代都要計算

和

，計算量大；

牛頓法是局部收斂的，初始近似值

不易選取。1．簡化牛頓法2．牛頓下山法3．割線法4．計算重根的牛頓法1．簡化牛頓法為了避免牛頓迭代法中導(dǎo)數(shù)的求解，取某常數(shù)

代替牛頓迭代公式（7.13）中的

，得到簡化牛頓迭代公式.（7.14）7.4.2牛頓法的變形顯然，

最好取較為接近

的常數(shù)，有時

取作

，此時簡化牛頓法為線性收斂.

7.4.2牛頓法的變形簡化牛頓法的幾何解釋如圖7-5所示，因此簡化牛頓法也稱為平行弦法.圖7-5過曲線

上點(diǎn)

做斜率為

的平行弦,與

軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

作為的近似值,7.4.2牛頓法的變形2．牛頓下山法

由牛頓法的收斂性定理知，初始值

應(yīng)選取在根

附近，但對有些問題，往往很難檢驗滿足條件的初始值，這時可利用下山法來擴(kuò)大初值

的選取范圍.將牛頓迭代公式（2.13）修改為（7.15）其中

是一個參數(shù)，

的選取應(yīng)使

（7.16)成立，

這個方法稱為牛頓下山法.7.4.2牛頓法的變形

為了方便，一般開始時可簡單地取

，然后逐步分半減少，即可選取

，

，且使.

稱為下山因子，且滿足

，

為下山因子下界.7.4.2牛頓法的變形例11用牛頓下山法求方程

在

附近的根，精確到

。解

若取初值

，用牛頓法計算

，反而

比更

偏離根

.若改用牛頓下山法

，計算.仍取,計算結(jié)果如表2-7，

，故.

牛頓下山法不但放寬了初值

的選取，且有時對某一初值，雖然用牛頓法不收斂，但用牛頓下山法卻可能收斂。7.4.2牛頓法的變形010.6-1.384

1117.95716否9.25781否4.925114否2.762517.319否1.681252.0709否1.14063-0.625是211.366810.1866--311.326286.67×10-3--411.324729.65×10-6--511.32472-1.08×10-9--表7-7計算結(jié)果3．割線法7.4.2牛頓法的變形代入牛頓迭代公式（7.13）得：

（7.17）

使用公式（7.17）求解非線性方程的方法稱為割線法（或弦截法）.避免計算

，由導(dǎo)數(shù)定義,有

7.4.2牛頓法的變形割線法的幾何解釋圖7-6過曲線

上點(diǎn)

及作割線，將割線與

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為

，用割線與

軸的交點(diǎn)近似切線與

軸的交點(diǎn)，如圖2-6所示。

7.4.1牛頓法的變形

利用割線法計算

時要用到前兩步的結(jié)果

和

，這類算法稱為兩步迭代法.而牛頓法在計算

時只用到前一步的值,

這類算法稱為單步方法.因此在使用割線法（7.17）時必須先給出兩個初始值

.例12用割線法求方程

在區(qū)間

內(nèi)的實(shí)根，精確到

。

解

取

，

代入式（2.17）得割線法迭代公式7.4.2牛頓法的變形取

，計算結(jié)果如表7-8.因為，故.01

12121.2531120.08644531.3372060.08409441.3238500.01335651.3247088.578401×10-461.3247181.002882×10-571.3247188.109147×10-9

7.4.2牛頓法的變形

在割線法的計算中，每迭代一步只需計算一個函數(shù)值，避免了復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)計算，且該方法具有超線性的收斂性，深受廣大工程人員所喜愛。割線法的一般收斂性定理

定理6

設(shè)

在其根

的鄰域

具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且對任意

有

，又初值

，則當(dāng)鄰域

充分小時，割線法按

收斂到根

.7.4.1牛頓法的變形4．計算重根的牛頓法

牛頓法具有平方收斂速度是指單根時的情況，當(dāng)不是單根時，就沒有平方收斂速度，為了得到平方收斂速度，可對牛頓法進(jìn)行修正.若

為方程

的

重根（

），則有

，其中為正整數(shù)，且

，此時有7.4.1牛頓法的變形（1）當(dāng)重數(shù)

已知時，由于

，則

是方程

的單根，對此方程應(yīng)用牛頓法有迭代公式

,（7.18）

可以驗證該迭代法具有二階收斂性.（2）當(dāng)重數(shù)

未知時，設(shè)

，則

是方程

的單根.事實(shí)上，

，

故

是

的單根.對方程

應(yīng)用牛頓法有迭代公式,

（7.19）可以驗證該迭代法仍然具有二階收斂性.7.4.1牛頓法的變形例13已知

是方程

的二重根，分別用牛頓法和求重根的牛頓法求其近似根.解

牛頓迭代公式,重數(shù)

的牛頓迭代公式,重數(shù)

未知的牛頓迭代公式,7.4.2牛頓法的變形取初值

，迭代結(jié)果如表7-9所示.牛頓法

（已知）（未知）01.51.51.511.4583331.4166661.41176421.4366071.4142151.41421131.5244971.4142131.41421341.4713501.4142131.414213表7-9計算結(jié)果從表7-9可以看出，計算重根的兩種牛頓法迭代三次均達(dá)到了

精度，明顯快于一般牛頓法，重根數(shù)已知和未知的收斂速度幾乎一致。7.5多項式方程求根7.5多項式方程求根

很多實(shí)際應(yīng)用問題需要求多項式的全部零點(diǎn)，它等價于求多項式方程（）

（7.20）的全部根，其中系數(shù)

是實(shí)數(shù).

前面介紹的任何非線性方程求根方法均適用于多項式方程求根,但由于多項式方程的特殊性，可以針對其特點(diǎn)提供更有效的算法,通常使用牛頓法最好，本節(jié)介紹求解多項式方程（

）的牛頓法.7.5多項式方程求根

定理7

對于任意多項式

和

，其中

，存在唯一的多項式

和

，滿足

且

次數(shù)小于

的次數(shù)，

稱為商多項式，

稱為余多項式.由定理7可知，如果

為

次，

為

次，且

時，

為

次，

次數(shù)小于

次.7.5多項式方程求根牛頓法基本思想：將牛頓法應(yīng)用于求解多項式方程（7.20），再利用秦九韶方法求出牛頓公式中的函數(shù)值

和.將牛頓法應(yīng)用于多項式方程（7.20)，有迭代公式

（7.21）

下面利用秦九韶算法思想，不直接使用式（7.20）以及其導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，分別建立

、

與多項式系數(shù)的關(guān)系，得到

、

，從而簡化式（7.21）的計算.7.5多項式方程求根

以

除多項式

，設(shè)

，

（7.22）余數(shù)為

，則

（7.23）將式（7.20）和（7.22）代入式（7.23），比較等式兩邊多項式同次項系數(shù)，得如下遞推關(guān)系式：

（7.24）由式（7.23），有

因此通過遞推式（7.24）計算出

即可得到.7.5多項式方程求根

同理，

再用除

，設(shè)