2025年福建中考數(shù)學(xué)試題及答案一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1．下列實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是（

）A． B．0 C． D．22．中國(guó)古算詩詞歌賦較多．古算詩詞題，是反映數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律的一種文學(xué)浪漫形式．下列分別是古算詩詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其中既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的值可以是（

）A． B． C．0 D．24．福建博物院收藏著一件“鎮(zhèn)館之寶”——云紋青銅大繞，如圖1．云紋青銅大繞是西周樂器，鼓飾變形獸面紋，兩側(cè)飾云雷紋，渾大厚重，作風(fēng)穩(wěn)重古樸，代表了福建古代青銅文化曾經(jīng)的歷史和輝煌．圖2為其示意圖，它的主視圖是（

）A． B． C． D．5．不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．6．在分別寫有，1，2的三張卡片中，不放回地隨機(jī)抽取兩張，這兩張卡片上的數(shù)恰好互為相反數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．7．某數(shù)學(xué)興趣小組為探究平行線的有關(guān)性質(zhì)，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點(diǎn)A，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，．當(dāng)時(shí)，的大小為（

）A． B． C． D．8．為加強(qiáng)勞動(dòng)教育，增加學(xué)生實(shí)踐機(jī)會(huì)，某校擬用總長(zhǎng)為5米的籬笆，在兩邊都足夠長(zhǎng)的直角圍墻的一角，圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實(shí)踐基地，如圖所示．設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意可列方程（

）A． B． C． D．9．如圖，與相切于點(diǎn)A，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C．，且交于點(diǎn)B．若，則的大小為（

）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)在拋物線上，若，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11．為響應(yīng)“體重管理年”有關(guān)倡議，小敏對(duì)自己的體重進(jìn)行了跟蹤統(tǒng)計(jì)．為方便記錄，他將體重增加記作，那么體重減少應(yīng)記作．12．某房梁如圖所示，立柱，E，F(xiàn)分別是斜梁，的中點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為m．13．若反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則常數(shù)．14．如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O且與邊分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，則與的面積之和為．15．某公司為選拔英語翻譯員，舉行聽、說、讀、寫綜合測(cè)試，其中聽、說、讀、寫各項(xiàng)成績(jī)（百分制）按的比例計(jì)算最終成績(jī)．參與選拔的甲、乙兩位員工的聽、說、讀、寫各項(xiàng)測(cè)試成績(jī)及最終成績(jī)?nèi)缦卤恚喉?xiàng)目員工聽說讀寫最終成績(jī)甲A70809082乙B90807082由以上信息，可以判斷A，B的大小關(guān)系是AB．（填“>”“=”或“<”）16．彈簧秤是根據(jù)胡克定律并利用物體的重力來測(cè)量物體質(zhì)量的．胡克定律為：在彈性限度內(nèi)，彈簧彈力F的大小與彈簧伸長(zhǎng)（或壓縮）的長(zhǎng)度x成正比，即，其中k為常數(shù)，是彈簧的勁度系數(shù)；質(zhì)量為m的物體重力為，其中g(shù)為常數(shù)．如圖，一把彈簧秤在不掛任何物體時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為6厘米．在其彈性限度內(nèi)：當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為0.5千克時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為6.5厘米，那么，當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為6.8厘米時(shí)，所掛物體的質(zhì)量為千克．三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．計(jì)算：18．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在的延長(zhǎng)線上，．求證：．19．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．20．甲、乙兩人是新華高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組成員．以下是他們?cè)趨⒓痈咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)備隊(duì)員集訓(xùn)期間的測(cè)試成績(jī)及當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)信息．信息一：甲、乙兩人集訓(xùn)期間的測(cè)試成績(jī)（單位：分）日期隊(duì)員2月10日2月21日3月5日3月14日3月25日4月7日4月17日4月27日5月8日5月20日甲75807381908385929596乙82838682928387868485其中，甲、乙成績(jī)的平均數(shù)分別是；方差分別是．信息二：當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線（單位：分）年份20202021202220232024獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線9089908990試根據(jù)以上信息及你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，解決以下問題：(1)計(jì)算a的值，并根據(jù)平均數(shù)與方差對(duì)甲、乙的成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)；(2)計(jì)算當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)，并說明：若要從中選擇一人參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，選誰更合適；(3)若要從中選擇一人參加進(jìn)一步的培養(yǎng)，從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，你認(rèn)為選誰更合適？為什么？21．如圖，是等邊三角形，D是的中點(diǎn)，，垂足為C，是由沿方向平移得到的．已知過點(diǎn)A，交于點(diǎn)G．(1)求的大??；(2)求證：是等邊三角形．22．如圖，矩形中，．(1)求作正方形，使得點(diǎn)E，G分別落在邊上，點(diǎn)F，H落在上；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若，求（1）中所作的正方形的邊長(zhǎng)．23．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)．(1)求的值；(2)已知二次函數(shù)的最大值為．①求該二次函數(shù)的表達(dá)式；②若為該二次函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，且，求證：．24．閱讀材料，回答問題．主題兩個(gè)正數(shù)的積與商的位數(shù)探究提出問題小明是一位愛思考的小學(xué)生．一次，在完成多位數(shù)的乘法時(shí)，他根據(jù)算式“”，猜想：m位的正整數(shù)與n位的正整數(shù)的乘積是一個(gè)位的正整數(shù)．分析探究問題1

小明的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明；否則，請(qǐng)舉出反例推廣延伸小明的猜想激發(fā)了初中生小華的探究熱情．為了使問題的研究推廣到有理數(shù)的乘法，進(jìn)而遷移到對(duì)除法的研究，小華將數(shù)的“位數(shù)”與“數(shù)字”的概念進(jìn)行推廣，規(guī)定：如果一個(gè)正數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，則稱這個(gè)數(shù)的位數(shù)是，數(shù)字是a．借此，小華研究了兩個(gè)數(shù)乘積的位數(shù)問題，提出并證明了以下命題．命題：若正數(shù)A，B，C的位數(shù)分別為m，n，p，數(shù)字分別為a，b，c，且，則必有且，或且．并且，當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，．證明：依題意知，A，B，C用科學(xué)記數(shù)法可分別表示為，其中a，b，c均為正數(shù)．由，得，即．（*）當(dāng)且時(shí)，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以；當(dāng)且時(shí)，，所以所以，與（*）矛盾，不合題意；當(dāng)且時(shí)，①；當(dāng)且時(shí)，②．綜上所述，命題成立．拓展遷移問題2

若正數(shù)A，B的位數(shù)分別為m，n，那么的位數(shù)是多少？證明你的結(jié)論．(1)解決問題1；(2)請(qǐng)把①②所缺的證明過程補(bǔ)充完整；(3)解決問題2．25．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，AD，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，AC，BD相交于點(diǎn)F．G是AB上一點(diǎn)，GD交AC于點(diǎn)H，且．(1)求證：；(2)求證：；(3)若，求的周長(zhǎng)．1．A【分析】本題考查比較實(shí)數(shù)的大小，首先確定各數(shù)的正負(fù)性，再按負(fù)數(shù)小于0小于正數(shù)的順序比較大小即可．【詳解】解：∵，∴最小的數(shù)為；故選：A2．D【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的識(shí)別．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對(duì)稱圖形；在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．根據(jù)中心對(duì)稱和軸對(duì)稱的定義，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；D、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，符合題意；故選D．3．D【分析】本題考查了二次根式有意義的條件．根據(jù)二次根式有意義的條件，被開方數(shù)必須非負(fù)，即，解不等式即可確定x的取值范圍，進(jìn)而選出正確選項(xiàng)．【詳解】解：要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，需滿足被開方數(shù)，解得．∴符合．故選：D．4．A【分析】本題考查了幾何體的三視圖，從前面看到的圖形是主視圖，從上面看到的圖形是俯視圖，從左邊看到的圖形是左視圖．根據(jù)主視圖是從前面看到的圖形解答即可．【詳解】解；A是該幾何體的主視圖，B，C，D不是該幾何體的三視圖．故選A．5．C【分析】本題考查求不等式的解集，在數(shù)軸上表示解集，先求出不等式的解集，定邊界，定方向，表示出不等式的解集即可．【詳解】解：，，，∴；在數(shù)軸上表示如圖：故選C．6．B【分析】本題考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意，列表如下：1212共有6種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片上的數(shù)恰好互為相反數(shù)的情況有，兩種，∴；故選：B．7．B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴；故選：B．8．C【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，先用x表示出矩形的另一條邊長(zhǎng)，利用矩形的面積公式，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x米，則另一邊長(zhǎng)為米，由題意，得：；故選：C．9．C【分析】本題考查切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，連接，，切線得到，求出，平行，得到，進(jìn)而得到為等邊三角形，推出為等邊三角形，即可得出結(jié)果．【詳解】連接，，則：，∵與相切于點(diǎn)A，∴，∵，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，故選C．10．A【分析】本題考查比較二次函數(shù)的函數(shù)值的大小，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵，先求出對(duì)稱軸的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴拋物線過點(diǎn)，∴拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為，∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，∴，∵，，∴點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，小于到對(duì)稱軸的距離，∴；故選：A．11．【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)表示一對(duì)相反意義的量，增加為正，則減少為負(fù)，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：體重增加記作，那么體重減少應(yīng)記作；故答案為：．12．4【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，得出為直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出．【詳解】解：∵，∴為直角三角形，∵E是斜梁的中點(diǎn)，∴．故答案為：4．13．【分析】本題考查求反比例函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法求出值即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴；故答案為：．14．1【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出，，然后證明即可求解．【詳解】解：∵菱形，，∴，，，∴，．∵，∴，∴，∴，故答案為：1．15．>【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算，能夠掌握計(jì)算公式且準(zhǔn)確計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．利用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：∵，∴．∵，∴．∵，∴．故答案為；．16．0.8【分析】本題主要考查了胡克定律的應(yīng)用，熟練掌握胡克定律（其中為彈力，為勁度系數(shù)，為彈簧伸長(zhǎng)或壓縮量）及重力與質(zhì)量的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)已知條件求出彈簧的勁度系數(shù)，再利用胡克定律求出彈簧長(zhǎng)度為厘米時(shí)所掛物體的質(zhì)量．【詳解】解：不掛物體時(shí)彈簧長(zhǎng)度厘米，掛質(zhì)量千克物體時(shí)，彈簧長(zhǎng)度厘米，則彈簧伸長(zhǎng)量(厘米)．物體重力（為常量），根據(jù)胡克定律，可得，即，解得．當(dāng)彈簧長(zhǎng)度厘米時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量(厘米)．設(shè)此時(shí)所掛物體質(zhì)量為千克，則，因?yàn)?，所以，兩邊同時(shí)除以，得．故答案為：．17．【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及二次根式的化簡(jiǎn)、零指數(shù)冪、化簡(jiǎn)絕對(duì)值等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．原式利用二次根式性質(zhì)，零指數(shù)冪法則，以及絕對(duì)值的代數(shù)意義計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：．18．見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、補(bǔ)角的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、幾何直觀等．先證明，證明，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：，．在和中，，，．19．，【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算、分母有理化等知識(shí)．先把括號(hào)內(nèi)通分，并把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分化簡(jiǎn)，再把代入即可即可．【詳解】解：．當(dāng)時(shí)，原式．20．(1)，見解析(2)甲，見解析(3)選甲更合適．理由見解析【分析】本小題考查平均數(shù)、方差，正確求出乙的方差是解答本題的關(guān)鍵．（1）先求出乙的方差，然后比較即可；（2）先求出五年獲獎(jiǎng)的平均數(shù)，然后根據(jù)甲、乙十次測(cè)試成績(jī)達(dá)到平均成績(jī)的頻數(shù)多少判斷即可；（3）根據(jù)甲乙成績(jī)的變化趨勢(shì)分析即可．【詳解】（1），即．因?yàn)?，所以，所以甲、乙兩人的整體水平相當(dāng)，但乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定．（2）由已知得，獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)為，從信息一可知，在集訓(xùn)期間的十次測(cè)試成績(jī)中，甲達(dá)到獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)的頻數(shù)為4，而乙的頻數(shù)為1，所以甲獲獎(jiǎng)的可能性更大，故選甲參加更合適．（3）選甲更合適．理由：在集訓(xùn)期間的十次測(cè)試成績(jī)中，甲呈上升趨勢(shì)，而乙基本穩(wěn)定在原有的水平，故從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，選甲更合適．21．(1)(2)見解析【分析】（1）等邊三角形的性質(zhì)推出，垂直，得到，角的和差關(guān)系求出的大小即可；（2）平移得到，進(jìn)而得到，角的和差關(guān)系推出，進(jìn)而得到，根據(jù)，推出垂直平分，進(jìn)而得到，推出，進(jìn)而得到是等邊三角形即可．【詳解】（1）解：是等邊三角形，．D是的中點(diǎn)，．，，．（2）由平移可知：，，又，，∴，又，垂直平分，，由（1）知，，，，是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平移的基本性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間觀念、幾何直觀與推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．22．(1)見解析(2)【分析】（1）作的中垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，以為直徑畫圓，交于點(diǎn)，即可得到正方形；（2）勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，證明，求出的長(zhǎng)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：如圖，四邊形就是所求作的正方形．由作圖可知，，，∵矩形，∴，∴，，∴，∴，由作圖可知，，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形；（2）由（1）知：，，四邊形是矩形，，在中，，，．，．又，，，即，．在中，，，∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，考查推理能力、運(yùn)算能力、幾何直觀與空間觀念，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．23．(1)(2)①；②見解析【分析】本題考查了二次函數(shù)表達(dá)式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程．（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求解即可；（2）①先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)最大值為列方程求解即可；②先根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出，然后把通分后代入即可求解．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為．因?yàn)辄c(diǎn)在該函數(shù)的圖象上，所以，所以，所以．（2）①由（1）可得，，所以該函數(shù)的表達(dá)式為，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為，所以，且，解得，或（舍去）．所以該二次函數(shù)的表達(dá)式為．②因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以．由①知，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，不妨設(shè)，則，即．所以，所以．24．(1)小明的猜想不正確，反例：(2)見解析(3)當(dāng)A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時(shí)，的位數(shù)是；當(dāng)A的數(shù)字小于B的數(shù)字時(shí)，的位數(shù)是【分析】（1）舉反例即可；（2）①當(dāng)且時(shí)，可得，得，不合題意；②當(dāng)且時(shí)，可得，可得，得，即得．（3）設(shè)，A，B，C的數(shù)字分別為a，b，c，C的位數(shù)為x，則．當(dāng)時(shí)，必有，，即；當(dāng)時(shí)，必有，，即．【詳解】（1）解：小明的猜想不正確．反例：．（2）證明：①，所以，所以，與（*）矛盾，不合題意；②，所以，又，所以，由（*）知，所以．（3）解：當(dāng)A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時(shí)，的位數(shù)是；當(dāng)A的數(shù)字小于B的數(shù)字時(shí)，的位數(shù)是．證明如下：由已知，A，B的位數(shù)分別為m，n，設(shè)，A，B，C的數(shù)字分別為a，b，c，C的位數(shù)為x，則．由小華的命題知，當(dāng)時(shí)，必有，此時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，必有，此時(shí)，，所以．綜上所述，當(dāng)A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時(shí)，的位數(shù)是；當(dāng)A的數(shù)字小于B的數(shù)字時(shí)，的位數(shù)是，【點(diǎn)睛】本小題考查判斷命題的真假，科學(xué)記數(shù)法，整數(shù)指數(shù)冪，冪的運(yùn)算，不等式的基本性質(zhì)，代數(shù)推理等基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．25．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）利用得，結(jié)合同弧所對(duì)圓周角，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，完成證明．（2）先證得，再通過角的等量代換證，推出，從而得．（3）利用（2）結(jié)論將周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為，通過相似三角形及三角函數(shù)、勾股定理求出的長(zhǎng)，即周長(zhǎng)為．【詳解】（1）證明：，．，，．，．（2）證明：，．，，又，，，．由（1）知，，又，，．，．∵，，，，．（3）解：由（2）知，，的周長(zhǎng)為．設(shè)，則．由（2）可知，．又，，，，．又，，．過點(diǎn)C作，垂足為P，則．四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，又，，．在中，，即．，，，．在中，，，解得，或（舍去）．．的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)、等腰三角形、相似三角形、解直角三角形等知識(shí)，通過角與邊的轉(zhuǎn)化、相似三角形判定與性質(zhì)解題，關(guān)鍵是利用圓的性質(zhì)和三角形知識(shí)進(jìn)行邊角關(guān)系推導(dǎo)．

2024年福建中考數(shù)學(xué)試題及答案一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1．下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（

）A． B．0 C． D．2．據(jù)《人民日?qǐng)?bào)》3月12日電，世界知識(shí)產(chǎn)權(quán)組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球（《專利合作條約》）國(guó)際專利申請(qǐng)總量為27.26萬件，中國(guó)申請(qǐng)量為69610件，是申請(qǐng)量最大的來源國(guó)．?dāng)?shù)據(jù)69610用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．如圖是由長(zhǎng)方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（

）A． B．C． D．4．在同一平面內(nèi)，將直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如圖方式擺放，若，則的大小為（

）A． B． C． D．5．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．6．哥德巴赫提出“每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．在質(zhì)數(shù)2，3，5中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．7．如圖，已知點(diǎn)在上，，直線與相切，切點(diǎn)為，且為的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．8．今年我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)開局良好，市場(chǎng)銷售穩(wěn)定增長(zhǎng)，社會(huì)消費(fèi)增長(zhǎng)較快，第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額120327億元，比去年第一季度增長(zhǎng)，求去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額．若將去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額設(shè)為億元，則符合題意的方程是（

）A． B．C． D．9．小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)，分別是底邊，的中點(diǎn)，．下列推斷錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．10．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)，則下列判斷正確的是（

）A．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 B．無論實(shí)數(shù)取什么值，都有C．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 D．無論實(shí)數(shù)取什么值，都有二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11．因式分解：x2+x=．12．不等式的解集是．13．學(xué)校為了解學(xué)生的安全防范意識(shí)，隨機(jī)抽取了12名學(xué)生進(jìn)行相關(guān)知識(shí)測(cè)試，將測(cè)試成績(jī)整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖，則這12名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是．（單位：分）14．如圖，正方形的面積為4，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)，則四邊形的面積為．

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)都在第一象限．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．16．無動(dòng)力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風(fēng)對(duì)帆的作用力為．根據(jù)物理知識(shí)，可以分解為兩個(gè)力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個(gè)力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動(dòng)帆船前行的動(dòng)力．在物理學(xué)上常用線段的長(zhǎng)度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學(xué)模型：，則．（單位：）（參考數(shù)據(jù)：）三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．計(jì)算：．18．如圖，在菱形中，點(diǎn)分別在邊上，，求證：．19．解方程：．20．已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學(xué)校．在一次普通高中學(xué)業(yè)水平考試中，A地甲類學(xué)校有考生3000人，數(shù)學(xué)平均分為90分：乙類學(xué)校有考生2000人，數(shù)學(xué)平均分為80分．(1)求A地考生的數(shù)學(xué)平均分；(2)若B地甲類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為94分，乙類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比A地考生數(shù)學(xué)平均分高？若能，請(qǐng)給予證明：若不能，請(qǐng)舉例說明．21．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限，線段交軸于點(diǎn)的面積是的面積的2倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)．22．如圖，已知直線．(1)在所在的平面內(nèi)求作直線，使得，且與間的距離恰好等于與間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若與間的距離為2，點(diǎn)分別在上，且為等腰直角三角形，求的面積．23．已知實(shí)數(shù)滿足．(1)求證：為非負(fù)數(shù)；(2)若均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．24．在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙，要求大家利用它制作一個(gè)底面為正方形的禮品盒．小明按照?qǐng)D2的方式裁剪（其中），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個(gè)禮品盒，如圖3所示．

圖1

圖2

圖3(1)直接寫出的值；(2)如果要求折成的禮品盒的兩個(gè)相對(duì)的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是（

）圖4A．

B．C．

D．(3)卡紙型號(hào)型號(hào)Ⅰ型號(hào)Ⅱ型號(hào)Ⅲ規(guī)格（單位：cm）單價(jià)（單位：元）3520現(xiàn)以小明設(shè)計(jì)的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整，的比例，制作棱長(zhǎng)為的正方體禮品盒，如果要制作27個(gè)這樣的禮品盒，請(qǐng)你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號(hào)及相應(yīng)型號(hào)卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計(jì)示意圖（包括一張卡紙可制作幾個(gè)禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費(fèi)用．（要求：①同一型號(hào)的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計(jì)方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號(hào)的卡紙上作任何設(shè)計(jì)；③所用卡紙的數(shù)量及總費(fèi)用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費(fèi)用”給分，總費(fèi)用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）25．如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，，垂足為的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)求的值；(2)求證：；(3)求證：與互相平分．1．D【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，由此即可判定選擇項(xiàng)．本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：等；開方開不盡的數(shù)；以及像，等數(shù)．【詳解】根據(jù)無理數(shù)的定義可得：無理數(shù)是故選：D．2．C【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義解答，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，n是負(fù)數(shù)．本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟悉科學(xué)記數(shù)法概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】故選：C．3．C【分析】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【詳解】解：這個(gè)立體圖形的俯視圖是一個(gè)圓形，圓形內(nèi)部中間是一個(gè)長(zhǎng)方形．故選：C．4．A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，由，可得，即可求解．【詳解】∵，∴，∵，則，∴，故選：A．5．B【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項(xiàng)運(yùn)算法則．利用同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項(xiàng)計(jì)算后判斷正誤．【詳解】解：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．6．B【分析】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，根據(jù)題意畫出樹狀圖，求和后利用概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有6種不同情況，和是偶數(shù)的共有2種情況，故和是偶數(shù)的概率是，故選：B7．A【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)C為的中點(diǎn)，三角形內(nèi)角和可求出，再根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵，為的中點(diǎn)，∴∵∴∵直線與相切，∴，∴故選：A．8．A【分析】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系，根據(jù)今年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額120327億元，比去年第一季度增長(zhǎng)，列出方程即可．【詳解】解：將去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額設(shè)為億元，根據(jù)題意得：，故選：A．9．B【分析】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；A.由對(duì)稱的性質(zhì)得，由等腰三角形的性質(zhì)得，，即可判斷；B.不一定等于，即可判斷；C.由對(duì)稱的性質(zhì)得，由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；D.過作，可得，由對(duì)稱性質(zhì)得同理可證，即可判斷；掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.，，由對(duì)稱得，點(diǎn)，分別是底邊，的中點(diǎn)，與都是等腰三角形，，，，，結(jié)論正確，故不符合題意；B.不一定等于，結(jié)論錯(cuò)誤，故符合題意；C.由對(duì)稱得，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊的中點(diǎn)，，結(jié)論正確，故不符合題意；D.過作，，，，由對(duì)稱得，，同理可證，，結(jié)論正確，故不符合題意；故選：B．10．C【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再分情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，的大小情況，即可解題．【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，二次函數(shù)開口向上，且對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故A、B錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)對(duì)稱性可知，，當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)對(duì)稱性可知，，不一定大于，故C正確符合題意；D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．11．【分析】要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，直接提取公因式x即可．【詳解】解：12．【分析】本題考查的是解一元一次不等式，通過移項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1，求解即可解．【詳解】解：，，，故答案為：．13．90【分析】本題考查了中位數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解中位數(shù)的求法，難度不大．根據(jù)中位數(shù)的定義（數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，排序后，位于中間位置的數(shù)為中位數(shù)），結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】解：∵共有12個(gè)數(shù)，∴中位數(shù)是第6和7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)是；故答案為：90．14．2【分析】本題考查正方形性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)和線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，同理可得，最后利用四邊形的面積正方形的面積個(gè)小三角形面積求解，即可解題．【詳解】解：正方形的面積為4，，，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)，，，同理可得，四邊形的面積為．故答案為：2．15．【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理，完全平方公式的應(yīng)用，先根據(jù)得出，設(shè)，則，結(jié)合完全平方公式的變形與應(yīng)用得出，結(jié)合，則，即可作答．【詳解】解：如圖：連接∵反比例函數(shù)的圖象與交于兩點(diǎn)，且∴設(shè)，則∵∴則∵點(diǎn)在第一象限∴把代入得∴經(jīng)檢驗(yàn)：都是原方程的解∵∴故答案為：16．128【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，求出，，由得到，求出，求出在中，根據(jù)即可求出答案．【詳解】解：如圖，∵帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，∴，，∵，∴，在中，，，∴，由題意可知，，∴，∴在中，，∴，故答案為：17．4【分析】本題考查零指數(shù)冪、絕對(duì)值、算術(shù)平方根等基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)零指數(shù)冪、絕對(duì)值、算術(shù)平方根分別計(jì)算即可；【詳解】解：原式．18．見解析【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)證得，，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可．【詳解】證明：四邊形是菱形，，，，，．19．．【分析】本題考查解分式方程,掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解題．【詳解】解：，方程兩邊都乘，得．去括號(hào)得：，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根．20．(1)86；(2)不能，舉例見解析．【分析】本小題考查加權(quán)平均數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，（1）根據(jù)平均數(shù)的概念求解即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的意義求解即可．【詳解】（1）由題意，得A地考生的數(shù)學(xué)平均分為．（2）不能．舉例如下：如B地甲類學(xué)校有考生1000人，乙類學(xué)校有考生3000人，則B地考生的數(shù)學(xué)平均分為．因?yàn)椋圆荒芘袛郆地考生數(shù)學(xué)平均分一定比地考生數(shù)學(xué)平均分高．21．(1)(2)【分析】本題考查二次函數(shù)表達(dá)式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理能力、幾何直觀等.（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以．依題意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將代入，得，解得，所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以．依題意，得，即，所以．由已知，得，所以．由，解得（舍去），所以點(diǎn)坐標(biāo)為．22．(1)見解析；(2)的面積為1或．【分析】本題主要考查基本作圖，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理以及分類討論思想：（1）先作出與的垂線，再作出夾在間垂線段的垂直平分線即可；（2）分；；三種情況，結(jié)合三角形面積公式求解即可【詳解】（1）解：如圖，直線就是所求作的直線．（2）①當(dāng)時(shí)，，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知：，，．②當(dāng)時(shí)，分別過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，．，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，．，，，，．在中，由勾股定理得，．．③當(dāng)時(shí)，同理可得，．綜上所述，的面積為1或．23．(1)證明見解析；(2)不可能都為整數(shù)，理由見解析．【分析】本小題考查整式的運(yùn)算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)：考查運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)等，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力．（1）根據(jù)題意得出，進(jìn)而計(jì)算，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）分情況討論，①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件分析即可．【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以．則．因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，所以為非負(fù)數(shù)．（2）不可能都為整數(shù)．理由如下：若都為整數(shù)，其可能情況有：①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)．①當(dāng)都為奇數(shù)時(shí)，則必為偶數(shù)．又，所以．因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．②當(dāng)為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，則必為偶數(shù)．又因?yàn)椋裕驗(yàn)闉槠鏀?shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．綜上所述，不可能都為整數(shù)．24．(1)2；(2)C；(3)見解析．【分析】本題考查了幾何體的展開與折疊，空間觀念、推理能力、模型觀念、創(chuàng)新意識(shí)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）由折疊和題意可知，，，四邊形是正方形，得到，即，即可求解；（2）根據(jù)幾何體的展開圖即可求解；（3）由題意可得，每張型號(hào)卡紙可制作10個(gè)正方體，每張型號(hào)卡紙可制作2個(gè)正方體，每張型號(hào)卡紙可制作1個(gè)正方體，即可求解．【詳解】（1）解：如圖：上述圖形折疊后變成：由折疊和題意可知，，，∵四邊形是正方形，∴，即，∴，即，∵，∴，∴的值為：．（2）解：根據(jù)幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對(duì)應(yīng)面上，“祥”和“意”在對(duì)應(yīng)面上，而對(duì)應(yīng)面上的字中間相隔一個(gè)幾何圖形，且字體相反，∴C選項(xiàng)符合題意，故選：C．（3）解：卡紙型號(hào)型號(hào)型號(hào)型號(hào)需卡紙的數(shù)量（單位：張）132所用卡紙總費(fèi)用（單位：元）58根據(jù)（1）和題意可得：卡紙每格的邊長(zhǎng)為，則要制作一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體的展開圖形為：∴型號(hào)卡紙，每張卡紙可制作10個(gè)正方體，如圖：型號(hào)卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個(gè)正方體，如圖：型號(hào)卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個(gè)正方體，如圖：∴可選擇型號(hào)卡紙2張，型號(hào)卡紙3張，型號(hào)卡紙1張，則（個(gè)），∴所用卡紙總費(fèi)用為：（元）．25．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）先證得，再在中，．在中，，可得，再證得結(jié)果；（2）過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先證明，可得，再證得，再由相似三角形的判定可得結(jié)論；（3）如圖，連接，由（2），可得，從而得出，從而得出，得出，再上平行線判定得出，再證得，從而得出四邊形是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果．【詳解】（1），且是的直徑，．，在中，．，在中，．，；（2）過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．．，，．，，，，，．，，，．（3）如圖，連接．是的直徑，．，．由（2）知，，，，．．，．由（2）知，，．，，，四邊形是平行四邊形，與互相平分．【點(diǎn)睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、幾何直觀、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．

2023年福建中考數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1．下列實(shí)數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．B．0C．1D．22．下圖是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（）A．B．C．D．3．若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1B．5C．7D．94．黨的二十大報(bào)告指出，我國(guó)建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會(huì)保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系，教育普及水平實(shí)現(xiàn)歷史性跨越，基本養(yǎng)老保險(xiǎn)覆蓋十億四千萬人，基本醫(yī)療保險(xiǎn)參保率穩(wěn)定在百分之九十五．將數(shù)據(jù)1040000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．B．C．D．5．下列計(jì)算正確的是（）A．B．C．D．6．根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元．設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程（）A．B．C．D．7．閱讀以下作圖步驟：①在和上分別截取，使；②分別以為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，連接，如圖所示．根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（）A．且B．且C．且D．且8．為貫徹落實(shí)教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各1小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間”的要求，學(xué)校要求學(xué)生每天堅(jiān)持體育鍛煉．小亮記錄了自己一周內(nèi)每天校外鍛煉的時(shí)間（單位：分鐘），并制作了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，下列關(guān)于小亮該周每天校外鍛煉時(shí)間的描述，正確的是（）A．平均數(shù)為70分鐘B．眾數(shù)為67分鐘C．中位數(shù)為67分鐘D．方差為09．如圖，正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別位于兩個(gè)反比例函數(shù)和的圖象的四個(gè)分支上，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．D．310．我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉微在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)的面積，可得的估計(jì)值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得的估計(jì)值為（）A．B．C．3D．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11．某倉庫記賬員為方便記賬，將進(jìn)貨10件記作，那么出貨5件應(yīng)記作_________．12．如圖，在中，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)且分別交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為_________．13．如圖，在菱形中，，則的長(zhǎng)為_________．14．某公司欲招聘一名職員．對(duì)甲、乙、丙三名應(yīng)聘者進(jìn)行了綜合知識(shí)、工作經(jīng)驗(yàn)、語言表達(dá)等三方面的測(cè)試，他們的各項(xiàng)成績(jī)?nèi)缦卤硭荆喉?xiàng)目應(yīng)聘者綜合知識(shí)工作經(jīng)驗(yàn)語言表達(dá)甲758080乙858070丙707870如果將每位應(yīng)聘者的綜合知識(shí)、工作經(jīng)驗(yàn)、語言表達(dá)的成績(jī)按的比例計(jì)算其總成績(jī)，并錄用總成績(jī)最高的應(yīng)聘者，則被錄用的是_________．15．已知，且，則的值為_________．16．已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，若分別位于拋物線對(duì)稱軸的兩側(cè)，且，則的取值范圍是_________．三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（8分）算：．18．（8分）解不等式組：19．（8分）如圖，．求證：．20．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．21．（8分）如圖，已知內(nèi)接于的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的切線于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求證：平分．22．（10分）為促進(jìn)消費(fèi)，助力經(jīng)濟(jì)發(fā)展，某商場(chǎng)決定“讓利酬賓”，于“五一”期間舉辦了抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定：凡在商場(chǎng)消費(fèi)一定金額的顧客，均可獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．抽獎(jiǎng)方案如下：從裝有大小質(zhì)地完全相同的1個(gè)紅球及編號(hào)為①②③的3個(gè)黃球的袋中，隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸得紅球，則中獎(jiǎng)，可獲得獎(jiǎng)品：若摸得黃球，則不中獎(jiǎng)．同時(shí)，還允許未中獎(jiǎng)的顧客將其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1個(gè)紅球或黃球（它們的大小質(zhì)地與袋中的4個(gè)球完全相同），然后從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下顏色后不放回，再從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸得的兩球的顏色相同，則該顧客可獲得精美禮品一份．現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．（1）求該顧客首次摸球中獎(jiǎng)的概率；（2）假如該顧客首次摸球未中獎(jiǎng)，為了有更大機(jī)會(huì)獲得精美禮品，他應(yīng)往袋中加入哪種顏色的球？說明你的理由23．（10分）閱讀下列材料，回答問題任務(wù)：測(cè)量一個(gè)扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大度遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測(cè)量長(zhǎng)度略小于）和一臺(tái)測(cè)角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測(cè)量長(zhǎng)度）；測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大小，即在任一點(diǎn)處，對(duì)其視線可及的兩點(diǎn)，可測(cè)得的大小，如圖3．小明利用皮尺測(cè)量，求出了小水池的最大寬度，其測(cè)量及求解過程如下：測(cè)量過程：（ⅰ）在小水池外選點(diǎn)，如圖4，測(cè)得；（ⅱ）分別在上測(cè)得；測(cè)得．求解過程：由測(cè)量知，，，又①_________，．又②_________（．故小水池的最大寬度為_________．（1）補(bǔ)全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；（2）小明求得用到的幾何知識(shí)是_________；（3）小明僅利用皮尺，通過5次測(cè)量，求得．請(qǐng)你同時(shí)利用皮尺和測(cè)角儀，通過測(cè)量長(zhǎng)度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識(shí)求小水池的最大寬度，寫出你的測(cè)量及求解過程．要求：測(cè)量得到的長(zhǎng)度用字母表示，角度用表示；測(cè)量次數(shù)不超過4次（測(cè)量的幾何量能求出，且測(cè)量的次數(shù)最少，才能得滿分）．24．（12分）已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，為拋物線上不與重合的相異兩點(diǎn)，記中點(diǎn)為，直線的交點(diǎn)為．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若，且，求證：三點(diǎn)共線；（3）小明研究發(fā)現(xiàn)：無論在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要三點(diǎn)共線，中必存在面積為定值的三角形．請(qǐng)直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．25．（14分）如圖1，在中，是邊上不與重合的一個(gè)定點(diǎn)．于點(diǎn)，交于點(diǎn)．是由線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）若是的中點(diǎn)，如圖2．求證：．?dāng)?shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能．每小題4分，滿分40分．1．D2．D3．B4．C5．A6．B7．A8．B9．A10．C二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能．每小題4分，滿分24分．11．12．1013．1014．乙15．116．三、解答題：本題共9小題，共86分．17．本小題考查算術(shù)平方根、絕對(duì)值、零指數(shù)冪等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力．滿分8分．解：原式．18．本小題考查一元一次不等式組的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力．滿分8分．解：解不等式①，得．解不等式②，得．所以原不等式組的解集為．19．本小題考查等式的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查幾何直觀、推理能力等．滿分8分．證明：，即．在和中，．20．本小題考查因式分解、分式的基本性質(zhì)及其運(yùn)算、二次根式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力．滿分8分．解：原式．當(dāng)時(shí)，原式．21．本小題考查角平分線、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、空間觀念與幾何直觀等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．滿分8分．解：（1）是的切線，，即．是的直徑，．．，，，即，．（2）與都是所對(duì)的圓周角，．，，．由（1）知，，平分．22．本小題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想、模型觀念．滿分10分．解：（1）顧客首次摸球的所有可能結(jié)果為紅，黃①，黃②，黃③，共4種等可能的結(jié)果．記“首次摸得紅球”為事件，則事件發(fā)生的結(jié)果只有1種，所以，所以顧客首次摸球中獎(jiǎng)的概率為．（2）他應(yīng)往袋中加入黃球．理由如下：記往袋中加入的球?yàn)椤靶隆保玫膬汕蛩锌赡艿慕Y(jié)果列表如下：第二球第一球紅黃①黃②黃③新紅紅，黃①紅，黃②紅，黃③紅，新黃①黃①，紅黃①，黃②黃①，黃③黃①，新黃②黃②，紅黃②，黃①黃②，黃③黃②，新黃③黃③，紅黃③，黃①黃③，黃②黃③，新新新，紅新，黃①新，黃②新，黃③共有20種等可能結(jié)果．（ⅰ）若往袋中加入的是紅球，兩球顏色相同的結(jié)果共有8種，此時(shí)該顧客獲得精美禮品的概率；（ⅱ）若往袋中加入的是黃球，兩球顏色相同的結(jié)果共有12種，此時(shí)該顧客獲得精美禮品的概率；因?yàn)?，所以，所作他?yīng)往袋中加入黃球．23．本小題考查兩點(diǎn)間距離的概念及其度量、角度概念及其度量、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等基礎(chǔ)知識(shí)；考查抽象能力、空間觀念、幾何直觀、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等，考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題的綜合實(shí)踐能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、模型觀念等．滿分10分．解：（1）①；②；（2）相似角形的判定與性質(zhì)；（3）測(cè)量過程：（?。┰谛∷赝膺x點(diǎn)，如圖，用測(cè)角儀在點(diǎn)處測(cè)得，在點(diǎn)處測(cè)得；（ⅱ）用皮尺測(cè)得．求解過程：由測(cè)量知，在中，．過點(diǎn)作，垂足為．在中，，即，所以．同理，．在中，，即，所以．所以．故小水池的最大寬度為．24．本小題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理能力、空間觀念、幾何直觀、創(chuàng)新意識(shí)等，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想等．滿分12分．解：（1）因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，所以解得所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）設(shè)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以．又因?yàn)椋越獾盟灾本€對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以．解得，或．又因?yàn)?，所以．所以．因?yàn)?，即滿足直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，所以點(diǎn)在直線上，即三點(diǎn)共線．（3）的面積為定值，其面積為2．理由如下：（考生不必寫出下列理由）如圖1，當(dāng)分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，與分別關(guān)于直線對(duì)稱，此時(shí)仍有三點(diǎn)共線．設(shè)與的交點(diǎn)為，則關(guān)于直線對(duì)稱，即軸．此時(shí)，與不平行，且不平分線段，故，到直線的距離不相等，即在此情形下與的面積不相等，所以的面積不為定值．如圖2，當(dāng)分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置，且保持三點(diǎn)共線．此時(shí)與的交點(diǎn)到直線的距離小于到直線的距離，所以的面積小于的面積，故的面積不為定值．又因?yàn)橹写嬖诿娣e為定值的三角形，故的面積為定值．在（2）的條件下，直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，求得，此時(shí)的面積為2．25．本小題考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、空間觀念、幾何直觀、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等．滿分14分．解：（1）是由線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，，，．，．．，．．（2）設(shè)與的交點(diǎn)為，如圖1．，，，．，，．又，．，．（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如圖2．，，．是的中點(diǎn)，．又，，．，，．由（2）知，，．，，，，即．，，．

2022年福建中考數(shù)學(xué)試題及答案一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.－11的相反數(shù)是（）A.－11 B. C. D.11【答案】D2.如圖所示的圓柱，其俯視圖是（）A. B.C. D.【答案】A3.5G應(yīng)用在福建省全面鋪開，助力千行百業(yè)迎“智”變，截止2021年底，全省5G終端用戶達(dá)1397.6萬戶，數(shù)據(jù)13976000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C4.美術(shù)老師布置同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)窗花，下列作品為軸對(duì)稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】A5.如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)P表示下列四個(gè)無理數(shù)中的一個(gè)，這個(gè)無理數(shù)是（）A. B. C. D.π【答案】B6.不等式組的解集是（）A. B. C. D.【答案】C7.化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】C8.2021年福建省的環(huán)境空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)天數(shù)位居全國(guó)前列，下圖是福建省10個(gè)地區(qū)環(huán)境空氣質(zhì)量綜合指數(shù)統(tǒng)計(jì)圖．綜合指數(shù)越小，表示環(huán)境空氣質(zhì)量越好．依據(jù)綜合指數(shù)，從圖中可知環(huán)境空氣質(zhì)量最好的地區(qū)是（）A. B. C. D.【答案】D9.如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，則高AD約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）

A.9.90cm B.11.22cm C.19.58cm D.22.44cm【答案】B10.如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動(dòng)到，點(diǎn)對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（）A.96 B. C.192 D.【答案】B二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.四邊形的外角和等于_______.【答案】360°．12.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．若BC＝12，則DE的長(zhǎng)為______．【答案】613.一個(gè)不透明的袋中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別．現(xiàn)隨機(jī)從袋中摸出一個(gè)球，這個(gè)球是紅球的概率是______．【答案】14.已知反比例函數(shù)的圖象分別位于第二、第四象限，則實(shí)數(shù)k的值可以是______．（只需寫出一個(gè)符合條件的實(shí)數(shù)）【答案】-5（答案不唯一負(fù)數(shù)即可）15.推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式、若推理過程不嚴(yán)謹(jǐn)，則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯(cuò)誤．例如，有人聲稱可以證明“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”，并證明如下：設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令，等式兩邊都乘以x，得．①等式兩邊都減，得．②等式兩邊分別分解因式，得．③等式兩邊都除以，得．④等式兩邊都減m，得x＝0.⑤所以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0.以上推理過程中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的那一步對(duì)應(yīng)的序號(hào)是______．【答案】④16.已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，其中n＞0，若AD＝2BC，則n的值為______．【答案】8三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計(jì)算：．【答案】【詳解】解：原式．18.如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：∠A＝∠D．【答案】見解析【詳解】證明：∵BF＝EC，∴，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴，∴∠A＝∠D．19.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，．【詳解】解：原式．當(dāng)時(shí)，原式．20.學(xué)校開展以“勞動(dòng)創(chuàng)造美好生活”為主題的系列活動(dòng)，同學(xué)們積極參與主題活動(dòng)的規(guī)劃、實(shí)施、組織和管理，組成調(diào)查組、采購組、規(guī)劃組等多個(gè)研究小組．調(diào)查組設(shè)計(jì)了一份問卷，并實(shí)施兩次調(diào)查．活動(dòng)前，調(diào)查組隨機(jī)抽取50名同學(xué)，調(diào)查他們一周的課外勞動(dòng)時(shí)間t（單位：h），并分組整理，制成如下條形統(tǒng)計(jì)圖．活動(dòng)結(jié)束一個(gè)月后，調(diào)查組再次隨機(jī)抽取50名同學(xué)，調(diào)查他們一周的課外勞動(dòng)時(shí)間t（單位：h），按同樣的分組方法制成如下扇形統(tǒng)計(jì)圖，其中A組為，B組為，C組為，D組為，E組為，F(xiàn)組為．（1）判斷活動(dòng)前、后兩次調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別落在哪一組；（2）該校共有2000名學(xué)生，請(qǐng)根據(jù)活動(dòng)后的調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校學(xué)生一周的課外勞動(dòng)時(shí)間不小于3h的人數(shù)．【答案】（1）活動(dòng)前調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在C組；活動(dòng)后調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在D組（2）1400人【小問1詳解】活動(dòng)前，一共調(diào)查了50名同學(xué)，中位數(shù)是第25和26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，∴活動(dòng)前調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在C組；活動(dòng)后，A、B、C三組的人數(shù)為（名），D組人數(shù)為：（名），15+15=30（名）活動(dòng)后一共調(diào)查了50名同學(xué)，中位數(shù)是第25和26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，∴活動(dòng)后調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在D組；【小問2詳解】一周的課外勞動(dòng)時(shí)間不小于3h的比例為，（人）；答：根據(jù)活動(dòng)后的調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校學(xué)生一周的課外勞動(dòng)時(shí)間不小于3h的人數(shù)為1400人．21.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，CF．（1）求證：AC＝AF；（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．【答案】（1）見解析（2）【小問1詳解】∵，，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴∠B＝∠D．又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴，∴AC＝AF．【小問2詳解】連接AO，CO．由（1）得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，∴，∴．∴的長(zhǎng)．22.在學(xué)校開展“勞動(dòng)創(chuàng)造美好生活”主題系列活動(dòng)中，八年級(jí)（1）班負(fù)責(zé)校園某綠化角的設(shè)計(jì)、種植與養(yǎng)護(hù)．同學(xué)們約定每人養(yǎng)護(hù)一盆綠植，計(jì)劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆，且綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2倍．已知綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元．（1）采購組計(jì)劃將預(yù)算經(jīng)費(fèi)390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，問可購買綠蘿和吊蘭各多少盆？（2）規(guī)劃組認(rèn)為有比390元更省錢的購買方案，請(qǐng)求出購買兩種綠植總費(fèi)用的最小值．【答案】（1）購買綠蘿38盆，吊蘭8盆（2）369元【小問1詳解】設(shè)購買綠蘿盆，購買吊蘭盆∵計(jì)劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆∴∵采購組計(jì)劃將預(yù)算經(jīng)費(fèi)390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元∴得方程組解方程組得∵38>2×8，符合題意∴購買綠蘿38盆，吊蘭8盆；【小問2詳解】設(shè)購買綠蘿盆，購買吊蘭吊盆，總費(fèi)用為∴，∴∵總費(fèi)用要低于過390元，綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2倍∴將代入不等式組得∴∴的最大值為15∵為一次函數(shù)，隨值增大而減小∴時(shí)，最小∴∴元故購買兩種綠植最少花費(fèi)為元．23.如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．（1）求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求的值．【答案】（1）作圖見解析（2）【小問1詳解】解：如圖所示，⊙A即為所求作：【小問2詳解】解：根據(jù)題意，作出圖形如下：設(shè)，⊙A的半徑為r，∵BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF與⊙A相切于點(diǎn)G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四邊形AEFG是矩形，又，∴四邊形AEFG是正方形，∴，在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，∴，在Rt△ABE中，，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，AB＝CD，∴，又，∴，∴，∴，在Rt△ADE中，，即，∴，即，∵，∴，即tan∠ADB的值為．24.已知，AB＝AC，AB＞BC．（1）如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；（2）如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2），見解析（3）30°【小問1詳解】∵，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴，∴，∴，∴四邊形ABDC是平行四邊形，又∵AB＝AC，∴四邊形ABDC是菱形；【小問2詳解】結(jié)論：．證明：∵，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；【小問3詳解】在AD上取一點(diǎn)M，使得AM＝CB，連接BM，∵AB＝CD，，∴，∴BM＝BD，，∴，∵，∴，設(shè)，，則，∵CA＝CD，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即∠ADB＝30°．25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn)．P是拋物線上一點(diǎn)，且在直線AB的上方．（1）求拋物線的解析式；（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖，OP交AB于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在，或（3，4）（3）存在，【小問1詳解】解：（1）將A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以拋物線的解析式為．【小問2詳解】設(shè)直線AB的解析式為，將A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以直線AB的解析式為．過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點(diǎn)N．過點(diǎn)B作BE⊥PM，垂足為E．所以．因?yàn)锳（4，0），B（1，4），所以．因?yàn)椤鱋AB的面積是△PAB面積的2倍，所以，．設(shè)，則．所以，即，解得，．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或（3，4）．【小問3詳解】記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．則如圖，過點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別，交于點(diǎn)，過作的平行線，交于點(diǎn)，，設(shè)直線AB的解析式為．設(shè)，則整理得時(shí)，取得最大值，最大值為

2021年福建中考數(shù)學(xué)試題及答案一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.在實(shí)數(shù)，，0，中，最小的數(shù)是（）A. B.0 C. D.2.如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（）A B.C. D.3.如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校A與河對(duì)岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C，利用測(cè)量?jī)x器測(cè)得．據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離等于（）A. B. C. D.4.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.5.某校為推薦一項(xiàng)作品參加“科技創(chuàng)新”比賽，對(duì)甲、乙、丙、丁四項(xiàng)候選作品進(jìn)行量化評(píng)分，具體成績(jī)（百分制）如表：項(xiàng)目作品甲乙丙丁創(chuàng)新性90959090實(shí)用性90909585如果按照創(chuàng)新性占60%，實(shí)用性占40%計(jì)算總成績(jī)，并根據(jù)總成績(jī)擇優(yōu)推薦，那么應(yīng)推薦的作品是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁6.某市2018年底森林覆蓋率為63%．為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力開展植樹造林活動(dòng)，2020年底森林覆蓋率達(dá)到68%，如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長(zhǎng)率為x，那么，符合題意的方程是（）A. B.C. D.7.如圖，點(diǎn)F在正五邊形的內(nèi)部，為等邊三角形，則等于（）A. B. C. D.8.如圖，一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則不等式的解集是（）A. B. C. D.9.如圖，為的直徑，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與相切，切點(diǎn)分別為C，D．若，則等于（）

A. B. C. D.10.二次函數(shù)的圖象過四個(gè)點(diǎn)，下列說法一定正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.若反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則k的值等于_________．12.寫出一個(gè)無理數(shù)x，使得，則x可以是_________（只要寫出一個(gè)滿足條件x即可）13.某校共有1000名學(xué)生．為了解學(xué)生的中長(zhǎng)跑成績(jī)分布情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的中長(zhǎng)跑成績(jī)，畫出條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖．根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)可估計(jì)該校中長(zhǎng)跑成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是_________．14.如圖，是的角平分線．若，則點(diǎn)D到的距離是_________．

15.已知非零實(shí)數(shù)x，y滿足，則值等于_________．16.如圖，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與A，B重合，且，G是五邊形內(nèi)滿足且的點(diǎn)．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①與一定互補(bǔ)；②點(diǎn)G到邊的距離一定相等；③點(diǎn)G到邊的距離可能相等；④點(diǎn)G到邊的距離的最大值為．其中正確的是_________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計(jì)算：．18.如圖，在中，D是邊上的點(diǎn)，，垂足分別為E，F(xiàn)，且．求證：．19.解不等式組：20.某公司經(jīng)營(yíng)某種農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)是70元，批發(fā)一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)是40元．（1）已知該公司某月賣出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤(rùn)4600元，問：該公司當(dāng)月零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是多少？（2）經(jīng)營(yíng)性質(zhì)規(guī)定，該公司零售數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%．現(xiàn)該公司要經(jīng)營(yíng)1000箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問：應(yīng)如何規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量，才能使總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少？21.如圖，在中，．線段是由線段平移得到的，點(diǎn)F在邊上，是以為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)D恰好在的延長(zhǎng)線上．（1）求證：；（2）求證：．22.如圖，已知線段，垂足為a．（1）求作四邊形，使得點(diǎn)B，D分別在射線上，且，，；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形的邊的中點(diǎn)，求證：直線相交于同一點(diǎn)．23.“田忌賽馬”的故事閃爍著我國(guó)古代先賢的智慧光芒．該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬，田忌也有上、中、下三匹馬，且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下：（注：表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）．一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場(chǎng)比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場(chǎng)比賽的勝利．面對(duì)劣勢(shì)，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序?yàn)樯像R、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對(duì)陣（）獲得了整場(chǎng)比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強(qiáng)的經(jīng)典案例．假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場(chǎng)比賽的勝利？并求其獲勝的概率；（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必?cái)o疑？若是，請(qǐng)說明理由；若不是，請(qǐng)列出田忌獲得整場(chǎng)比賽勝利的所有對(duì)陣情況，并求其獲勝的概率．24.如圖，在正方形中，E，F(xiàn)為邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）求的大??；（3）求證：．25.已知拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．（1）若拋物線過點(diǎn)，求最小值；（2）已知點(diǎn)中恰有兩點(diǎn)在拋物線上．①求拋物線的解析式；②設(shè)直線l：與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線上，且，過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和于點(diǎn)B，C．求證：與的面積相等．參考答案：1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】112.【答案】答案不唯一（如等）13.【答案】14.【答案】15.【答案】416.【答案】①②④17.計(jì)算：．【答案】【詳解】．18.【詳解】【分析】由得出，由SAS證明，得出對(duì)應(yīng)角相等即可．【詳解】證明：∵，∴．在和中，∴，∴．19.【答案】【詳解】解：解不等式，，解得:．解不等式，，解得：．所以原不等式組的解集是：．20.【答案】（1）該公司當(dāng)月零售農(nóng)產(chǎn)品20箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品80箱；（2）該公司應(yīng)零售農(nóng)產(chǎn)品300箱、批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品700箱才能使總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是49000元【詳解】解：（1）設(shè)該公司當(dāng)月零售農(nóng)產(chǎn)品x箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品y箱．依題意，得解得所以該公司當(dāng)月零售農(nóng)產(chǎn)品20箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品80箱．（2）設(shè)該公司零售農(nóng)產(chǎn)品m箱，獲得總利潤(rùn)w元．則批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量為箱，∵該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%∴依題意，得．因?yàn)?，所以w隨著m的增大而增大，所以時(shí)，取得最大值49000元，此時(shí)．所以該公司應(yīng)零售農(nóng)產(chǎn)品300箱、批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品700箱才能使總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是49000元．21.【詳解】證明：（1）在等腰直角三角形中，，∴．∵，∴，∴．（2）連接．由平移性質(zhì)得．∴，∴，∴．∵是等腰直角三角形，∴．由（1）得，∴，∴，∴．22.【詳解】（1）作圖如下：

四邊形是所求作的四邊形；（2）設(shè)直線與相交于點(diǎn)S，

∵，∴，∴設(shè)直線與相交于點(diǎn)，同理．∵P，Q分別為的中點(diǎn)，∴，∴∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)S與重合，即三條直線相交于同一點(diǎn)．23.【答案】（1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場(chǎng)比賽中獲勝，；（2）不是，田忌獲勝的所有對(duì)陣是，，，，，，【詳解】（1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場(chǎng)比賽中獲勝．此時(shí)，比賽的所有可能對(duì)陣為：，，，，共四種．其中田忌獲勝的對(duì)陣有，，共兩種，故此時(shí)田忌獲勝的概率為．（2）不是．齊王的出馬順序?yàn)闀r(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是；齊王的出馬順序?yàn)闀r(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是；齊王的出馬順序?yàn)闀r(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是；齊王的出馬順序?yàn)闀r(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是；齊王的出馬順序?yàn)闀r(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是；齊王的出馬順序?yàn)闀r(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是．綜上所述，田忌獲勝的所有對(duì)陣是，，，，，．齊王的出馬順序?yàn)闀r(shí)，比賽的所有可能對(duì)陣是，，，，，，共6種，同理，齊王的其他各種出馬順序，也都分別有相應(yīng)的6種可能對(duì)陣，所以，此時(shí)田忌獲勝的概率．24.【詳解】解：（1）設(shè)直線與相交于點(diǎn)T，

∵點(diǎn)A與關(guān)于對(duì)稱，∴垂直平分，即．∵E，F(xiàn)為邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴，∴是的中位線，∴，即．（2）連接，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴．∴，∴，又，∴，∴是等腰直角三角形，∴．∵，∴，∴．取的中點(diǎn)O，連接，在和中，，∴，∴點(diǎn)，F(xiàn)，B，G都在以為直徑的上，∴．

（3）設(shè)，則．由（2）得，∴，即，∴．設(shè)，則，在中，由勾股定理，得，∴．在中，由勾股定理，得．又∵，∴，∴．∵，∴，∴．由（2）知，，又∵，∴，∴，∴，∴．25.【答案】（1）-1；（2）①；②見解析【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以，即．（1）因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，所以，即．所以，當(dāng)時(shí)，取到最小值．（2）①因拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以拋物線上的點(diǎn)只能落在x軸的同側(cè)．又點(diǎn)中恰有兩點(diǎn)在拋物線的圖象上，所以只能是在拋物線的圖象上，由對(duì)稱性可得拋物線的對(duì)稱軸為，所以，即，因?yàn)?，所以．又點(diǎn)在拋物線的圖象上，所以，故拋物線的解析式為．②由題意設(shè)，則．記直線為m，分別過M，N作，垂足分別為E，F(xiàn)，即，因?yàn)?，所以．又，所以，所以．所以，所以，即．所以，即．①把代入，得，解得，所以．②將②代入①，得，即，解得，即．所以過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為，將代入，得，即，將代入，得，即，所以，因此，所以與的面積相等．

2019年福建省中考數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題（每小題4分，共40分）1．（4分）計(jì)算22+（﹣1）0的結(jié)果是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】分別計(jì)算平方、零指數(shù)冪，然后再進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算即可．【解答】解：原式＝4+1＝5故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答本題關(guān)鍵是掌握零指數(shù)冪的運(yùn)算法則，難度一般．2．（4分）北京故宮的占地面積約為720000m2，將720000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．72×104 B．7.2×105 C．7.2×106 D．0.72×106【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，據(jù)此判斷即可．【解答】解：將720000用科學(xué)記數(shù)法表示為7.2×105．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3．（4分）下列圖形中，一定既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．平行四邊形 D．正方形【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解答】解：A、等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、直角三角形不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、正方形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的