2 3 4 （1）因式分解是針對多項(xiàng)式而言的，一個單）：（1）平方差公式的等號兩邊互換位置，得a2-b2=(a+b)(a-b)（1）完全平方公式的等號兩邊互換位置，得a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2②等號右邊是這兩個數(shù)（或兩個式子）的和（或差)的平方．當(dāng)中間的乘積把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式，這種分解的值，分解得(x—2)(x+1)，那么原式x2+mx+【例3】．4x28x0x2x27(3)若多項(xiàng)式x3一3x2+mx+n能因式分解成x+1與另一個完全平方式，求m與n的值．【變式4-3】試說明：一個三位數(shù)字，百位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置后，則得【例6】學(xué)校舉行運(yùn)動會，由若干名同學(xué)組成一個長方形隊(duì)列．如果原隊(duì)列中增加54人，就能組成一個正方形隊(duì)列；如果原隊(duì)列中減少74人，也能組成一個正方形隊(duì)列．問原長方形隊(duì)列有多少名寬度為acm，則制作邊框的面積是不計(jì)接縫）A．(4a2+16a)cm2B．16acm2C．4a2cm2D．(a2+8a)cm22a厘米、b厘米．）．【例7】先閱讀材料，再回答問題：解：將“ab”看成整體，令ab=M，則原式=M22M+1=(M1)2，再將ab=M還原，2．(3)若n為正整數(shù)，則(n+1)(n+4)(n2+5n)+4的值為某一個正整數(shù)的平方．請說明理由． 解：令x22x=y，另外，我發(fā)現(xiàn)在劃橫線那個步驟時(shí)，有時(shí)也會選擇小福同學(xué)分享了解題方法和學(xué)習(xí)心得之后很多同學(xué)(1)分解因式：(x-1)(x+1)(x+2)(x+4)+(2)分解因式：(x-6)(x-2)(x+1)(x+3)+9x2．2．再將“x”還原為“a2+2a”即可．解題過程如2（第三步））．(1)①該同學(xué)完成因式分解了嗎？如果沒完成②請你模仿以上方法嘗試對多項(xiàng)式(a2-4a)(a2-4a+8)+16進(jìn)行因式分解；(1-2-3-…-2023)×(2+3+…+2024)-(1-2-3-…-2024)×(2+3+…+2023)．），【變式8-3】每個人都擁有一個快樂數(shù)字，我們把自所得的差就是我們自己的快樂數(shù)字．比如我(2)你再舉幾個例子并觀察，這些快樂數(shù)字都能被______整除，請(3)請你重新對快樂數(shù)字定義，并寫出一個你找到的規(guī)）．【變式9-2】運(yùn)用添項(xiàng)法分解因式：x2+2ax-8a2分解因式．【變式9-3】運(yùn)用添項(xiàng)法分解因式：(1)4x4+y4；(2)a2-4am-n2+4mn．如：x2-2xy+y2-4=(x2-2xy+y2)-4=x-y2-22=(x-y-2)(x-y+2)．如：x2+2x-3=x2+2x+1-4=x+12-22=(x+1-2)(x+1+2=x-1)(x+3)．①用分組分解法x2-6x-y2+9；②用拆項(xiàng)法x4-5x2+4；(2)已知a、b、c為ΔABC的三條邊，a2+8b2+c2-4ab-12b-8c+25=0，求△ABC的周長．【變式10-1】運(yùn)用拆項(xiàng)法因式分解：x3-8x+7；【變式10-2】利用拆項(xiàng)法分解因式：x2-6x-7．(1)x2+9x-10；(2)-2x2-5x+6；(3)x4+5x3+x2-20x-20． 26 32 36（1）因式分解是針對多項(xiàng)式而言的，一個單）：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2②等號右邊是這兩個數(shù)（或兩個式子）的和（或差)的平方．當(dāng)中間的乘積【答案】-1【詳解】解：設(shè)另一個因式是kx+a,解得a=4,k=-1．故答案為：-1．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的定義和整式的乘法，能靈活運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)【變式1-1】若多項(xiàng)式x2-2x+2k因式分解后結(jié)果是(x+2)(x+k)，則k的值是．【答案】-4【詳解】解：x+2(x+k)=x2+2+kx+2k=x2-2x+2k，解得k=-4．故答案為：-4．【詳解】解：x2+ax-2=(x-1)(x+2)或x2+ax-2=(x+1)(x-2)故答案為±1.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，熟練掌握十字相乘法是解本的值，分解得(x-2)(x+1)，那么原式x2+mx+n正確分解為【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則先算乘法，根據(jù)因式分解與乘法的關(guān)系及小剛、小明【詳解】解x-1x+6x2+5x-6，∴n=﹣6；2+mx+n=x2﹣x﹣6=（x﹣3x+2故答案為x﹣3x+2【例2】已知x2-2x-5=0，d=x4-2x3+x2-12x-6，則d的值為()【答案】D【詳解】解：∵x2-2x-5=0，2-2x=5，4-2x3+x2-12x-6=x2(x2-2x)+x2-12x-6，=5x2+x2-12x-6，=6(x2-2x)-6，【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握整體代入思想是解決【變式2-1】已知a-b=5，b-c=-6，則代數(shù)式a2-ac-ba-c的值為()A．-30B．30C．-5D．-6【答案】C【詳解】解：∵a-b=5，b-c=-6，∴a-c=-1，∴a2-ac-b(a-c)=aa-c-ba-c=a-c(a-b)=5×(-1)=-5；【變式2-2】若關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成兩個一次因式的【答案】43或-78by-8，相乘后根據(jù)多形式相等可求出a、b的值，從而得到答案．【詳解】解：設(shè)x2+7xy-18y2-5x+my-24=(x+ay+3)(x+by-8)，ab=-18:x2+7xy-18y2-5x+my-24=x2+(a+b)xy+aby2-5x+(-8a+3b)y-24，:a+bab=-18:m=-8a+3b=43或m=-8a+3b=-78．故答案為：43或-78．【答案】D3333的因子，不可使結(jié)果為整數(shù)，符合題意，【例3】(1-1-......(1-1-=．【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的乘法運(yùn)算，運(yùn)用平方差公式對有理數(shù)進(jìn)行簡便運(yùn)算，掌(1)76×20.22+43×20.(2)3.14×8.752-3.14×7.752；【詳解】（1）解：76×20.22+43×20.22-19×20.22=20.22×(76+43-19)（2）3.14×8.752-3.14×7.752=3.14×(8.752-7.752)=50×(9.5-7.5)2【點(diǎn)睛】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握利用因式分解進(jìn)行計(jì)算是解【變式3-2】計(jì)算：102-92+82-72+…+22-12=．【分析】運(yùn)用因式分解得原式=(10+9)(10-9+8+7)(8-7)+…+2+1(2-1).【詳解】102-92+82-72+…+22-12=(10+9)(10-9+8+7)(8-7)+…+2+1(2-1)【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：因式分解應(yīng)用.利用因式分解將式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵.【點(diǎn)睛】本題考查了利用因式分解簡便計(jì)算，熟練掌握和運(yùn)用利用因式分解簡便計(jì)算是磊認(rèn)為該整式一定有一個因式x+2，小軒認(rèn)為必有因式是x-2，兩人找到老師尋求幫助．老師提x+2x2-4x+1-4x2-7x+2-4x2-8x0x-2x2-7(2)已知多項(xiàng)式x3-6x2+7x+6的其中一個因式為x-3，請?jiān)囍鶕?jù)老師的方法列出演算將多項(xiàng)式x3-6x2+7x+6進(jìn)行因式分解；(3)若多項(xiàng)式x3-3x2+mx+n能因式分解成x+1與另一個完全平方式，求m與n的值．(2)(x-3)(x2-3x-2)【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握題目提【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：(x3-2x2-7x+2÷x+2)=x2-4x+1，(x3-2x2-7x+2÷x-2)=x2-7......12，x-3x2-3x-2x3-6x2+7x+6=x-3(x2-3x-2)．x+1x2-4x+m+403-3x2+mx+n=x+1(x2-4x+m+4)，n=2-4x+m+4是一個完全平方式，【變式4-1】若n為任意整數(shù)，如果n+22-kn2的值總能被4整除，則整數(shù)k不能取()【答案】C【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，先利用完全平方公式計(jì)算，再將代數(shù)式分組【詳解】解：(n+2)2-kn2=n2+4n+4-kn2∴(1-k)總能被4整除．整數(shù)k為2，1-k=-1，不能滿足n為任意整數(shù)時(shí)n+22-kn2的值總能被4整除，【變式4-2】已知：4a-b是11的倍數(shù)，其中a，b是整數(shù)，求證：40a2+2ab-3b2能被121整除．則b=4a-11n，先將代數(shù)式40a2+2ab-3b2因式分解，再將b的值代入并化簡得121n(2a-3n)，【詳解】設(shè)4a-b=11n，則b=4a-11n，40a2+2ab-3b2=(4a-b)(10a+3b)=11n10a+3(4a-11n)=121n(2a-3n)．故40a2+2ab-3b2能被121整除．【變式4-3】試說明：一個三位數(shù)字，百位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置后，則得【詳解】解：”這個數(shù)是三位數(shù)，:交換百位數(shù)字與個位數(shù)字后可得新三位字為100c+1【點(diǎn)睛】本題考查利用提取公因式法分解因式，用整式表示三位數(shù)是解【答案】3【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用及等腰三角形的知識，難度一般，在解答本題時(shí)將原【變式5-1】a,b,c為三角形三邊長，a2+ac-b2-bc=0，則該三角形形狀為.【分析】把等式左邊的多項(xiàng)式因式分解，可知a-b=0，進(jìn)而，可得到答案.【詳解】∵a2+ac-b2-bc=0，∴a2-b2+ac-bc=0，即(a-b)(a+b)+(a-b)c=0，故答案是：等腰三角形.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用因式分解，判斷三角形的形狀，把等式左邊的多項(xiàng)式利用分解因式，是解題的關(guān)鍵.【答案】D【分析】首先將原式變形為(b-c)(a-b)(a+b)=0，可以得到b-c=0或a-b=0或a+b=0，【詳解】∵a2b-a2c+b2c-b3=0，∴a2(b-c)+b2(c-b)=0，∴(b-c)(a2-b2)=0，即(b-c)(a-b)(a+b)=0，【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在實(shí)際問題中的運(yùn)用，注意【變式5-3】若△ABC的三邊a、b、c滿足-c2+a2+2ab-2bc=0，則這個三角形是．【分析】對等式前兩項(xiàng)利用平方差公式進(jìn)行因式分解，而后兩項(xiàng)提出公因式，然后再進(jìn)解觀察即可.【詳解】∵-c2+a2+2ab-2bc=0，∴a+c(a-c)+2ba-c=0．故答案為：等腰三角形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.【例6】學(xué)校舉行運(yùn)動會，由若干名同學(xué)組成一個長方形隊(duì)列．如果原隊(duì)列中增加54人，就能組成一個正方形隊(duì)列；如果原隊(duì)列中減少74人，也能組成一個正方形隊(duì)列．問原長方形隊(duì)列有多少名b2=m-74②【分析】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，二元一次方程組的解法；設(shè)原隊(duì)列有m人，增加54人后b2=m-74②增加54人后組成a×a的正方形隊(duì)列，減少74人后組成b×b的正方形隊(duì)列.①-②：a2-b2=128=(a+b)(a-b)=64×2=32×4=16×8ba-b=2b,1ba-b=4b,2寬度為acm，則制作邊框的面積是不計(jì)接縫）B．(4a2+16a)cm2B．16acC．4a2cm2D．(a2+8a)cm2【詳解】解：∵(4+2a)2-42=(4+2a+4)(4+2a-4)=2a(2a+8)=(4a2+16a)(cm2)，【變式6-2】龍龍?jiān)O(shè)計(jì)了一個翻牌游戲：現(xiàn)有對應(yīng)著編號為1-150的150張數(shù)字牌，牌【答案】D【分析】本題考查因數(shù)分解，完全平方數(shù)，理解因數(shù)的意義，完全平方數(shù)的概念是解題材1如圖長方體木箱的長、寬、高分別是3a厘米、2a厘米、b厘米．材2）．務(wù)1務(wù)2務(wù)3【分析】任務(wù)一：根據(jù)題意結(jié)合長方形的面積公式列式解：由題意得：甲木板面積：3a(b+2a=3ab+6a2)平方厘米，2(3a+b-22a+b)=3整理得：6a2-12ab=0，∴6a(a-2b)=0，∴a-2b=0，;【點(diǎn)睛】本題考查了整式混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，因式分解的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)【例7】先閱讀材料，再回答問題：分解因式：(a-b)2-2(a-b)+1．解：將“a-b”看成整體，令a-b=M，則原式=M2-2M+1=(M-1)2，再將a-b=M還原，得到：原式=(a-b-1)2．(2)因式分解：x2-2xy+y2-z2=_______．(3)若n為正整數(shù)，則(n+1)(n(2)(x-y+z)(x-y-z)【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解題意，掌握整體思（2）原式變形為(x-y)2-z2，再用平方差公式因式分解即可；【詳解】（1）9+6(x+y+x+y)22，（2）x2-2xy+y2-z2，=(x-y)2-z2，=(x-y+z)(x-y-z)，故答案為：(x-y+z)(x-y-z)；”n為正整數(shù)，:代數(shù)式(n+1)(n+4)(n2+5n)+4我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．下面是小明同學(xué)用換元法對多項(xiàng)式(x2-2x-1)(x2-解：令x2-2x=y，原式=y-1(y+3)+4（第一步）=(x2-2x+1)2（第四步）(1)請根據(jù)材料A，解答問題：若x-y=4，x2+y2=40，求xy的值；若實(shí)數(shù)x滿足(2023-x2+x-2024)2=50，求(2023-x)(x-2024)的值．(2)①(x-1)4；②(x+y+1)2(3)-【分析】本題主要考查了分解因式及其應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握利用完全平方公式分（1）根據(jù)已知條件，利用完全平方公式求出xy即可；（2）①設(shè)x2-2x=y，把含有x的多項(xiàng)式換元成含有y的多項(xiàng)式，然后利用完全平方公式分解因式【詳解】（1）解：“x-y=4，x2+y2=40，:(x-y)2=42，x2+y2-2xy=16，40-2xy=16，2xy=24，（2）①設(shè)x2-2x=y，原式=(y-1)(y+3)+422-2x+1)2=[(x-1)2]2=(x-1)4，故答案為：(x-1)4；（3）設(shè)2023-x=a，x-2024=b，:a+b=2023-x+x-2024=-1，“實(shí)數(shù)x滿足(2023-x)2+(x-2024)2=50，:a2+b2=50，“(a+b)2=(-1)2，2ab=-49，ab=-，:(2023-x)(x-2024)=-．另外，我發(fā)現(xiàn)在劃橫線那個步驟時(shí)，有時(shí)也會選擇小福同學(xué)分享了解題方法和學(xué)習(xí)心得之后很多同學(xué)(1)分解因式：(x-1)(x+1)(x+2)(x+4)+(2)分解因式：(x-6)(x-2)(x+1)(x+3)+9x2．【答案】(1)(x2+3x-1)2(2)(x2-2x-6)2【分析】（1）根據(jù)常數(shù)之和相等進(jìn)行分組相乘，然后換元【詳解】（1）(x-1)(x+1)(x+2)(x+4)+9=(x2+3x-4)(x2+3x+2)+9∴原式=(M-4)(M+2)+9=M2-2M-8+9=M2-2M+1=(M-1)2=(x2+3x-1)2；（2）(x-6)(x-2)(x+1)(x+3)+9x2=x-6(x+1)(x-2)(x+3)l+9x2=(x2-5x-6)(x2+x-6)+9x2設(shè)x2-6=M，∴原式=(M-5x)(M+x)+9x2=M2-5x2-4Mx+9x2=M2-4Mx+4x2=(M-2x)2=(x2-6-2x)2=(x2-2x-6)2．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的十字相乘法和換元法．看懂和理解題例是解決本2．再將“x”還原為“a2+2a”即可．解題過程如2（第三步）(1)①該同學(xué)完成因式分解了嗎？如果沒完成②請你模仿以上方法嘗試對多項(xiàng)式(a2-4a)(a2-4a+8)+16進(jìn)行因式分解；(1-2-3-…-2023)×(2+3+…+2024)-(1-2-3-…-2024)×(2+3+…+2023)．【答案】(1)①該同學(xué)沒有完成因式分解；最后的結(jié)果為(a+1)4；②(a-2)4【分析】本題考查公式法分解因式，理解整體思想是解決問題的前提，掌握完全平方公（2）設(shè)a=1-2-3-…-2023，x=2+3+…+2024，則原式=ax-(a-2024)(x-2024)，整體2（第三步）=(a+1)224．②設(shè)a2-4a=x，=(x+4)2=(a24a+4)2=(a2)4；原式=ax(a2024)(x2024)22），【答案】C【答案】≥c=a+b-ab2-2x+2)-2(x2-2x+2)2-2x+2-2x2+4x-4=-x2+2x，:b-c=(x2-2x+2)-(-x2+2x)=x2-2x+2+x2-2x=2x2-4x+2=2(x2-2x+1)=2(x-1)2≥0，:b≥c，A．m?n=(m-n)2，n?m=(n-m)2，故推斷正確；B．(m?n)2=(m-n)22=(m-n)4，m2?n2=(m2-n22=m+n)(m-n2=m+n2m-n)2，故推斷不正確；C．(m?n)?p=(m-n)2?p=(m-n)2-pl2，m?(n?p)=m?(n-p2=m-(n-p)22，故推斷不正確；D．m?(n-p)=m-n-p2=m-n+p)2，(m?n)-(m?p)=(m-n2-m-p)2=(m-n+m-p)(m-n-m-p=2m-n-p)(p-n)，故推斷不正確．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的運(yùn)算和因式分解，弄清題中的新定義是解本【變式8-3】每個人都擁有一個快樂數(shù)字，我們把自所得的差就是我們自己的快樂數(shù)字．比如我(2)你再舉幾個例子并觀察，這些快樂數(shù)字都能被______整除，請(3)請你重新對快樂數(shù)字定義，并寫出一個你找到的規(guī)）．【答案】(1)1926發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：“快樂數(shù)字”能被101整除答案不唯一【答案】(a2+b2+ab)(a2+b2-ab)=a4+a2b2+b4+a2b2-a2b2=(a4+2a2b2+b4)-a2b2=(a2+b2)2-a2b2=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab)．【答案】(1)(2x2+1+2x)(2x2+1-2x)(2)(x2+1+x)(x2+1-x)【詳解】（1）解：4x4+1=4x4+4x2+1-4x2=(2x2+12-2x)2=(2x2+1+2x)(2x2+1-2x)；（2）解：x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2x)(x2+1-x)．【變式9-2】運(yùn)用添項(xiàng)法分解因式：x2+2ax-8a2分解因式．【答案】(x+4a)(x-2a)【詳解】解：x2+2ax-8a2=x2+2ax+a2-8a2-a2=(x2+2ax+a2)-9a2=(x+a)2-9a2=(x+a+3a)(x+a-3a)=(x+4a)(x-2a)(2)a2-4am-n2+4mn．【答案】(1)(2x2+y2+2xy)(2x2+y2-2xy)；(2)(a-n)(a-4m+n)．【詳解】（1）原式=4x4+y4+4x2y2-4x2y2=(2x2+y2)2-4x2y2=(2x2+y2+2xy)(2x2+y2-2xy)；（2）原式=a2-4am+4m2-4m2-n2+4mn=(a2-4am+4m2-4m2+n2-4mn)=(a-2m2-2m-n)2=(a-2m+2m-n)(a-2m-2m+n)=a-n(a-4m+n).如：x2-2xy+y2-4=(x2-2xy+y2)-4=x-y2-22=(x-y-2)(x-y+2)．如：x2+2x-3=x2+2x+1-4=x+12-22=(x+1-2)(x+1+2=x-1)(x+3)．①用分組分解法x2-6x-y2+9；②用拆項(xiàng)法x4-5x2+4；(2)已知a、b、c為ΔABC的三條邊，a2+8b2+c2-4ab-12b-8c+25=0，求△ABC的周長．【答案】(1)①(x-3+y)(x-3-y)；②(x2-2+x)(x2-2-x)【分析】（1）①根據(jù)題意，得(x-3)2-y2，平方差公式分解即可；②根據(jù)題意，得x4-4x2+4-x2，分解即可；（2）根據(jù)題意，得(a2-4ab+4b2+4b2-12b