第第頁人教版七年級數(shù)學下冊《第七章相交線與平行線》單元測試卷（附答案解析）注意事項：本試卷滿分100分，試題共23題，其中選擇10道、填空5道、解答8道.答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．下列命題：①兩相交直線組成的四個角相等，則這兩條直線垂直；②兩相交直線組成的四個角中，若有一直角，則四個角都相等；③兩直線相交，一角的兩鄰補角相等，則這兩條直線垂直；④兩直線相交，一角與其鄰補角相等，則這兩條直線垂直．其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．在數(shù)學課上，同學們在練習過點B作線段AC所在直線的垂線段時，有一部分同學畫出下列四種圖形，請你數(shù)一數(shù)，錯誤的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．直線l上有A、B、C三點，直線l外有一點P，若PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，那么P點到直線l的距離是（）A．等于2cmB．小于2cmC．不大于2cmD．大于2cm且小于3cm4．如圖，圖中的同旁內(nèi)角共有（）A．7對 B．8對 C．9對 D．10對5．如圖，若直線l1∥l2，則下列結論錯誤的是（）A．∠1＝∠3B．∠2＝∠3C．∠4＝∠5D．∠2+∠4＝180°6．如圖，AB∥CD，則下列等式成立的是（）A．∠B+∠F+∠D＝∠E+∠G B．∠E+∠F+∠G＝∠B+∠D C．∠F+∠G+∠D＝∠B+∠E D．∠B+∠E+∠F＝∠G+∠D7．一學員在廣場上練習駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130第4題圖第5題圖第6題圖第9題圖8．若∠A和∠B的兩邊分別平行，且∠A比∠B的2倍少30°，則∠B的度數(shù)為（）A．30° B．70° C．30°或70° D．100°9．如圖，△ABC沿著BC方向平移得到△A′B′C′，點P是直線AA′上任意一點，若△ABC，△PB′C′的面積分別為S1，S2，則下列關系正確的是（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1＝2S210．如圖a∥b，c與a相交，d與b相交，下列說法：①若∠1＝∠2，則∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，則c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正確的有（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)請把答案直接填寫在橫線上11．如圖，直線AB、CD相交于O點，∠AOE＝90°，∠1和∠2互為角：∠1和∠4互為角；∠2和∠3互為角；∠1和∠3互為角；∠2和∠4互為角．12．如圖，有一個與地面成30°角的斜坡，現(xiàn)要在斜坡上豎起一根電線桿，設電線桿與斜坡所夾的角為∠1，當∠1的度數(shù)為時，電線桿與地面垂直．第11題圖第12題圖第13題圖13．如圖，將網(wǎng)格中的三條線段AB、CD、EF沿網(wǎng)格線（水平和鉛直方向）平移，使它們首尾相接構成三角形，至少需要移動格．14．如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結論：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正確的是．第14題圖第15題圖15．如圖，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若設∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y(tǒng)°則∠P1＝度（用x，y的代數(shù)式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，則∠Pn＝度．三、解答題(本大題共8小題，共55分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．按要求畫圖：①畫∠AOB＝60°；②在∠AOB的內(nèi)部作OC平分∠AOB；③在射線OC上任取一點P，使OP＝4cm，過點P作OA、OB的垂線段，垂足分別為M、N；④量得PM＝，PN＝．17．已知：如圖，直線AB、CD相交于點O，OA平分∠EOC，若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度數(shù)．18．補全推理過程：如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，點E在AB上，EF⊥BC于點F，過點D作直線DG交AC于點G，交EF的延長線于點H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度數(shù)．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）∴AD∥EF．（）∴∠2+∠EAD＝180°．（）∵∠1+∠2＝180°，（已知）∴∠1＝∠．（同角的補角相等）∴AE∥HG．（）∴∠B＝∠BDH．（）∵∠B＝50°，（已知）∴∠BDH＝50°．（等量代換）∵AD⊥BC，（已知）∴∠ADB＝90°．（）∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定義）∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性質）∵AD∥EF，（已證）∴∠H＝∠1＝°．（）19．如圖，已知∠FEA＝∠EAF，AE平分∠CAF．（1）求證：EF∥AC；（2）若AC平分∠DAB，∠BAF與∠BAD互補，∠FEA﹣∠DAC＝50°，求∠F．20．如圖，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，試說明BC⊥AB．21．如圖，AB∥CD，∠A＝∠BDC．（1）求證：AE∥BD．（2）若∠AEC的平分線交CD的延長線于點F，且∠BDC＝140°，∠F＝22°．求∠CEF的度數(shù)．22．【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，小明同學在做光的折射實驗時發(fā)現(xiàn)：平行于主光軸MN的光線AB和CD經(jīng)過凹透鏡的折射后，折射光線BE，DF的反向延長線交于主光軸MN上一點P．【提出問題】小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三個角之間存在著怎樣的數(shù)量關系？【分析問題】已知平行，可以利用平行線的性質，把∠BPD分成兩部分進行研究．【解決問題】探究一：請你幫小明解決這個問題，并說明理由．探究二：如圖②，∠P，∠AMP，∠CNP的數(shù)量關系為；如圖③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，則∠BAE＝°（不需要寫解答過程）利用探究一得到的結論解決下列問題：如圖④，射線ME，NF分別平分∠BMP和∠CNP，ME交直線CD于點E，NF與∠AMP內(nèi)部的一條射線MF交于點F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度數(shù)．23．如圖，已知AB∥CD，C在D的右側，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線交于點E．∠ADC＝70°．（1）求∠EDC的度數(shù)；（2）若∠ABC＝n°，求∠BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）；（3）將線段BC沿DC方向平移，使得點B在點A的右側，其他條件不變，畫出圖形并判斷∠BED的度數(shù)是否改變，若改變，求出它的度數(shù)（用含n的式子表示），不改變，請說明理由．參考答案與解析一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．下列命題：①兩相交直線組成的四個角相等，則這兩條直線垂直；②兩相交直線組成的四個角中，若有一直角，則四個角都相等；③兩直線相交，一角的兩鄰補角相等，則這兩條直線垂直；④兩直線相交，一角與其鄰補角相等，則這兩條直線垂直．其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】利用垂直的定義逐一進行判斷后即可得到答案．【解答】解：∵①兩相交直線組成的四個角相等且和為360°，故每一個都為90°，故這兩條直線垂直正確；②兩相交直線組成的四個角中，若有一直角，則四個角都相等，正確；③兩直線相交，無論什么時候一角的兩鄰補角相等，但不一定兩直線垂直，故錯誤；④兩直線相交，一角與其鄰補角相等，則都為90°，故這兩條直線垂直，正確．故正確的有3個故選：B．【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是知道兩直線相交所成的四個角中，若有一個角為直角，則這兩條直線垂直．2．在數(shù)學課上，同學們在練習過點B作線段AC所在直線的垂線段時，有一部分同學畫出下列四種圖形，請你數(shù)一數(shù)，錯誤的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)垂線段的定義直接觀察圖形進行判斷．【解答】解：從左向右第一個圖形中，垂線段是線段，圖中畫的是射線，故錯誤；第二個圖形中，BE不垂直AC，所以錯誤；第三個圖形中，是過點A作的AC的垂線，所以錯誤；第四個圖形中，過點B作的BC的垂線，也錯誤．故選：D．【點評】過點B作線段AC所在直線的垂線段，是一條線段，且垂足應在線段AC所在的直線上．3．直線l上有A、B、C三點，直線l外有一點P，若PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，那么P點到直線l的距離是（）A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義和垂線段最短的性質解答．【解答】解：∵PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm∴P點到直線l的距離不大于2cm．故選：C．【點評】本題考查了點到直線的距離以及垂線段性質，熟記概念與性質是解題的關鍵．4．如圖，圖中的同旁內(nèi)角共有（）A．7對 B．8對 C．9對 D．10對【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角可得答案．【解答】解：同旁內(nèi)角有：∠A和∠B，∠A和∠ADE，∠A和∠AED，∠A和∠C，∠B和∠C，∠B和∠BDE，∠C和∠CED，∠BDE和∠CED，∠ADE和∠AED，共9對故選：C．【點評】此題主要考查了三線八角，關鍵是掌握同旁內(nèi)角的邊構成“U”形．5．如圖，若直線l1∥l2，則下列結論錯誤的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°【分析】根據(jù)平行線的性質判斷即可．【解答】解：∵直線l1∥l2∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，∠4＝∠5故選：B．【點評】此題考查平行線的性質，關鍵是根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等和兩直線平行同旁內(nèi)角互補解答．6．如圖，AB∥CD，則下列等式成立的是（）A．∠B+∠F+∠D＝∠E+∠G B．∠E+∠F+∠G＝∠B+∠D C．∠F+∠G+∠D＝∠B+∠E D．∠B+∠E+∠F＝∠G+∠D【分析】E作EM∥AB，過F作FH∥AB，過G作GN∥AB，推出AB∥EM∥GN∥CD∥FH，得出∠B＝∠BEM，∠FEM＝∠HFE，∠HFG＝∠FGN，∠D＝∠NGN，求出∠B+∠EFH+∠HFG+∠D＝∠BEM+∠MEF+∠FGN+∠NGD即可．【解答】解：過E作EM∥AB，過F作FH∥AB，過G作GN∥AB∵AB∥CD∴AB∥EM∥GN∥CD∥FH∴∠B＝∠BEM，∠FEM＝∠HFE，∠HFG＝∠FGN，∠D＝∠NGN∴∠B+∠EFH+∠HFG+∠D＝∠BEM+∠MEF+∠FGN+∠NGD∴∠B+∠EFG+∠D＝∠EFG+∠FGD故選：A．【點評】本題考查了平行線的性質的應用，主要考查學生的推理能力．7．一學員在廣場上練習駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130【分析】首先根據(jù)題意對各選項畫出示意圖，觀察圖形，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可得出答案．【解答】解：如圖：故選：A．【點評】此題考查了平行線的判定．注意數(shù)形結合法的應用，注意掌握同位角相等，兩直線平行．8．若∠A和∠B的兩邊分別平行，且∠A比∠B的2倍少30°，則∠B的度數(shù)為（）A．30° B．70° C．30°或70° D．100°【分析】由∠A和∠B的兩邊分別平行，即可得∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，又由∠A比∠B的2倍少30°，即可求得∠B的度數(shù)．【解答】解：∵∠A和∠B的兩邊分別平行∴∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°∵∠A比∠B的兩倍少30°即∠A＝2∠B﹣30°∴∠B＝30°或∠B＝70°．故選：C．【點評】此題考查了平行線的性質與方程組的解法．此題難度不大，解題的關鍵是掌握由∠A和∠B的兩邊分別平行，即可得∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，注意分類討論思想的應用．9．如圖，△ABC沿著BC方向平移得到△A′B′C′，點P是直線AA′上任意一點，若△ABC，△PB′C′的面積分別為S1，S2，則下列關系正確的是（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1＝2S2【分析】根據(jù)平行線間的距離相等可知△ABC，△PB′C′的高相等，再由同底等高的三角形面積相等即可得到答案．【解答】解：∵△ABC沿著BC方向平移得到△A′B′C′∴AA′∥BC′∵點P是直線AA′上任意一點∴△ABC，△PB′C′的高相等∴S1＝S2故選：C．【點評】本題考查平移的基本性質：①平移不改變圖形的形狀和大?。虎诮?jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．10．如圖a∥b，c與a相交，d與b相交，下列說法：①若∠1＝∠2，則∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，則c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正確的有（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③【分析】根據(jù)平行線的性質和判定逐一進行判斷求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，則a∥e∥b，則∠3＝∠4，故此說法正確；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，則∠1＝∠5，則c∥d；故此說法正確；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，則∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此說法正確；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°時，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此說法錯誤．故選：B．【點評】此題考查了平行線的性質與判定，熟練掌握平行線的性質與判定是解題的關鍵．二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)請把答案直接填寫在橫線上11．如圖，直線AB、CD相交于O點，∠AOE＝90°，∠1和∠2互為對頂角：∠1和∠4互為鄰補角；∠2和∠3互為余角；∠1和∠3互為余角；∠2和∠4互為鄰補角．【分析】依據(jù)對頂角、鄰補角以及余角的定義進行判斷即可．有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．【解答】解：直線AB、CD相交于O點，∠AOE＝90°，∠1和∠2互為對頂角：∠1和∠4互為鄰補角；∠2和∠3互為余角；∠1和∠3互為余角；∠2和∠4互為鄰補角．故答案為：對頂，鄰補，余，余，鄰補．【點評】本題主要考查了鄰補角、對頂角以及余角的定義，鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．12．如圖，有一個與地面成30°角的斜坡，現(xiàn)要在斜坡上豎起一根電線桿，設電線桿與斜坡所夾的角為∠1，當∠1的度數(shù)為60°時，電線桿與地面垂直．【分析】將∠1的一邊延長，找∠1的對頂角與30°，90°的關系，再根據(jù)對頂角相等求∠1．【解答】解：如圖，要使CB⊥AB，則在△ABC中，∠CBA＝90°∴∠1＝∠ACB＝90°﹣30°＝60°．故答案為：60°．【點評】本題主要考查了垂線的定義，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用直角三角形的性質求解．13．如圖，將網(wǎng)格中的三條線段AB、CD、EF沿網(wǎng)格線（水平和鉛直方向）平移，使它們首尾相接構成三角形，至少需要移動7格．【分析】要使平移的個數(shù)最少，可將它們朝同一個點共同移動，此時需要平移的格數(shù)最少．【解答】解：如圖，將網(wǎng)格中的三條線段沿網(wǎng)格線平移后組成一個首尾相接的三角形根據(jù)平移的基本性質知：線段AB向右平移1格，再向下平移2格；EF向上平移2格；CD向左平移2格；此時平移的格數(shù)最少為：2+2+2+1＝7其它平移方法都超過7格故答案為：7．【點評】本題考查平移的基本概念及平移規(guī)律，是比較簡單的幾何圖形變換．關鍵是要觀察比較平移前后物體的位置．14．如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結論：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正確的是①②③④．【分析】①由題意可得∠G＝∠MPG＝90°，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可判定GE∥MP；②由題意可得∠EFG＝30°，利用鄰補角即可求∠EFN＝150°；③過點F作FH∥AB，可得FH∥CD，從而得∠HFN＝∠MNP＝45°，可求得∠EFH＝105°，再利用平行線的性質即可求得∠BEF＝75°；④利用角的計算可求得∠AEG＝∠PMN＝45°，∠GPM＝90，即可得出答案．【解答】解：①由題意，∵∠G＝∠MPG＝90°∴∠G＝∠MPG＝90°∴GE∥MP，故①正確；②由題意得∠EFG＝30°∴EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正確；③過點F作FH∥AB，如圖∵AB∥CD∴∠BEF+∠EFH＝180°，F(xiàn)H∥CD∴∠HFN＝∠MNP＝45°∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③正確；④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°∵∠MNP＝45°∴∠AEG+∠MNP＝90°∵∠GPN＝180°﹣∠MPN＝180°﹣90°＝90°∴∠AEG+∠MNP＝∠GPM，故④正確．綜上所述，正確的有4個．故答案為：①②③④．【點評】本題主要考查平行線判定與性質，解答的關鍵是熟記平行線的判定條件與性質并靈活運用．15．如圖，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若設∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y(tǒng)°則∠P1＝（x+y）度（用x，y的代數(shù)式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，則∠Pn＝（）n﹣1（x+y）度．【分析】本題的關鍵是作過P1的輔助線MN∥AB，然后利用平行線的性質、角平分線的定義，結合歸納推理思想解決本題．【解答】解：（1）如圖，分別過點P1、P2作直線MN∥AB，GH∥AB∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．又∵AB∥CD∴MN∥CD．∴∠P1FD＝∠FP1M＝y(tǒng)°．∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1∴．．以此類推：...故答案為：（x+y），（）n﹣1（x+y）．【點評】主要考查平行線的性質及角平分線的定義，利用歸納推理的思想解決．三、解答題(本大題共8小題，共55分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．按要求畫圖：①畫∠AOB＝60°；②在∠AOB的內(nèi)部作OC平分∠AOB；③在射線OC上任取一點P，使OP＝4cm，過點P作OA、OB的垂線段，垂足分別為M、N；④量得PM＝2，PN＝2．【分析】①用量角器作出∠AOB＝60°即可；②用量角器作出∠AOC＝30°，射線OC即為所求射線；③在射線OC上任取一點P，使OP＝4cm，過點P作OA、OB的垂線段即可；④量得PM、PN的長度填寫即可求解．【解答】解：（1））如圖所示：測量可得PM＝2，PN＝2．故答案為：2；2．【點評】本題考查了復雜作圖，主要涉及量角器和刻度尺的應用，是基礎題．17．已知：如圖，直線AB、CD相交于點O，OA平分∠EOC，若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度數(shù)．【分析】先設∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根據(jù)平角的定義得2x+3x＝180°，解得x＝36°，則∠EOC＝2x＝72°，根據(jù)角平分線定義得到∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，然后根據(jù)對頂角相等得到∠BOD＝∠AOC＝36°．【解答】解：設∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根據(jù)題意得2x+3x＝180°，解得x＝36°∴∠EOC＝2x＝72°∵OA平分∠EOC∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°∴∠BOD＝∠AOC＝36°．【點評】考查了角的計算，角平分線的定義和對頂角的性質．解題的關鍵是明確：1直角＝90°；1平角＝180°，以及對頂角相等．18．補全推理過程：如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，點E在AB上，EF⊥BC于點F，過點D作直線DG交AC于點G，交EF的延長線于點H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度數(shù)．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）∴AD∥EF．（在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行）∴∠2+∠EAD＝180°．（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∵∠1+∠2＝180°，（已知）∴∠1＝∠EAD．（同角的補角相等）∴AE∥HG．（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴∠B＝∠BDH．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠B＝50°，（已知）∴∠BDH＝50°．（等量代換）∵AD⊥BC，（已知）∴∠ADB＝90°．（垂直的定義）∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定義）∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性質）∵AD∥EF，（已證）∴∠H＝∠1＝40°．（兩直線平行，同位角相等）【分析】先證明AD∥EF，得∠2+∠EAD＝180°，進而證明∠1＝∠EAD，得AE∥HG，則∠B＝∠BDH，再求出∠1＝40°，然后由平行線的性質即可得出結論．【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）∴AD∥EF．（在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行）∴∠2+∠EAD＝180°．（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∵∠1+∠2＝180°，（已知）∴∠1＝∠EAD．（同角的補角相等）∴AE∥HG．（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴∠B＝∠BDH．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠B＝50°，（已知）∴∠BDH＝50°．（等量代換）∵AD⊥BC，（已知）∴∠ADB＝90°．（垂直的定義）∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定義）∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性質）∵AD∥EF，（已證）∴∠H＝∠1＝40°．（兩直線平行，同位角相等）故答案為：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；EAD；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；垂直的定義；40，兩直線平行，同位角相等．【點評】本題考查了平行線的判定與性質以及補角的定義等知識，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．19．如圖，已知∠FEA＝∠EAF，AE平分∠CAF．（1）求證：EF∥AC；（2）若AC平分∠DAB，∠BAF與∠BAD互補，∠FEA﹣∠DAC＝50°，求∠F．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定解答即可；（2）題干條件沒有給出任何一個具體角的度數(shù)，故可設其中一個角為x，用x表示其他的角，以∠BAF與∠BAD互補為等量關系列方程來求解．【解答】（1）證明：∵AE平分∠CAF∴∠EAF＝∠EAC∵∠FEA＝∠EAF∴∠FEA＝∠EAC∴EF∥AC；（2）解：∵AC平分∠DAB∴∠DAC＝∠BAC設∠DAC＝∠BAC＝x，則∠DAB＝2x∵∠FEA﹣∠DAC＝50°∴∠FEA＝∠DAC+50°＝x+50°∴∠EAF＝∠EAC＝∠FEA＝x+50°∴∠BAF＝∠EAF+∠EAC+∠BAC＝x+50°+x+50°+x＝3x+100°∵∠BAF與∠BAD互補∴∠BAF+∠BAD＝180°∴3x+100°+2x＝180°解得：x＝16°∴∠EAF＝∠FEA＝x+50°＝66°∴∠F＝180°﹣∠FEA﹣∠EAF＝180°﹣66°﹣66°＝48°【點評】本題考查了角平分線性質、平行線的判定．第（2）小題的解題關鍵為設一個角度為x，利用方程思想來求解具體角度．20．如圖，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，試說明BC⊥AB．【分析】過E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根據(jù)平行線的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：過E作EF∥AD，交CD于F則∠ADE＝∠DEF∵DE平分∠ADC∴∠1＝∠ADE∴∠1＝∠DEF∵∠1+∠2＝90°∴∠DEC＝90°∴∠DEF+∠FEC＝90°∴∠2＝∠FEC∵CE平分∠DCB∴∠2＝∠BCE∴∠FEC＝∠BCE∴BC∥EF∴BC∥AD∵DA⊥AB∴BC⊥AB．【點評】本題考查了平行線的性質和判定，角平分線定義的應用，能正確作出輔助線，并綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．21．如圖，AB∥CD，∠A＝∠BDC．（1）求證：AE∥BD．（2）若∠AEC的平分線交CD的延長線于點F，且∠BDC＝140°，∠F＝22°．求∠CEF的度數(shù)．【分析】（1）首先根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”可得∠BDC+∠B＝180°，結合∠A＝∠BDC易得∠A+∠B＝180°，然后根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”證明結論即可；（2）過點E作EG∥AB，易得∠A+∠AEG＝180°，進而解得∠AEG的值，再證明CD∥EG，由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可得∠FEG＝∠F＝22°，進而求得∠AEF的值，然后根據(jù)角平分線的定義確定∠CEF的度數(shù)即可．【解答】（1）證明：∵AB∥CD∴∠BDC+∠B＝180°∵∠A＝∠BDC∴∠A+∠B＝180°∴AE∥BD；（2）解：如圖，過點E作EG∥AB∴∠A+∠AEG＝180°∵∠BDC＝∠A＝140°∴∠AEG＝180°﹣∠A＝40°∵AB∥CD，AB∥EG，∠F＝22°∴CD∥EG∴∠FEG＝∠F＝22°∴∠AEF＝∠AEG+∠FEG＝62°∵EF是∠AEC的平分線∴∠CEF＝∠AEF＝62°．【點評】本題主要考查了平行線的判定與性質、角平分線等知識，理解并掌握平行線的性質是解題關鍵．22．【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，小明同學在做光的折射實驗時發(fā)現(xiàn)：平行于主光軸MN的光線AB和CD經(jīng)過凹透鏡的折射后，折射光線BE，DF的反向延長線交于主光軸MN上一點P．【提出問題】小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三個角之間存在著怎樣的數(shù)量關系？【分析問題】已知平行，可以利用平行線的性質，把∠BPD分成兩部分進行研究．【解決問題】探究一：請你幫小明解決這個問題，并說明理由．探究二：如圖②，∠P，∠AMP，∠CNP的數(shù)量關系為∠AMP＝∠P+∠CNP；如圖③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，則∠BAE＝145°（不需要寫解答過程）利用探究一得到的結論解決下列問題：如圖④，射線ME，NF分別平分∠BMP和∠CNP，ME交直線CD于點E，NF與∠AMP內(nèi)部的一條射線MF交于點F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度數(shù)．【分析】探究一：由平行線的性質推出∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP，得到∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP，即可解決問題；探究二：如圖②，由平行線的性質推出∠MKP＝∠CNP，由三角形外角的性質即可得到∠AMP＝∠P+∠CNP；如圖③，由平行線的性質推出∠ALC＝∠C＝60°，求出∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°，由三角形外角的性質得到∠BAE＝∠B+∠ALB＝145°；如圖④，由探究一的結論得到∠P＝∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF，∠F＝∠AMF+∠CNF，而∠P＝2∠F，推出∠PMF∠AMP，又∠PME∠PMB，得到∠FME∠AMB＝90°．【解答】解：探究一：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下：如圖①∵AB∥MN∥CD∴∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP．探究二：如圖②∠AMP＝∠P+∠CNP，理由如下：∵AB∥CD∴∠MKP＝∠CNP∵∠AMP＝∠P+∠MKP∴∠AMP＝∠P+∠CNP．如圖③，延長EA交BC于L∵AE∥CD∴∠ALC＝∠C＝60°∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝1