2026屆福建省清流一中數(shù)學(xué)高二上期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于，，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.2．下列命題中，真命題的個數(shù)為（）（1）是為雙曲線的充要條件；（2）若，則；（3）若，，則；（4）橢圓上的點距點最近的距離為；A.個 B.個C.個 D.個3．，則與分別為（）A.與 B.與C.與0 D.0與4．拋物線有一條重要的性質(zhì)：平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后經(jīng)過它的焦點．反之，從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，從點發(fā)出一條平行于x軸的光線，經(jīng)過拋物線兩次反射后，穿過點，則光線從A出發(fā)到達(dá)B所走過的路程為（）A.8 B.10C.12 D.145．復(fù)數(shù)，則對應(yīng)的點所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（）A. B.C. D.7．點，是橢圓的左焦點，是橢圓上任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．甲、乙同時參加某次數(shù)學(xué)檢測，成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優(yōu)秀的概率為（）A. B.C. D.9．在棱長為1的正方體中，為的中點，則點到直線的距離為（）A. B.1C. D.10．在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)則該數(shù)滿足的概率為（）A. B.C. D.11．已知是雙曲線的左焦點，，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（）A.9 B.8C.7 D.612．已知空間向量，，，則（）A.4 B.-4C.0 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某次實驗得到如下7組數(shù)據(jù)，通過判斷知道與具有線性相關(guān)性，其線性回歸方程為，則______.（參考公式：）12345676.06.26.36.46.46.76.814．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為____.15．已知，，若x，a，b，y成等比數(shù)列，x，c，d，y成等差數(shù)列，則的最小值為_____________.16．雙曲線的右頂點為A，右焦點為F，過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則的面積為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，平面，∥,，，為上一點，平面（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）若，求點D到平面EMC的距離18．（12分）已知拋物線的焦點為F，為拋物線C上的點，且.（1）求拋物線C的方程；（2）若直線與拋物線C相交于A，B兩點，求弦長.19．（12分）已知點，（1）若過點P作的切線只有一條，求實數(shù)的值及切線方程；（2）過點P作斜率為1的直線l與相交于M，N兩點，當(dāng)面積最大時，求實數(shù)的值20．（12分）某市對排污水進(jìn)行綜合治理，征收污水處理費，系統(tǒng)對各廠一個月內(nèi)排出的污水量x噸收取的污水處理費y元，運行程序如圖所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求排放污水150噸的污水處理費用.21．（12分）如圖，三棱錐中，為等邊三角形，且面面，（1）求證：；（2）當(dāng)與平面BCD所成角為45°時，求二面角的余弦值22．（10分）2021年11月初某市出現(xiàn)新冠病毒感染者，該市教育局部署了“停課不停學(xué)”的行動，老師們立即開展了線上教學(xué)．某中學(xué)為了解教學(xué)效果，于11月30日復(fù)課第一天安排了測試，數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高二年級學(xué)生這次測試的數(shù)學(xué)成績與每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長之間的相關(guān)關(guān)系，對在校高二學(xué)生隨機抽取45名進(jìn)行調(diào)查，了解到其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時，并得到如下的統(tǒng)計圖：（1）根據(jù)統(tǒng)計圖填寫下面列聯(lián)表，是否有95%的把握認(rèn)為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長有關(guān)”；數(shù)學(xué)成績不超過120分?jǐn)?shù)學(xué)成績超過120分總計每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時25每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時總計45（2）從被抽查的，且這次數(shù)學(xué)成績超過120分的學(xué)生中，按分層抽樣的方法抽取5名，再從這5名同學(xué)中隨機抽取2名，求這兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時的概率附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】直線的斜率為，計算，，利用余弦定理得到，化簡知，得到答案【詳解】由題意知直線的斜率為，，又，由雙曲線定義知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故雙曲線漸近線的方程為.故答案選D【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線，與圓的關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計算能力.2、A【解析】利用方程表示雙曲線求出的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系可判斷（1）的正誤；直接判斷命題的正誤，可判斷（2）的正誤；利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷（3）的正誤；利用橢圓的有界性可判斷（4）的正誤.【詳解】對于（1），若曲線為雙曲線，則，即，解得或，因為或，因此，是為雙曲線的充分不必要條件，（1）錯；對于（2），若，則或，（2）錯；對于（3），，則，（3）對；對于（4），設(shè)點為橢圓上一點，則且，則點到點的距離為，（4）錯.故選：A.3、C【解析】利用正弦函數(shù)和常數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，所以，所以，，故選：C4、C【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示：焦點為，設(shè)光線第一次交拋物線于點，第二次交拋物線于點，過焦點F，準(zhǔn)線方程為：，作垂直于準(zhǔn)線于點，作垂直于準(zhǔn)線于點，則，，，，故選：C5、C【解析】化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為位于第三象限.故選：C.6、A【解析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A7、A【解析】由，當(dāng)三點共線時，取得最值【詳解】設(shè)是橢圓的右焦點，則又因為，，所以，則故選：A8、D【解析】利用相互獨立事件概率乘法公式直接求解.【詳解】甲、乙同時參加某次數(shù)學(xué)檢測，成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優(yōu)秀的概率為.故選：D9、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點到直線的距離公式進(jìn)行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點到直線的距離為故選：B10、C【解析】求解不等式，利用幾何概型的概率計算公式即可容易求得.【詳解】求解不等式可得：，由幾何概型的概率計算公式可得：在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)則該數(shù)滿足的概率為.故選：.11、A【解析】由雙曲線方程求出，再根據(jù)點在雙曲線的兩支之間，結(jié)合可求得答案【詳解】由，得，則，所以左焦點為，右焦點，則由雙曲線的定義得，因為點在雙曲線的兩支之間，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號，所以的最小值為9，故選：A12、A【解析】根據(jù)空間向量平行求出x,y，進(jìn)而求得答案.【詳解】因為，所以存在實數(shù)，使得，則.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9##【解析】求得樣本中心點的坐標(biāo)，代入回歸直線，即可求得.詳解】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得：故，解得.故答案為：.14、【解析】先求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程.【詳解】由題意，，，則切線方程為：.故答案為：.15、4【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)把用表示，然后由基本不等式得最小值【詳解】由題意，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立故答案為：416、【解析】由平行線的性質(zhì)求出斜率，由點斜式求出直線方程，然后求出交點坐標(biāo)，由三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】雙曲線的右頂點，右焦點，，所以漸近線方程為，不妨設(shè)直線FB的方程為，將代入雙曲線方程整理，得，解得，，所以，所以故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）運用線面平行的判定定理證明；（Ⅱ）借助體積相等建立方程求解即可【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點，連接，因為，所以，又因為平面，所以，所以平面，因為平面，所以∥，面，平面,所以∥平面；（Ⅱ）因為平面，面，所以平面平面，平面平面,過點作直線,則平面，由已知平面，∥,，可得，又，所以為的中點，在中，，在中，，，在中，，由等面積法知，所以，即點D到平面EMC的距離為.考點：直線與平面的位置關(guān)系及運用【易錯點晴】本題考查的是空間的直線與平面平行的推證問題和點到直線的距離問題．解答時,證明問題務(wù)必要依據(jù)判定定理,因此線面的平行問題一定要在所給的平面中找出一條直線與這個平面外的直線平行,敘述時一定要交代面外的線和面內(nèi)的線,這是許多學(xué)生容易忽視的問題,也高考閱卷時最容易扣分的地方,因此在表達(dá)時一定要引起注意18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線定義可得，從而得到拋物線C的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，消去，可得的方程，運用韋達(dá)定理和弦長公式，計算可得所求值【詳解】（1），所以，即拋物線C的方程.（2）設(shè)，由得所以，所以.【點睛】方法點睛：計算拋物線弦長方法，(1)若直線過拋物線的焦點，則弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)(2)若直線不過拋物線的焦點，則用|AB|＝·|x1－x2|求解19、（1）；當(dāng)時，切線方程為；當(dāng)時，切線方程為；（2）或【解析】(1)根據(jù)題意可知P在圓上，據(jù)此即可求t和切線方程；(2)的面積，則當(dāng)面積最大時，．即，據(jù)此即可求出圓心O到直線l的距離，即可求出t的數(shù)值.【小問1詳解】由題意得點在上，∴，，①當(dāng)時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程為，即②當(dāng)時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程，即【小問2詳解】∵的面積，則當(dāng)面積最大時，．即，則圓心O到直線l距離又直線，即，則，解之得或注：亦可設(shè)圓心O到直線l的距離為d，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號(下同)20、（1）；（2）1400（元）.【解析】（1）根據(jù)已知條件即可容易求得函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)關(guān)系式，令，求得函數(shù)值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，得：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.即.【小問2詳解】因為，故，故該廠應(yīng)繳納污水處理費1400元.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件證得平面即可推理作答.(2)由與平面BCD所成角確定正邊長與CD長的關(guān)系，再作出二面角的平面角，借助余弦定理計算作答.【小問1詳解】在三棱錐中，平面平面，平面平面，而，平面，因此有平面，又有平面，所以.【小問2詳解】取BC中點F，連接AF，DF，如圖，因為等邊三角形，則，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，是與平面BCD所成角，即，令，則，因，即有，由(1)知，，則有，過C作交AD于O，在平面內(nèi)過O作交BD于E，連CE，從而得是二面角的平面角，中，，，中，由余弦定理得，，，顯然E是斜邊中點，則，中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值.22、（1）表格見解析，有（2）【解析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖計算填表即可；（2）根據(jù)古典概型計算公式計算即可.【小問1詳解】根據(jù)統(tǒng)計圖可得：每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時數(shù)學(xué)成績超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時數(shù)學(xué)成績超過120分的有人，可得列聯(lián)表如下：數(shù)學(xué)成績不超過120分?jǐn)?shù)學(xué)成績超過120分總計每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時151025每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時51520總計202545根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，所以