2025~2026學年度第一學期期末學業(yè)質(zhì)量水平診斷高三數(shù)學注意事項:1.本試題滿分150分,考試時間為120分鐘。2.答卷前，務(wù)必將姓名和準考證號填涂在答題紙上。3.使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰，超出答題區(qū)書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求。1.設(shè)全集U={1,A.{1,2,3,5}B.{1,2,3}2.已知a>12，則A.12B.32C.523.已知a>0且a≠1，則“l(fā)oga23<1”A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知直線l:mx+y?2m+1=0,圓C:xA.-1B.1C.-2D.25.已知菱形ABCD的邊長為1,E,F分別是BCA.?58B.?38C.386.若正三棱臺ABC?A1B1C1的體積為723，且A.2B.2C.3D.37.若函數(shù)fx=cosωx2?π6cosA.0,49B.49,2C.0,88.已知定義在R上的函數(shù)fx的導函數(shù)為f′x,fx+2=f?x,xA.(?∞,?1]B.?1,1C.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。9.已知函數(shù)fx=2x3?A.f′12=?32B.函數(shù)C.函數(shù)fx的極大值為12D.函數(shù)y10.已知拋物線C:y2=mx經(jīng)過點M1,1,其焦點為F,P為C上一動點,點B.直線MN與拋物線CC.滿足PM=2PND.點P到y(tǒng)軸的距離與其到點N的距離之和的最小值為511.如圖,已知點P是棱長為3的正方體ABCD?A.當點P在線段B1D1B.當點P在線段B1D1上時，APC.當點P在面CDD1C1上時，三棱錐D.當點P在面CDD1C1上時,若PB+P三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知sinπ6?α=313.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與C14.若數(shù)列an滿足an+2+an≥2an+1(n∈N*,當且僅當n為奇數(shù)時取“=”),則稱an為“T數(shù)列”.設(shè)數(shù)列bn為“T數(shù)列”,b四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面A(1)證明:平面AEF⊥平面(2)求二面角A?E16.(15分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，(1)若AD=1，求(2)若∠CAD=π317.(15分)已知點P1x1,y1,P2x2,y2,?,Pnxn,yn,?均在拋物線x2=4y上，x(1)求數(shù)列xn(2)設(shè)圓Pn的面積為Sn,Tn=18.(17分)已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為2(1)求Γ的方程；(2)設(shè)過點F1的直線l1與過點F2的直線l2相交于點P,l1,(i)若Q為Γ上的動點，求PQ(ii)設(shè)O為坐標原點,若l1與Γ相交于點A,B,l2與Γ相交于點C,D,且直線O19.(17分)已知函數(shù)fx=(1)當x>0時，fx>1(2)設(shè)a=1,exn(i)證明:數(shù)列xn(ii)證明:exn2025~2026學年度第一學期期末學業(yè)質(zhì)量水平診斷高三數(shù)學參考答案一、選擇題:1.D2.C3.B4.A5.B6.A7.C8.A二、選擇題9.ACD10.AC11.ABD三、填空題12.?四、解答題15.解:(1)證明:因為PA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以又PA?平面PAB,A所以BC⊥面PA因為AE?面PAB,所以在△APB中,因為AP=AB,E因為PB?平面PBC,B所以AE⊥平面PB又AE?平面AEF,所以平面AEF⊥(2)以D為原點，DA,DC的方向分別作為x，y軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，D?xyz,則設(shè)m=x1,y1則有y1+令x1=4,得y1=1,又DE=1,1,1,DF則有x2+y2+z2=012x2+2y2=0,令x2=4,得y2=所以，二面角A?EF?D的余弦值為16.解:(1)在△ABD中,由余弦定理得,AD2=AB所以ac≤4，當且僅當“a4=c”時取“所以S△ABC=12acsinB(2)在△ACD中，由正弦定理得，3a4sinπ3在△ABD中,由正弦定理得,a4sin∠B因為∠BAD+π3于是3asinC4sinπ3又4sinC即sin2C+因為0<C<π3,所以2C解得C=π617.解:(1)因為點Pnxn,yn在拋物線x2=4y因為圓Pnxn,yn和圓Pn+1x所以PnPn所以xn?整理得xn?x因為0<xn+1<x即1xn+1?1xn=12,所以數(shù)列1x所以1xn=1+n?(2)由(1)知，Sn=π?因為1n+1所以Tn=S1+S2+?18.解:(1)由題意知ca=22,12×2c×所以Γ的方程為x22+(2)(i)設(shè)Px0,y0，顯然x0≠±1,y0≠0，則k1=y0x0+1,k2聯(lián)立x22+y2=1Δ=16m2?122所以PQ的最小值為3?3(ii)設(shè)直線l1的方程為y=k1x+1,設(shè)Ax1,y1,Bx2,y聯(lián)立方程x22+y2=所以x1+所以kOA同理可得kOC+所以kOA即k1k2當k1k2=1時,又1k1?2k2=1由y0x0+1=1當k1+k2=0時,又1k1?2k2=1綜上,滿足條件的點P的坐標為53,43或19.解:(1)當x>0時,fx>1令gx=axex?當a≤0時,因為x>0,所以ax+a?1<0在0,+∞上單調(diào)遞減,所以gx當0<a<1時,令g′x=0,解得x單調(diào)遞減,當x∈1?aa,+∞時,合題意;3分當a≥1時,令g′x=0,解得x=1?aa≤在0,+∞上單調(diào)遞增,所以gx綜上，a的取值范圍為[1,+(2)因為a=1，由(1)知，當x>0時，(i)證明:因為x1=12>0,所以e因為x2>0,所以ex3=fx2>1,所以x3>0.以此類推,xn>0n∈N*