第十九章一次函數(shù)

滾動培優(yōu)訓練人教版八年級下冊1.如圖，已知四邊形ABCD是正方形，點B，C分別在直線y＝2x和y＝kx上，A，D是x軸上兩點.(1)若此正方形的邊長為2，則k＝_____.(2)若此正方形的邊長為a，k的值是否會發(fā)生變化？若不會發(fā)生變化，請說明理由；若會發(fā)生變化，請求出a的值.解：(2)k的值不會發(fā)生變化.理由如下：∵正方形的邊長為a，∴AB＝AD＝a.在直線y＝2x中，當y＝a時，x＝

a，∴OA＝

a

∴OD＝

a

∴C

.將點C

代入y＝kx，得a＝k·

a，∴k＝

.2.從A地向B地打長途電話，通話時間不超過3min收費2.4元，超過3min后每分加收1元.寫出通話費用y(單位：元)關于通話時間x(單位：min)的函數(shù)解析式.有10元錢時，打一次電話最多可以通話多長時間？(本題中x取整數(shù)，不足1min的通話時間按1min計費.)解：當0＜x≤3時，y＝2.4，當x＞3時，y＝2.4＋(x－3)＝x－0.6，當y＝10時，x－0.6＝10，解得x＝10.6.∵x取整數(shù)，不足1min的通話時間按1min計費，∴有10元錢時，打一次電話最多可以通話10min.綜上所述，y＝3.如圖，在直角坐標系中，已知直線y＝－

x＋3與x軸相交于點A與y軸交于點B.(1)求點A和B的坐標；解：(1)當x＝0時，y＝3.∴B(0，3).當y＝0時，x＝4，∴A(4，0).(2)點C在x軸上，若△ABC是以AB為腰的等腰三角形，求點C的坐標.解：(2)點C的坐標為(－4，0)或(－1，0)或(9，0).4.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx＋5的圖象與x軸和y軸正半軸分別交于A，B兩點，且

.(1)求一次函數(shù)y＝kx＋5的表達式；解：(1)依題意，得B(0，5)，∴OB＝5.將點A(10，0)代入y＝kx＋5，得10k＋5＝0，∵

，∴OA＝10.∴A(10，0).解得k＝－

.∴一次函數(shù)的表達式為y＝－

x＋5.(2)若P為該一次函數(shù)圖象上一點，且S△POB＝

S△AOB，求點P的坐標.解：(2)∵OA＝10，OB＝5，∴S△AOB＝

×10×5＝25.∵S△POB＝

S△AOB，∴

×5×|xP|＝

×25，解得xP＝±15.把x＝15代入y＝－

x＋5，得y＝－

；把x＝－15代入y＝－

x＋5，得y＝

.∴點P的坐標是

.5.某學校計劃在總費用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送234名學生和6名教師集體外出活動，每輛汽車上至少要有一名教師，現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如表所示．

甲種大客車乙種大客車載客量(人/輛)4530租金(元/輛)400280設共租用汽車m輛，其中租用甲種大客車x輛，租車費用為y元．(1)求y關于x的函數(shù)解析式；解：(1)租用汽車最少為(234＋6)÷45＝53(1)≈6(輛)，∵要使每輛汽車上至少要有1名教師，∴汽車總數(shù)不能大于6輛．由此可得共需租6輛汽車，即m＝6.租用甲種大客車x輛，則乙種大客車為(6－x)輛，租車費用y＝400x＋280(6－x)＝120x＋1680，即y關于x的函數(shù)解析式為y＝120x＋1680.(2)運用上述關系，求出最節(jié)省費用的租車方案，并說明理由．(2)依題意，得解得4≤x≤.∵x為整數(shù)，∴x＝4或x＝5.∵租車的總費用y關于x的函數(shù)解析式為y＝120x＋1680，120>0，y隨x的增大而增大，∴當x＝4時，y有最小值，為y＝120×4＋1680＝2160(元).此時，租乙種大客車6－x＝2(輛).答：租甲種大客車4輛、乙種大客車2輛時，所需費用最低，為2160元．6.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝x＋b的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，與正比例函數(shù)y＝－2x的圖象交于點C，點C的縱坐標為4.(1)求A，B，C三點的坐標；解：(1)當y＝4時，－2x＝4，解得x＝－2，

∴C(－2，4)，又∵y＝x＋b過點C(－2，4)，∴y＝x＋6.當x＝0時，y＝6，∴A(0，6)，當y＝0時，x＝－6，∴B(－6，0).∴－2＋b＝4，解得b＝6.(2)若動點P在射線CA上運動，當△OAP的面積是△OBC的面積的

時，求點P的坐標；又∵動點P在射線CA上運動，∴x≥－2.解：(2)設P(x，x＋6)，∵S△OAP＝

S△OBC，∴

AO·|x|＝

×

×BO·|yc|.∴

×6|x|＝

×

×6×4，解得x＝±

.∴點P的坐標是

.(3)若點Q(m，2)在△OBC的內(nèi)部(不包括邊界)，請直接寫出m的取值范圍.解：(3)當y＝2時，2＝x＋6，解得x＝－4，當y＝2時，2＝－2x，解得x＝－1，∴－4＜m＜－1.7．如圖，A，B分別是x軸上位于原點左右兩側(cè)的點，點P(2，p)在第一象限，直線PA交y軸于點C(0，2)，直線PB交y軸于點D，△AOP的面積為6.(1)求△COP的面積；(2)求點A的坐標及p的值；解：(1)如圖，過點P作PE⊥y軸于點E，∵點P的橫坐標是2，則PE＝2.∴S△COP＝

OC·PE＝×2×2＝2.(2)∵S△AOC＝S△AOP－S△COP＝6－2＝4，∴S△AOC＝

OA·OC＝4，即

OA·2＝4.∴OA＝4，∴點A的坐標是(－4，0).(3)若△BOP與△DOP的面積相等，求直線BD的函數(shù)解析式．設直線AP的解析式是y＝kx＋b，則解得則直線AP的解析式是y＝

x＋2.當x＝2時，y＝3，即p＝3.(3)設直線BD的解析式為y＝mx＋n(m≠0)，∵P(2，3)，S△BOP＝S△DOP，∴3OB＝2OD，∴B，則D(0，n).∴解得∴直線BD的解析式為y＝－

x＋6.8.在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝－2x＋4的圖象與x軸、y軸分別交于點B，A，以AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，過點C作CD⊥x軸于點D.(1)如圖1，求A，B，C三點的坐標；解：(1)∵一次函數(shù)y＝－2x＋4的圖象與x軸、y軸分別交于點B，A，∴A(0，4)，B(2，0).∴OA＝4，OB＝2.∵CD⊥BD，∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°.∴∠ABO

＋∠CBD＝90°，∠CBD＋∠BCD＝90°.∴∠ABO＝∠BCD.∵AB＝BC，∴△AOB≌△BDC(AAS).∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝2.∴OD＝6.∴C(6，2).(2)如圖2，若點E，F(xiàn)分別是OB，AB的中點，連接EF，CF.判斷四邊形FEDC的形狀，并說明理由.解：(2)結(jié)論：四邊形FEDC是矩形，理由：∵點E，F(xiàn)分別是OB，AB的中點，∴EF∥CD，EF＝CD＝2.∴四邊形FEDC是平行四邊形.∵∠CDE＝90°，∴四邊形FEDC是矩形.∴EF∥OA，EF＝

OA.∴EF⊥x軸，EF＝

×4＝2.9．如圖，直線AC：y＝

x＋m交y軸于點C(0，1)，直線BD：y＝－x＋n交x軸于點B(4，0)，兩直線交于點P，解答下列問題：(1)求m，n的值和點P的坐標；解：(1)將點C(0，1)代入y＝

x＋m，解得m＝1，∴y＝

x＋1.(2)若E是x軸上的動點，當以A，P，E為頂點的三角形是直角三角形時，求點E的坐標；將點B(4，0)代入y＝－x＋n，得－4＋n＝0，解得n＝4.∴y＝－x＋4.聯(lián)立方程組解得∴點P坐標為(2，2).(2)設E(t，0)，令y＝0，則

x＋1＝0，解得x＝－2，∴A(－2，0).∴AP2＝20，AE2＝(t＋2)2，PE2＝(t－2)2＋4.①當AP為斜邊時，20＝(t－2)2＋4＋(t＋2)2，解得t＝2或t＝－2(舍去)，∴E(2，0)；②當AE為斜邊時，(t＋2)2＝20＋(t－2)2＋4，解得t＝3，∴E(3，0)；(3)若F是y軸上的動點，當以A，P，F(xiàn)為頂點的三角形是以AP為腰的等腰三角形時，請直接寫出滿足條件的點F的坐標．③當PE為斜邊時，(t－2)2＋4＝20＋(t＋2)2，解得t＝－2(舍去).綜上所述，點E的坐標為(2，0)或(3，0).(3)設F(0，y)，∴AP2＝20，AF2＝4＋y2，PF2＝(y－2)2＋4.①當AP＝AF，PF為底邊時，20＝4＋y2，解得y＝－4或y＝4，∴F(0，－4)或(0，4)；②當AP＝PF，AF為底邊時，20＝(y－2)2＋4，解得y＝6或y＝－2，∴F(0，6)或(0，－2).綜上所述，點F的坐標為(0，－4)或(0，4)或(0，6)或(0，－2).10．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝

x＋30與坐標軸相交于點A和B.點C從點A出發(fā)沿AB方向以每秒4個單位長度的速度向點B勻速運動．同時點D從點O出發(fā)沿OA方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動．設點C，D運動的時間是t秒(0＜t＜15)，過點C作CE⊥BO于點E，∠ABO＝30°，連接CD，DE.(1)求OA，AB的長；(1)解：對于y＝