第二十一章

四邊形21.1四邊形及多邊形21.1.2

多邊形及其內(nèi)角和初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握多邊形、正多邊形的概念及相關(guān)定義.(重點(diǎn))2.能通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.(重點(diǎn))3.能運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式與外角和公式解決問題.(難點(diǎn))課堂引入1.類比三角形的概念，你能說出什么是多邊形嗎？2.任意三角形的內(nèi)角和是180°，任意凸四邊形的內(nèi)角和是360°.試著猜想五邊形、六邊形的內(nèi)角和是多少度.一、多邊形的定義及相關(guān)概念問題1

(1)想一想，如圖，這些圖形從構(gòu)成看有什么共同特點(diǎn)？類比三角形、四邊形的定義，你能得出什么叫作六邊形、多邊形嗎？提示都是由首尾順次相接的線段構(gòu)成；由六條線段首尾順次相接構(gòu)成的圖形叫作六邊形，如題圖1記為六邊形ABCDEF.在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接構(gòu)成的封閉圖形叫作多邊形.(2)什么是正多邊形？你能舉幾個(gè)例子嗎？知識(shí)梳理1.多邊形定義：在平面內(nèi)，由n(n≥3)條線段A1A2，A2A3，…，An-1An，AnA1

相接，組成的圖形叫作多邊形.2.正多邊形定義：各個(gè)角都相等、各條邊都相等的多邊形叫作正多邊形.如圖，是正多邊形的一些例子.首尾順次例1

下列多邊形是正多邊形嗎？如不是，請(qǐng)說明為什么？解都不是，第一個(gè)圖形不符合各個(gè)角都相等；第二個(gè)圖形不符合各條邊都相等.反思感悟判斷一個(gè)多邊形是不是正多邊形，各條邊都相等，各個(gè)角都相等，兩個(gè)條件必須同時(shí)具備.跟蹤訓(xùn)練1

下列屬于正多邊形的特征的有①各邊相等；②各個(gè)內(nèi)角相等；③各個(gè)外角相等；④各條對(duì)角線都相等.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)√解析①各邊相等是正確的；②各個(gè)內(nèi)角相等是正確的；③各個(gè)外角相等是正確的；④各條對(duì)角線不一定相等.綜上所述，屬于正多邊形的特征的有3個(gè).二、多邊形的內(nèi)角和問題2

(1)如圖，類比四邊形內(nèi)角和的研究方法，你能推導(dǎo)出五邊形的內(nèi)角和嗎？提示如圖，連接AC，AD，則五邊形被分為3個(gè)三角形，所以五邊形ABCDE的內(nèi)角和為180°×3=540°.(2)六邊形的內(nèi)角和等于多少呢？提示六邊形可被分為4個(gè)三角形(圖略)，所以六邊形的內(nèi)角和為180°×4=720°.(3)通過以上過程，你能發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎？一般地，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作

條對(duì)角線，它們將n邊形分為

個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于

.

(n-3)(n-2)(n-2)×180°知識(shí)梳理n邊形的內(nèi)角和等于

.(n-2)×180°例2

一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和多720°，這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度？解設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n，則(n-2)×180°=360°+720°，解得n=8，∴這個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為1

080°÷8=135°.反思感悟會(huì)推導(dǎo)n邊形內(nèi)角和為(n-2)×180°，并會(huì)靈活運(yùn)用內(nèi)角和公式.跟蹤訓(xùn)練2

(1)根據(jù)多邊形的內(nèi)角和完成下列題目.①一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是A.4 B.5 C.6 D.7②若一個(gè)多邊形的邊數(shù)為7，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是A.900° B.540° C.1

080° D.360°③若一個(gè)多邊形增加一條邊，那么它的內(nèi)角和A.增加180° B.增加360°C.減少360° D.不變√√√(2)填空.①十邊形的內(nèi)角和為

；

②已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1

260°，則它的邊數(shù)為

.

144°9三、多邊形的外角和問題3

如圖，在五邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫作五邊形的外角和.具體度數(shù)是多少呢？n邊形呢？提示五邊形外角和=五個(gè)平角-五邊形內(nèi)角和，即5×180°-(5-2)×180°=360°.進(jìn)一步推出，n邊形的外角和=n×180°-n邊形內(nèi)角和，因此，外角和為n×180°-(n-2)×180°=360°.知識(shí)梳理1.在n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫作n邊形的外角和.2.多邊形的外角和等于

.360°例3

一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于外角和的2倍，這個(gè)多邊形是幾邊形？解設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n.因?yàn)樗膬?nèi)角和等于(n-2)×180°，外角和等于360°，所以(n-2)×180°=2×360°，解得n=6.因此這個(gè)多邊形是六邊形.反思感悟知道n邊形外角和為360°，結(jié)合內(nèi)角和公式(n-2)×180°，能順利解決有關(guān)問題.跟蹤訓(xùn)練3

(1)一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的差是90°，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為

；

1

080°(2)一個(gè)n邊形的內(nèi)角和比它的外角和至少大150°，則n的最小值是

.

5課堂小結(jié)1.判斷.(1)十六邊形的內(nèi)角和為2

520°；

()(2)當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時(shí)，它的外角和也隨著增加；()(3)三角形的外角和與八邊形的外角和相等.()課堂練習(xí)√×√2.一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是36°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是

.

3.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是

.

4.如圖所示，小華從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線AB前進(jìn)10米后左轉(zhuǎn)24°，再沿直線BC前進(jìn)10米，又向左轉(zhuǎn)24°，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地點(diǎn)A時(shí)，走的路程一共是

米.

108150課堂練習(xí)5.如圖，在七邊形ABCDEFG中，AB，ED的延長線交于點(diǎn)O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，則∠BOD=

.

30°解析∵∠1，∠2，∠3，∠4的外角和為210°，∴∠1+∠2+∠