第二十一章四邊形

21.3.2菱形第2課時(shí)菱形的判定初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷菱形判定定理的探究過程，掌握菱形的判定定理.(重點(diǎn))2.會(huì)用這些菱形的判定方法進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.(難點(diǎn))情境引入我們可以根據(jù)定義來判定一個(gè)四邊形是菱形.除此之外，還能找到其他的判定方法嗎？本節(jié)我們來學(xué)習(xí).一、菱形的判定定理1問題1

預(yù)習(xí)課本P74~P75思考：如圖，用一長一短兩根細(xì)木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘，做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個(gè)平行四邊形.那么轉(zhuǎn)動(dòng)木條，這個(gè)平行四邊形什么時(shí)候變成菱形？對(duì)此你有什么猜想？提示當(dāng)兩根木條互相垂直時(shí)，這個(gè)平行四邊形變成菱形.猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.知識(shí)梳理菱形的判定定理1：對(duì)角線

的平行四邊形是菱形.幾何符號(hào)語言：∵如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形.互相垂直例1

如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：四邊形AFCE是菱形.證明∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥FC，∴∠1=∠2，∵EF垂直平分AC，∴AO=CO.又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO=FO，∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形.跟蹤訓(xùn)練1

如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AB=5，AO=4，BO=3.求證：?ABCD是菱形.證明∵AB=5，AO=4，BO=3，∴AB2=AO2+BO2，∴△OAB是直角三角形，∴AC⊥BD，∴?ABCD是菱形.二、菱形的判定定理2

根據(jù)小剛的作法猜想有什么條件可以判定一個(gè)四邊形是菱形？對(duì)你的猜想進(jìn)行證明.提示猜想：四條邊都相等的四邊形是菱形.∵AB=CD，BC=AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形.知識(shí)梳理菱形的判定定理2：

的四邊形是菱形.幾何符號(hào)語言：∵如圖，AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形.四條邊相等例2

如圖，順次連接矩形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是菱形.

跟蹤訓(xùn)練2

如圖，平移△ABC到△BDE的位置，且點(diǎn)D在邊AB的延長線上，連接EC，CD，若AB=BC，那么以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形ABEC是平行四邊形；②四邊形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正確的有

.(填序號(hào))

①②③④解析由平移的性質(zhì)可得AB∥CE，AC∥BE，∴四邊形ABEC是平行四邊形，故①正確；∵平移△ABC到△BDE的位置，∴AB=BD=CE，BC=DE，∵AB=BC，∴BD=CE=BC=DE，∴四邊形BDEC是菱形，故②正確；∴BE⊥CD，DC平分∠BDE，故④正確；∵AC∥BE，∴AC⊥DC，故③正確.三、菱形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用例3

如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，BE=2DE，延長DE到點(diǎn)F，使得EF=BE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；證明∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC且2DE=BC.又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形.又∵EF=BE，∴四邊形BCFE是菱形.例3

如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，BE=2DE，延長DE到點(diǎn)F，使得EF=BE，連接CF.(2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面積.

跟蹤訓(xùn)練3

如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合的四邊形ABCD是一個(gè)菱形嗎？為什么？解四邊形ABCD是菱形.理由如下：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.過點(diǎn)A分別作BC，CD邊上的高AE，AF，如圖，由題意得AE=AF.∵S?ABCD=BC·AE=CD·AF，∴BC=CD，∴四邊形ABCD是菱形.課堂小結(jié)1.下列命題中正確的是A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形B.三條邊相等的四邊形是菱形C.四條邊相等的四邊形是菱形D.四個(gè)角相等的四邊形是菱形課堂練習(xí)√2.如圖，要使平行四邊形ABCD成為菱形，下列添加的條件中錯(cuò)誤的是A.AB=BC

B.AC⊥BDC.∠ABC=90°

D.∠1=∠2√解析

A項(xiàng)，添加AB=BC，可判斷平行四邊形ABCD為菱形，不符合題意；B項(xiàng)，添加AC⊥BD，可判斷平行四邊形ABCD為菱形，不符合題意；C項(xiàng)，添加∠ABC=90°，可判斷平行四邊形ABCD為矩形，符合題意；D項(xiàng)，添加∠1=∠2，可判斷平行四邊形ABCD為菱形，不符合題意.課堂練習(xí)3.如圖，AD是△ABC的中線，四邊形ADCE是平行四邊形，添加下列條件，能判定?ADCE是菱形的是A.∠BAC=90° B.∠DAE=90°C.AB=AC D.AB=AE√課堂練習(xí)

課堂練習(xí)解析添加AB=AC，可得到AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴四邊形ADCE是矩形，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；添加AB=AE，∵AE=AB，AB不一定等于AD，∴AE不一定等于AD，無法判斷?ADCE是菱形，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.課堂練習(xí)4.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四邊形ABCD的周長.解∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC