第二十一章四邊形21.3.3正方形第2課時正方形的判定初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級下冊學(xué)習(xí)目標1.探索并證明正方形的判定.(重點)2.會運用正方形的判定條件進行有關(guān)的論證和計算.(難點)課堂引入1.什么是正方形？正方形有哪些性質(zhì)？2.矩形、菱形的判定方法有哪些？一、正方形的判定問題1

預(yù)習(xí)課本P77~P78思考：(1)準備一張矩形的紙片，按照如圖方式折疊，然后展開，折疊部分得到一個正方形，可測量驗證.滿足怎樣條件的矩形是正方形？提示一組鄰邊相等的矩形是正方形.(2)證一證：對角線互相垂直的矩形是正方形.如圖，在矩形ABCD中，AC，DB是它的兩條對角線，且AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.提示∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB，∴AD=AB=BC=CD，∴矩形ABCD是正方形.問題2

預(yù)習(xí)課本P77~P78思考：(1)把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.滿足怎樣條件的菱形是正方形？提示有一個角是直角的菱形是正方形.(2)證一證：對角線相等的菱形是正方形.如圖，在菱形ABCD中，AC，DB是它的兩條對角線，AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.提示∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∴菱形ABCD是正方形.知識梳理正方形的判定的幾種途徑：證明∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，又AE=BF=CG=DH，∴EB=FC=GD=HA，∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴HE=EF=FG=GH.例1

(課本P77例6)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD四條邊上的點，且AE=BF=CG=DH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明∴四邊形EFGH是菱形，∵△AEH≌△BFE，∴∠2=∠3，又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠HEF=180°-(∠1+∠3)=90°.∴四邊形EFGH是正方形.例1

(課本P77例6)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD四條邊上的點，且AE=BF=CG=DH.求證：四邊形EFGH是正方形.跟蹤訓(xùn)練1

(1)如圖，在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是A.AC=BD，AB∥CD，AB=CDB.AD∥BC，∠BAD=∠BCDC.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD.AO=CO，BO=DO，AB=BC√解析對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.(2)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分線交于點D，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F.求證：四邊形CEDF為正方形.證明∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四邊形CEDF是矩形.過點D作DG⊥AB于點G(圖略).∵AD是∠CAB的平分線，∴DE=DG.同理DG=DF，∴DE=DF.∴四邊形CEDF為正方形.二、正方形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用例2

如圖，在正方形ABCD中，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE.(1)求證：BF=DE；

例2

如圖，在正方形ABCD中，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE.(2)當(dāng)點E運動到AC的中點時(其他條件都保持不變)，四邊形AFBE是什么特殊四邊形？請說明理由.

例2

如圖，在正方形ABCD中，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE.(2)當(dāng)點E運動到AC的中點時(其他條件都保持不變)，四邊形AFBE是什么特殊四邊形？請說明理由.解

∴∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴四邊形AFBE是平行四邊形，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴?AFBE是正方形.跟蹤訓(xùn)練2

如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AB的中點，過點A作DE的垂線，垂足為F，過點B作DE的垂線，垂足為G，過點A作BG的垂線，垂足為H.求證：四邊形AFGH是正方形.

課堂小結(jié)1.下列命題正確的是A.四個角都相等的四邊形是正方形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.對角線相等的平行四邊形是正方形D.對角線互相垂直的矩形是正方形課堂練習(xí)√2.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是A.當(dāng)AB=BC時，四邊形ABCD是菱形B.當(dāng)AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形C.當(dāng)∠ABC=90°時，四邊形ABCD是矩形D.當(dāng)AC=BD時，四邊形ABCD是正方形√課堂練習(xí)3.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯誤的組合是

(只填寫序號).

②③和①④課堂練習(xí)4.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N.(1)求證：∠ADB=∠CDB；

課堂練習(xí)4.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N.(2)當(dāng)∠ADC=

時，四邊形MPND是正方形，并說明理由.

解

當(dāng)∠ADC=90°時，四邊形MPND是正方形.理由如下：∵PM⊥AD，