2025年高三數(shù)學(xué)期末承前啟后卷二考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級(jí)/班級(jí)：高三年級(jí)

2025年高三數(shù)學(xué)期末承前啟后卷二

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(0,1)

B.(1,3)

C.(3,+∞)

D.(0,1)∪(1,+∞)

2.已知集合A={x|x^2-3x+2>0},B={x|ax>1},若A∩B=?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(-1,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.[0,1]

D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

3.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z^2+az+b=0，其中a,b∈R，則a+b的值為

A.-1

B.1

C.-2

D.2

4.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，a_3=7，則S_6的值為

A.21

B.42

C.63

D.84

5.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則f(x)的最小正周期是

A.π/2

B.π

C.2π

D.4π

6.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若a=3，b=4，c=5，則角B的大小是

A.arctan(3/4)

B.arctan(4/3)

C.π/3

D.π/4

7.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

A.0

B.1

C.2

D.3

8.已知直線l：y=kx+b與圓C：x^2+y^2=1相交于A,B兩點(diǎn)，且|AB|=√2，則k^2+b^2的值為

A.1

B.2

C.3

D.4

9.已知函數(shù)f(x)=e^x-x，則f(x)在(-∞,+∞)上的圖像大致為

A.

B.

C.

D.

10.已知三棱錐P-ABC的底面△ABC的面積為S，高為h，則三棱錐P-ABC的體積V為

A.1/3Sh

B.2/3Sh

C.Sh

D.3Sh

二、填空題

1.已知函數(shù)f(x)=2^x+1，則f(x)的反函數(shù)f^(-1)(x)的解析式為

2.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，則a_3的值為

3.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則向量a+b的模長(zhǎng)為

4.已知函數(shù)f(x)=cos(2x-π/4)，則f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)解析式為

5.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若a=2，b=√3，c=1，則cosB的值為

6.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)的極大值點(diǎn)為

7.已知直線l：y=kx+b與圓C：x^2+y^2=1相交于A,B兩點(diǎn)，且|AB|=√2，則k^2+b^2的值為

8.已知函數(shù)f(x)=e^x-x，則f(x)在(-∞,+∞)上的圖像大致為

9.已知三棱錐P-ABC的底面△ABC的面積為S，高為h，則三棱錐P-ABC的體積V為

10.已知集合A={x|x^2-3x+2>0},B={x|ax>1},若A∩B=?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

三、多選題

1.下列函數(shù)中，在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增的有

A.y=2^x

B.y=-x^2+1

C.y=log_3(x+1)

D.y=tan(x+π/4)

2.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，d=2，則下列說(shuō)法正確的有

A.S_10=100

B.a_5=9

C.S_n=n^2

D.d=2

3.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則下列說(shuō)法正確的有

A.f(x)的最小正周期是π

B.f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

C.f(x)的最大值為1

D.f(x)的圖像可以由y=sin(2x)的圖像向左平移π/3得到

4.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若a=3，b=4，c=5，則下列說(shuō)法正確的有

A.△ABC是直角三角形

B.cosB=4/5

C.sinA=3/5

D.tanC=4/3

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則下列說(shuō)法正確的有

A.f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2

B.f(x)的極大值點(diǎn)為1

C.f(x)的極小值點(diǎn)為2

D.f(x)的最大值為2

四、判斷題

1.函數(shù)f(x)=|x-1|在區(qū)間[0,2]上是單調(diào)遞減的。

2.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)滿足z^2是實(shí)數(shù)，則b必須為0。

3.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，q=-2，則a_5=-32。

4.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)，則f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

5.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，則角A一定是直角。

6.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)在x=1處取得極大值。

7.若直線l：y=kx+b與圓C：x^2+y^2=1相切，則k^2+b^2=2。

8.已知函數(shù)f(x)=e^x-x，則f(x)在(-∞,+∞)上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)。

9.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，S_n=10，則n=5。

10.已知集合A={x|x^2-4x+3>0},B={x|x<1},若A∪B=R，則此條件不可能成立。

五、問(wèn)答題

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx，且f(x)在x=1和x=2處取得極值，求a和b的值。

2.已知三棱錐P-ABC的底面△ABC的面積為S，高為h，側(cè)面PAB的面積為S_1，側(cè)面PAC的面積為S_2，側(cè)面PBC的面積為S_3，求三棱錐P-ABC的體積V。

3.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。

試卷答案

一、選擇題

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，需要a>1。因?yàn)閤^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,+∞)上單調(diào)遞增，且其值域?yàn)?2,+∞)。對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_a(x)在a>1時(shí)單調(diào)遞增，所以a>1。又因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)的定義域要求x^2-2x+3>0，此不等式恒成立，所以a的取值范圍是(3,+∞)。

2.C

解析：集合A={x|x^2-3x+2>0}=(-∞,1)∪(2,+∞)。要使A∩B=?，則對(duì)于任意x∈A，都有ax≤1。當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，要使ax≤1恒成立，需a≥0；當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，要使ax≤1恒成立，需a≤1/2。又因?yàn)閍=0時(shí)B=?，滿足條件。所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,1]。

3.B

解析：由z^2+az+b=0得(1+i)^2+a(1+i)+b=0，即1+2i-1+a+ai+b=0，即2i+(a+b)+ai=0。根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，實(shí)部和虛部分別為0，得a+b=0，a=-2。所以a+b=0+(-2)=-2。但選項(xiàng)中無(wú)-2，檢查發(fā)現(xiàn)題目條件a,b∈R，1+i不可能是實(shí)數(shù)系數(shù)方程的根，故原題可能存在錯(cuò)誤，若按標(biāo)準(zhǔn)復(fù)數(shù)題，應(yīng)無(wú)實(shí)數(shù)a,b滿足，但按選項(xiàng)最接近應(yīng)為1。

4.B

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a_1=1，a_3=7，所以a_2=(a_1+a_3)/2=4。S_6=(a_1+a_6)×6/2=(1+a_6)×3。又因?yàn)閍_6=a_3+3d=7+3×(7-1)/2=7+9=16。所以S_6=(1+16)×3=51。但選項(xiàng)中無(wú)51，檢查發(fā)現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，a_6=a_3+2d=7+2×(7-1)/2=7+6=13。所以S_6=(1+13)×3=42。

5.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

6.B

解析：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，滿足a^2+b^2=c^2，所以△ABC是直角三角形，直角在C處。角B是銳角，且sinB=b/c=4/5。所以角B的大小是arctan(4/3)。

7.C

解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得x^2-2x=0，即x(x-2)=0，解得x=0或x=2。f'(x)在x=0左側(cè)為正，在(0,2)內(nèi)為負(fù)，在2右側(cè)為正。所以x=0處為極大值點(diǎn)，x=2處為極小值點(diǎn)。極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2。

8.B

解析：圓C：x^2+y^2=1的半徑r=1。直線l：y=kx+b與圓相交于A,B兩點(diǎn)，且|AB|=√2。弦長(zhǎng)公式|AB|=2√(r^2-d^2)，其中d是圓心到直線的距離。d=|b|/√(1+k^2)。所以√2=2√(1-b^2/(1+k^2))，兩邊平方得2=4(1-b^2/(1+k^2))，即1/2=1-b^2/(1+k^2)，解得b^2/(1+k^2)=1/2。所以(1+k^2)=2b^2。則k^2+b^2=2b^2-b^2=b^2。又因?yàn)閐^2=r^2-(√2/2)^2=1-1/2=1/2，所以b^2/(1+k^2)=1/2，即b^2=1/2(1+k^2)=1/2+1/2k^2。所以k^2+b^2=k^2+1/2+1/2k^2=3/2k^2+1/2。此結(jié)果與選項(xiàng)不符，檢查發(fā)現(xiàn)弦長(zhǎng)公式使用錯(cuò)誤，應(yīng)為|AB|=2√(r^2-d^2)=√2，則√2=2√(1-(b^2)/(1+k^2))，化簡(jiǎn)得2=4(1-b^2/(1+k^2))，即1=2(1-b^2/(1+k^2))，所以2b^2=1+k^2，k^2+b^2=1+k^2。又因?yàn)橹本€與圓相切時(shí)，d=r=1，所以|b|/√(1+k^2)=1，即b^2=1+k^2。所以k^2+b^2=1+k^2=2。故答案為2。但選項(xiàng)中無(wú)2，檢查發(fā)現(xiàn)題目條件|AB|=√2與相切條件矛盾，相切時(shí)|AB|=0，故原題可能存在錯(cuò)誤，若按標(biāo)準(zhǔn)解析幾何題，應(yīng)使用k^2+b^2=2。

9.A

解析：函數(shù)f(x)=e^x-x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0得e^x=1，解得x=0。f'(x)在x=0左側(cè)為負(fù)，在右側(cè)為正。所以x=0處為極小值點(diǎn)，極小值為f(0)=1-0=1。當(dāng)x→-∞時(shí)，e^x→0，f(x)→0；當(dāng)x→+∞時(shí)，e^x→+∞，f(x)→+∞。圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)，在x=0左側(cè)下降，右側(cè)上升。

10.A

解析：三棱錐P-ABC的體積V=(1/3)×底面積×高=(1/3)×S×h。

二、填空題

1.y=log_2(x-1)+1

解析：函數(shù)f(x)=2^x+1的定義域?yàn)?-∞,+∞)。令y=2^x+1，則2^x=y-1。兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)得x=log_2(y-1)。反函數(shù)為f^(-1)(x)=log_2(x-1)，定義域?yàn)閤>1。所以f^(-1)(x)=log_2(x-1)+1。

2.8

解析：等比數(shù)列{a_n}中，a_4=a_1*q^3。已知a_1=1，a_4=16，所以1*q^3=16，解得q^3=16，即q=2。所以a_3=a_1*q^2=1*2^2=4。

3.√10

解析：向量a+b=(1+3,2+(-4))=(4,-2)。向量a+b的模長(zhǎng)為|a+b|=√(4^2+(-2)^2)=√(16+4)=√20=2√5。

4.y=cos(2x-π/4)

解析：函數(shù)f(x)=cos(2x-π/4)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)是y=cos(-2x-π/4)。利用余弦函數(shù)的性質(zhì)cos(-θ)=cos(θ)，得y=cos(2x+π/4)。

5.1/2

解析：在△ABC中，a=2，b=√3，c=1。由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(2^2+1^2-(√3)^2)/(2×2×1)=(4+1-3)/(4)=2/4=1/2。

6.x=1

解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(1)=6(1)-6=0。f''(2)=6(2)-6=6>0。所以x=1處為極大值點(diǎn)。

7.2

解析：同選擇題第8題解析，根據(jù)條件|AB|=√2，k^2+b^2=2。

8.同選擇題第9題解析，函數(shù)f(x)=e^x-x的圖像大致為A。

9.同選擇題第10題解析，三棱錐P-ABC的體積V=(1/3)×S×h。

10.同選擇題第2題解析，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,1]。

三、多選題

1.A,C

解析：y=2^x在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增。y=-x^2+1在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減。y=log_3(x+1)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增。y=tan(x+π/4)的周期為π，在每個(gè)周期內(nèi)單調(diào)遞增，但在(-∞,+∞)上不是單調(diào)遞增。

2.A,B,D

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a_1=1，d=2。S_n=n/2(a_1+a_n)=n/2(1+1+(n-1)×2)=n/2(2n)=n^2。所以S_n=n^2，n=10時(shí)S_10=100。a_5=a_1+4d=1+4×2=9。d=2。所以說(shuō)法A,B,D正確。

3.A,C,D

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。所以A正確。f(x)=sin(2x+π/3)的圖像不關(guān)于y軸對(duì)稱，所以B錯(cuò)誤。f(x)的最大值為1，所以C正確。將y=sin(2x)的圖像向左平移π/3個(gè)單位得到y(tǒng)=sin(2(x+π/3))=sin(2x+2π/3)，不是sin(2x+π/3)，所以D錯(cuò)誤。

4.A,B,C,D

解析：a^2+b^2=c^2=9+16=25。所以a^2+b^2=c^2，△ABC是直角三角形，直角在C處。cosB=a/c=3/5。sinA=b/c=4/5。tanC=a/b=3/4。所以說(shuō)法A,B,C,D都正確。

5.A,B,C

解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(1)=0。f''(2)=6>0。所以x=1處為極小值點(diǎn)，x=2處為極大值點(diǎn)。極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2。f(1)=1-3+2=0。f(2)=8-12+2=-2。極大值點(diǎn)為2。f(x)的極小值點(diǎn)為1。所以說(shuō)法A,B,C正確。

四、判斷題

1.正確

解析：函數(shù)f(x)=|x-1|在x=1處不可導(dǎo)，但在(0,1)上f(x)=1-x單調(diào)遞減，在(1,2)上f(x)=x-1單調(diào)遞增。所以函數(shù)在[0,2]上不是單調(diào)遞減的。此題判斷錯(cuò)誤。

2.正確

解析：復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的平方為z^2=(a+bi)^2=a^2+2abi+(bi)^2=a^2-b^2+2abi。若z^2是實(shí)數(shù)，則虛部必須為0，即2ab=0。因?yàn)閍,b∈R，所以ab=0。這意味著a=0或b=0。若a=0，則z=bi，z^2=-b^2，是實(shí)數(shù)。若b=0，則z=a，z^2=a^2，是實(shí)數(shù)。所以b必須為0。

3.正確

解析：等比數(shù)列{a_n}中，a_1=1，q=-2。a_5=a_1*q^4=1*(-2)^4=1*16=16。選項(xiàng)中無(wú)16，檢查發(fā)現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，應(yīng)為a_5=a_1*q^4=1*(-2)^4=1*16=16。但選項(xiàng)中無(wú)16，題目可能存在錯(cuò)誤。

4.錯(cuò)誤

解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。f(-x)=sin(-x+π/6)=-sin(x-π/6)≠sin(x+π/6)=f(x)，且-f(-x)≠f(x)。所以f(x)不是奇函數(shù)，圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

5.正確

解析：在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，根據(jù)勾股定理的逆定理，則△ABC是直角三角形，直角在C處。

6.正確

解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(1)=6(1)-6=0。f''(2)=6(2)-6=6>0。所以x=1處為極大值點(diǎn)。

7.正確

解析：若直線l：y=kx+b與圓C：x^2+y^2=1相切，則圓心(0,0)到直線l的距離d等于半徑r=1。即|b|/√(1+k^2)=1。兩邊平方得b^2=1+k^2。所以k^2+b^2=1+k^2+b^2=2。

8.正確

解析：函數(shù)f(x)=e^x-x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=e^x-1。當(dāng)x<0時(shí)，e^x>0，f'(x)=e^x-1<0；當(dāng)x>0時(shí)，e^x>1，f'(x)=e^x-1>0。所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。f(0)=1-0=1。函數(shù)在x=0處取得極小值，且為最大值。圖像在x=0左側(cè)下降，右側(cè)上升，且在x=0處與y軸相交于(0,1)。所以f(x)在(-∞,+∞)上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即方程e^x-x=0有唯一解。

9.正確

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a_1=1，S_n=10。S_n=n/2(a_1+a_n)。因?yàn)镾_n=10，所以10=n/2(1+a_n)。又因?yàn)閧a_n}是等差數(shù)列，a_n=a_1+(n-1)d。因?yàn)閍_1=1，所以a_n=1+(n-1)d。代入S_n得10=n/2(1+1+(n-1)d)=n/2(2+(n-1)d)。所以20=n(2+(n-1)d)。因?yàn)閚為正整數(shù)，且S_n=10，所以n=5是唯一可能。當(dāng)n=5時(shí)，10=5/2(1+a_5)，即1+a_5=4，a_5=3。所以n=5。

10.錯(cuò)誤

解析：集合A={x|x^2-4x+3>0}={x|(x-1)(x-3)>0}=(-∞,1)∪(3,+∞)。集合B={x|x<1}=(-∞,1)。A∪B=(-∞,1)∪(3,+∞)=(-∞,1)∪(3,+∞)。若A∪B=R，則必須包含區(qū)間(1,3)。但(-∞,1)∪(3,+∞)不包含(1,3)。所以此條件不可能成立。

五、問(wèn)答題

1.解：由題意知f(x)在x=1和x=2處取得極值，所以f'(x)在x=1和x=2處為0。f'(x)=3x^2-2ax+b。令f'(1)=0得3(1)^2-2a(1)+b=0，即3-2a+b=0。令f'(2)=0得3(2)^2-2a(2)+b=0，即12-4a+b=0。解方程組：

{

3-2a