試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁松江區(qū)2025學年度第一學期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷初三數(shù)學一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上．】1．在中，，、、分別是、、的對邊，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．已知與相似，，那么的度數(shù)可能是（

）A． B． C． D．3．已知二次函數(shù)的圖象上有兩點、，那么、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定4．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．5．已知四邊形的對角線交于點，如果，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．6．已知命題：①腰和腰上的高對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似②底邊和腰上的高對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似下列對這兩個命題的判斷，正確的是（

）A．①和②都是真命題 B．①和②都是假命題C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是真命題二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．已知線段，如果線段c是a、b的比例中項，那么c＝．8．如果向量、和滿足，那么．9．已知拋物線經(jīng)過第二象限，那么這條拋物線的開口方向是．10．將拋物線先向右平移3個單位，再向下平移1個單位，所得拋物線的表達式是．11．如圖，已知，點、分別在邊、的延長線上，，，，，那么．12．如圖，點是的重心，經(jīng)過點，且，那么與面積的比值是．13．如圖，某同學想利用一根標桿測量旗桿的高度，已知標桿高度米，標桿與旗桿的水平距離米，人的眼睛與地面的距離米，當、、三點共線時，人與標桿的水平距離米，那么旗桿的高度是米．14．如圖，已知，與交于點，，，，那么的長是．15．如圖，左側(cè)是一把撐開的雨傘，右側(cè)是其直截面示意圖，傘面的輪廓可以看作是一條拋物線，在圖示的坐標系中，其表達式為，點、在拋物線上，且關(guān)于軸對稱，若頂點到的距離是1.08分米，那么、兩點之間的距離是分米．

16．已知一副三角板中，含三角板的斜邊（）與含三角板的長直角邊（）相等．如圖，將一副三角板拼在一起，點、、在一條直線上，那么的值是．17．如圖，由6個全等的菱形組成的網(wǎng)格中，每個小菱形的邊長均為1，，點、、都在格點上，那么的值是．18．已知中，，點、分別在邊、上，如果與相似，且是等腰三角形，那么的值是．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．的三邊分別是、、，且，(1)如果的周長為60，求的值；(2)如果的面積為60，求的值．20．在畫二次函數(shù)的圖象時，列表如下：0100(1)直接寫出、、、的值：________________；________________；________________；________________；(2)在所給的平面直角坐標系中，畫出這個二次函數(shù)的大致圖象，并描述圖象的變化趨勢21．如圖，在中，，，，點在邊上，且．(1)求的長；(2)求的余弦值．22．如圖，是在小區(qū)入口處安裝的攝像頭，是攝像頭的監(jiān)控區(qū)域．為水平地面，點、在直線上．已知攝像頭離地面的高度米，，．(1)求的長．(2)一輛高2米、長4.4米的廂式貨車（圖中的矩形），以每小時5.4千米的速度進入小區(qū)，那么從車頭（）進入監(jiān)控區(qū)域到車尾（）駛出監(jiān)控區(qū)域需要幾秒？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，．）23．如圖，在梯形中，，，是邊上一點，與交于點，如果平分，且．(1)求證：；(2)求證：．24．在平面直角坐標系中，一條拋物線與軸交于點、點，與軸正半軸交于點，頂點為點，且．(1)求該拋物線的表達式和點的坐標；(2)是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，且．①求點的坐標；②將該拋物線向右平移，點移到點，新拋物線的頂點為，如果新拋物線上存在點，使得四邊形是平行四邊形，求平移的距離．25．在中，是邊上一點，將沿直線翻折，點落在上的點處，的延長線交射線于點．(1)如圖1，當四邊形是矩形時，如果，，求四邊形的面積；(2)如圖2，如果，，四邊形的面積是，求的正弦值；(3)如果且，求的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，直角三角形中，一個銳角的正弦值等于這個銳角所對的直角邊的長與斜邊長的比值，余弦值等于另一直角邊（不是該銳角的對邊）的長與斜邊長的比值，正切值等于這個銳角所對的直角邊的長與另一直角邊的長的比值，余切值等于另一直角邊（不是該銳角的對邊）的長與該銳角所對的直角邊的長的比值，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵在中，，、、分別是、、的對邊，∴，，，，故選：B．2．C【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)．利用相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)角相等，但對應(yīng)頂點不確定，需討論對應(yīng)或的情況，從而求出的可能值．【詳解】解：∵與相似，∴對應(yīng)角相等．∵，∴，故不對應(yīng)．情況1∶若對應(yīng)，則，∴；情況2∶若對應(yīng)，則；∴可能為或．只有C符合．故選：C．3．B【分析】本題考查了二次函數(shù)的大小比較．通過直接計算兩點對應(yīng)的函數(shù)值，比較大小即可．【詳解】解：對于點，，對于點，，又∵，∴，即．故選：B．4．C【分析】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子符號，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵；根據(jù)圖象特點可得到，，，，即可判斷選項A；根據(jù)對稱軸不是直線，可得，即可判斷選項B；根據(jù)圖象可知，當時，，即可判斷選項C；根據(jù)圖象可知，當時，，即可判斷選項D．【詳解】解：由二次函數(shù)圖象可知，函數(shù)圖象開口向上，即，∵對稱軸在軸的右側(cè)，∴，∵圖象與軸的交點在軸的負半軸，∴，∴，可判斷選項A錯誤；∵當對稱軸時，可得，而由圖象分析可知，二次函數(shù)的對稱軸不是直線，∴，故選項B錯誤；由圖象可知當時，，故選項C正確；由圖象可知當時，，故選項D錯誤；故選：C．5．A【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，向量的相關(guān)知識，若兩個非零向量滿足（其中k是實數(shù)，且），那么，且，則，證明得到，據(jù)此可判斷A、B；可證明與不平行，與不平行，據(jù)此可判斷C、D．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，，故A正確，B不正確，∵四邊形的對角線交于點，∴與不平行，∴，故C不正確；∵，∴四邊形不是平行四邊形，∴與不平行，∴，故D不正確；故選：A。6．D【分析】本題主要考查了判斷命題真假，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，如圖1所示，等腰三角形一腰上的高都為，且兩個三角形的腰長相等，而此時兩個三角形不相似，據(jù)此可判斷①；如圖2所示，可證明，得到，進而可證明；同理可證明當兩個三角形為鈍角三角形，也相似，據(jù)此可判斷②．【詳解】解：如圖1所示，在中，點D和點E都是上的點，且，∴都是等腰三角形，此時滿足，但是和不相似，∴命題①是假命題；當兩個三角形都為銳角三角形時，如圖2所示，中，，中，，∵，且，∴，∴，又∵，∴；同理可證明當兩個三角形為鈍角三角形，也相似，綜上所述，命題②是真命題；故選：D．7．2【分析】本題考查了成比例線段，熟練掌握成比例線段是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例中項的定義，線段是和的比例中項時，滿足，代入已知數(shù)值計算即可．【詳解】解：∵線段是、的比例中項，∴．∵，，∴，∴（負值舍去）．故答案為．8．##【分析】本題考查向量的運算．利用等式性質(zhì)解向量方程即可．【詳解】解：由，得，移項，得，所以．故答案為：．9．向上【分析】本題考查了拋物線的性質(zhì)，平面直角坐標系中點的坐標特征．拋物線經(jīng)過第二象限，說明存在點滿足，，代入拋物線得，故開口向上．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過第二象限，∴存在點在第二象限，即，，代入拋物線，得，∵，∴，∴拋物線的開口方向向上．故答案為：向上．10．【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律．根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律，左右平移改變x，上下平移改變y．【詳解】解：將拋物線向右平移3個單位，得；再向下平移1個單位，得．故答案為：．11．2【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，證明，列出比例式進行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，即，∴；故答案為：2．12．【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，重心的性質(zhì)，連接并延長交于點，根據(jù)平行線分線段成比例，結(jié)合重心的性質(zhì)，得到，進而得到，證明，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接并延長交于點，∵點是的重心，∴，∵經(jīng)過點，且，∴，∴，∵，∴，∴與面積的比值為；故答案為：．13．10.7【分析】本題考查相似三角形的實際應(yīng)用，證明，列出比例式，求出的長，再根據(jù)進行求解即可．【詳解】解：作交于點，由題意可知：四邊形均為矩形，∴，，，，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∴，即旗桿的高度是10.7米；故答案為：10.7．14．18【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，先證明，求出，進而得到，證明，列出比例式進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴；故答案為：18．15．6【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)頂點到的距離是1.08分米，進而求出點的縱坐標為，代入函數(shù)解析式進行求解即可．【詳解】解：∵，∴當時，，∴，∵頂點到的距離是1.08分米，∴點的縱坐標為，當時，，∴、兩點之間的距離是（分米）；故答案為：6．16．【分析】本題考查解直角三角形，設(shè)，分別解，求出的長，進而求出的長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由題意，，設(shè)，在中，，∴；在中，，，∴，∴，∴；故答案為：．17．【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，網(wǎng)格中求三角函數(shù)值，連接，交于點，易得，均為等邊三角形，求出的長，再利用正切的定義，進行計算即可．【詳解】解：連接，交于點，∵菱形，∴，，，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，同理：為等邊三角形，，，∴，，∴；故答案為：．18．或【分析】根據(jù)題意可得只存在和這兩種情況，當時，可證明，一定是鈍角，故，導角可得，再解直角三角形即可；當時，同理可得，利用勾股定理即可得到答案．【詳解】解：∵與相似，且，∴只存在和這兩種情況，如圖所示，當時，則，∴，∴，∴此時只能是，∴；∵是銳角，∴一定是鈍角，∵是等腰三角形，∴，∴，∴，∴，∴，如圖所示，過點P作于點H，則，∴，∴；如圖所示，當時，則，∵是等腰三角形，∴，∴，∴；綜上所述，的值為或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，等邊對等角，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．19．(1)(2)【分析】本題考查比例的性質(zhì)和勾股定理逆定理．（1）設(shè)，則，利用周長公式列方程求解即可；（2）設(shè)，則，通過勾股定理逆定理判斷直角三角形，再利用面積公式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)，則，∵的周長為60，∴，解得：，∴；（2）解：設(shè)，則，∵，，∴，即是直角三角形，，∵的面積為60，∴，即，解得：（負值舍去），∴．20．(1)(2)圖見解析，在直線的左側(cè)圖象下降，在直線的右側(cè)圖象上升【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握五點作圖法是解題的關(guān)鍵：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，進而求出的值即可；（2）描點，連線畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象描述增減性即可．【詳解】（1）解：由表格可知，函數(shù)圖象與軸的兩個交點坐標為和，∴二次函數(shù)的解析式為，∴，當時，；當時，；（2）解：描點，連線，畫出函數(shù)圖象如下：由圖象可知：在直線的左側(cè)圖象下降，在直線的右側(cè)圖象上升．21．(1)(2)【分析】本題考查解直角三角形，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵：（1）過點作于點，分別解和，進行求解即可．（2）作于點，勾股定理求出的長，進而求出的長，等積法求出的長，勾股定理求出的長，再利用余弦的定義進行求解即可．【詳解】（1）解：過點作于點，在中，，，∴，在中，，∴，；∴；（2）解：如（1）圖，作于點，由（1）知：，在中，，∴，∵，∴，即，∴，在中，，∴，∴．22．(1)15.6米(2)9秒【分析】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵：（1）分別解，求出的長，進而求出的長即可；（2）分別解，求出的長，進而求出貨車行駛的路程，利用時間等于路程除以速度進行求解即可．【詳解】（1）解：在中，，，∴；在中，，，∴；∴（米）；（2）解：由題意，，，在中，；在中，，∴廂式貨車在監(jiān)控范圍內(nèi)行駛的路程為（米）；，∴（秒）；答：從車頭（）進入監(jiān)控區(qū)域到車尾（）駛出監(jiān)控區(qū)域需要9秒．23．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等角對等邊，熟練掌握相似三角形的判定方法，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同角的余角相等，求出，進而推出，證明，即可得證；（2）證明，得到，等角的余角相等結(jié)合對頂角相等，得到，進而得到，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）證明：由（1）知：，，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．24．(1)，(2)①②或個單位長度【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解是解題的關(guān)鍵：（1）求出點坐標，設(shè)出交點式，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，進而求出頂點坐標即可；（2）①根據(jù)，，得到，進而得到，設(shè)直線與軸交于點，則：，求出點坐標，進而求出直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，求出點坐標即可；②設(shè)拋物線向右平移個單位，得到新的拋物線，進而得到，，設(shè)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合中點坐標公式求出點坐標，代入新的函數(shù)解析式，進行求解即可．【詳解】（1）解：∵一條拋物線與軸交于點、點，∴設(shè)拋物線的解析式為，∵，，∴，∵拋物線與軸正半軸交于點，∴，把代入，得，解得，∴，∴拋物線的對稱軸為直線，∴當時，，∴；（2）解：①∵，，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)直線與軸交于點，則：，∴，∵點在第一象限，∴，設(shè)直線的解析式為，把代入，得，解得，∴，聯(lián)立，解得或，∴；②設(shè)拋物線向右平移個單位，得到新的拋物線，∵，∴平移后的拋物線的解析式為，∴平移后的拋物線的頂點坐標為，由①知：，∴，設(shè)，∵四邊形為平行四邊形，∴為對角線，∴，∴，∴，把代入，得，解得或；即平移的距離為或個單位長度．25．(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理得到，證明、，得到、，根據(jù)可知，設(shè)，則，求出，進而求出，，根據(jù)矩形的面積公式計算即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，進而得到，，根據(jù)等角對等邊得到，則，證明，得到，求出，則，連接，設(shè)的面積是，根據(jù)“三角形高相等，面積比等于底的比”得到的面積是，的面積是，根據(jù)四邊形的面積是得到的面積是，列方程求出，則的面積是，作交延長線于G，根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)正弦的定義得到，即；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，，，根據(jù)平行四