試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年長沙市12月拔尖創(chuàng)新人才選拔考試數(shù)學(xué)時(shí)量：180分鐘總分：210分第一卷（滿分150分）一、選填題（共8小題，每題10分，滿分80分）1．計(jì)算：．2．自動(dòng)扶梯停止運(yùn)行時(shí)，一個(gè)小孩要用90秒鐘才能走完60米長的自動(dòng)扶梯．自動(dòng)扶梯運(yùn)行時(shí)則可用60秒鐘將乘客從底端送到頂端．若小孩在運(yùn)行的自動(dòng)扶梯上行走，問小孩從扶梯底端到達(dá)頂端需要秒．3．兩個(gè)騎車人在不同的賽道上訓(xùn)練．騎車人用圓形賽道，其直徑是1千米；騎車人用直線賽道，其長度為5千米．騎車人用10分鐘完成3圈，而騎車人用5分鐘行進(jìn)了2個(gè)來回．那么騎車人與騎車人的速度比是（

）A． B． C． D．4．山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同財(cái)產(chǎn)．猴老大來到山洞后將桃子按的比例分成兩部分，并取走較多的一部分；猴老二來到后，將剩下的桃子又按的比例分成兩部分，并取走較多的一部分；剩余的桃子歸猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29個(gè)桃子，則猴老二拿了個(gè)桃子．5．如圖排列的前五個(gè)三角形都是直角三角形，則構(gòu)成這100個(gè)三角形的所有線段中有條線段長度為整數(shù)．6．從1、2、3、…、7中選擇若干個(gè)數(shù)，使得其中偶數(shù)之和等于奇數(shù)之和．則符合條件的取法有（

）．A．6種 B．7種 C．8種 D．9種7．若一個(gè)四位數(shù)是一個(gè)數(shù)的平方，則．8．從小明家到游泳池的路上有200棵樹．在往返的路途中，小明用紅絲帶系在一些樹上做標(biāo)記，去游泳池的時(shí)候，他在第1棵樹、第6棵樹、第11棵樹、…上做了標(biāo)記，每次都隔4棵樹標(biāo)記一棵；返回時(shí)，他在遇到的第1棵樹、第9棵樹、第17棵樹、…上做了標(biāo)記，每次都隔7棵樹標(biāo)記一棵．則他回到家時(shí)，沒有被標(biāo)記的樹共有棵．二、幾何題（共4小題，每題10分，滿分40分）9．如圖，沿正方體的兩個(gè)平面和切割，將此正方體切成4塊．請(qǐng)問含有頂點(diǎn)的那一塊占正方體體積的幾分之幾？10．如圖，是一個(gè)長方形，從、、引出的小橫線都平行于．若，則等于多少？11．影院正在放映《玩具總動(dòng)員》《冰河世紀(jì)》《怪物史萊克》《齊天大圣》四部動(dòng)漫電影，票價(jià)分別為50元、55元、60元、65元．來影院的觀眾至少看一場(chǎng)，每位觀眾購買一或兩張電影票．因時(shí)間關(guān)系《冰河世紀(jì)》與《怪物史萊克》不能都觀看，若今天必有200人看電影所花的錢一樣多，則影院今天至少接待觀眾多少人？12．現(xiàn)有四種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多)，要在三棱柱各頂點(diǎn)上裝一個(gè)燈泡，要求同一條棱兩端點(diǎn)的燈泡顏色不相同，且每種顏色的燈泡都至少有一個(gè)，安裝方法共有多少種？三、解答題（共2小題，每題15分，總分30分．要求寫出詳細(xì)過程）13．將從1到30的自然數(shù)分成兩組，使得第一組中所有數(shù)的乘積A能被第二組中所有數(shù)的乘積B整除．則的最小值是多少？14．如圖，在邊長大于的正方形中，有一個(gè)最大的圓，若圓周上一點(diǎn)到的距離為，到的距離為．則圓的半徑是多少厘米？附加卷（滿分60分）四、填空題（每題10分，共30分）15．老師讓小航在試卷上寫出某個(gè)自然數(shù)的所有因數(shù)，然后分別計(jì)算這些因數(shù)的個(gè)數(shù)與總和．小航的計(jì)算結(jié)果是“共有10個(gè)因數(shù)，總和是100．”老師批改時(shí)發(fā)現(xiàn)，小航將其中一個(gè)因數(shù)多寫了一遍，導(dǎo)致兩個(gè)答案都錯(cuò)誤了．那么小航多寫的因數(shù)是．16．將三位數(shù)與不改變各自數(shù)字的前后順序組合到一起，可以得到很多六位數(shù)，例如：，，，都符合條件，但就不符合條件，容易知道符合條件的六位數(shù)有個(gè)．那么，如果將四位數(shù)與類似的組合到一起，一共能得到個(gè)不同的八位數(shù)17．如圖，、、分別為三角形中、邊上的點(diǎn)，且，，，三角形的面積為，三角形的面積為．那么，三角形的面積為___________．五、解答題（每題15分，共30分）18．甲、乙、丙容器中分別有濃度為和的鹽水溶液．從乙容器中取出m克鹽水倒入甲容器，再給乙容器加入一些清水，當(dāng)甲、乙容器鹽水重量相同時(shí)，乙容器的濃度恰好是甲容器的2倍；再從丙容器中取m克鹽水按的比例倒入甲、乙兩個(gè)容器，然后再向乙、丙容器中加入清水，使三個(gè)容器中鹽水的重量相等，這時(shí)三個(gè)容器中鹽水濃度恰好也相同．若最初乙容器中的鹽水重量比甲容器多60克，那么，原來丙容器的鹽水重量是多少克？19．四年一屆的瘋狂動(dòng)物城市長大選進(jìn)入到最后的計(jì)票階段．樹獺“閃電”擔(dān)任計(jì)票員，他每清點(diǎn)一張選票，就會(huì)立即在大屏幕上更新兩位候選人最新的得票數(shù)和已經(jīng)開出的總票數(shù)，并以最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的形式表示出兩位候選人的實(shí)時(shí)得票率（實(shí)時(shí)得票率得票數(shù)已經(jīng)開出的總票數(shù)）．兔子警官“朱迪”將候選人獅子在屏幕上出現(xiàn)過的每個(gè)實(shí)時(shí)得票率都記錄在了自己的筆記本上，他發(fā)現(xiàn)，雖然第一張選票沒有投給獅子，但最終獅子獲得了超過的選票(1)請(qǐng)說明：一定出現(xiàn)在所有“朱迪”的記事本里．(2)一共有多少個(gè)大于的分?jǐn)?shù)一定出現(xiàn)在所有“朱迪”的記事本里？答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．2013【分析】本題主要考查了利用平方差公式進(jìn)行因式分解的計(jì)算，熟練掌握利用平方差公式進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．利用平方差公式因式分解分子和分母中的表達(dá)式，然后約分計(jì)算．【詳解】解：原式．故答案為：2013．2．36【分析】本題主要考查了行程問題中速度、路程與時(shí)間的關(guān)系，熟練掌握速度=路程÷時(shí)間是解題的關(guān)鍵．根據(jù)路程、速度、時(shí)間的關(guān)系，先表示出小孩行走速度和扶梯運(yùn)行速度，再利用合速度公式求出小孩在運(yùn)行扶梯上的總速度，最后用路程除以總速度得到所需時(shí)間，全程列綜合式計(jì)算．【詳解】解：，∴小孩從扶梯底端到達(dá)頂端需要秒，故答案為：．3．D【分析】本題主要考查了行程問題中速度、時(shí)間和路程的關(guān)系；的速度基于圓形賽道周長和完成圈數(shù)，的速度基于直線賽道長度和來回次數(shù)，計(jì)算騎車人和的速度，然后求速度比即可．【詳解】解：∵騎車人的賽道直徑，∴周長，在10分鐘內(nèi)完成3圈，∴總距離，∴速度；∵騎車人的賽道長度，一個(gè)來回距離為，∴2個(gè)來回距離，用5分鐘，∴速度；∴速度比，即，故選：D．4．20【分析】本題考查了比的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，設(shè)出未知數(shù)，找到等量關(guān)系．設(shè)桃子總數(shù)為T，猴老大取走，剩余；猴老二取走剩余桃子的，即；猴老三得到，根據(jù)猴老大比猴老三多29個(gè)桃子，列方程求解T，再計(jì)算猴老二所拿桃子數(shù)．【詳解】解：設(shè)桃子總數(shù)為T，則猴老大取走，剩余；則猴老二取走較多部分，猴老三得到；由題意得，，，，解得，所以猴老二取走個(gè)桃子，故答案為20．5．110【分析】本題主要考查了勾股定理計(jì)算直角三角形的邊長和算術(shù)平方根的計(jì)算，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵；首先觀察圖形可知，邊長為1的線段有（條），再根據(jù)勾股定理求出每個(gè)直角三角形的斜邊長，找出開方后為整數(shù)的邊的個(gè)數(shù)，最后加上101即可求解．【詳解】解：觀察圖形可知，邊長為1的線段有（條），根據(jù)勾股定理分別求出每個(gè)三角形斜邊的長為：，，，，，；根據(jù)，，，；可知三角形斜邊的長中有9個(gè)開方后為整數(shù)，即三角形斜邊的長中有9條邊的長度為整數(shù)，則（條），∴構(gòu)成這100個(gè)三角形的所有線段中有110條線段長度為整數(shù)，故答案為：110．6．B【分析】本題主要考查了有理數(shù)加法運(yùn)算，通過枚舉所有可能組合，使得所選數(shù)字中偶數(shù)之和等于奇數(shù)之和，共得到7種符合條件的取法．【詳解】解：從1、2、3、…、7中選擇若干個(gè)數(shù)，其中奇數(shù)為1、3、5、7，偶數(shù)為2、4、6，滿足偶數(shù)之和等于奇數(shù)之和的組合有：，，，，，，．綜上，共有7種．故選：B．7．9【分析】本題考查了完全平方數(shù)，正確求出這個(gè)數(shù)的取值范圍是解題關(guān)鍵．設(shè)四位數(shù)是的平方，其中為正整數(shù)，先求出，再分別求出，，，，時(shí)，其平方數(shù)，由此即可得．【詳解】解：由題意，設(shè)四位數(shù)是的平方，其中為正整數(shù)，∵四位數(shù)在5004與5994之間，個(gè)位數(shù)字為4，且，，，，∴，當(dāng)時(shí)，，符合題意，此時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，，個(gè)位數(shù)字為9，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，個(gè)位數(shù)字為6，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，個(gè)位數(shù)字為5，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，個(gè)位數(shù)字為6，不符合題意；綜上，，故答案為：9．8．140【分析】本題考查找規(guī)律，分別計(jì)算去時(shí)和返回時(shí)標(biāo)記的樹的數(shù)量，再求重復(fù)標(biāo)記的樹的數(shù)量，最后用總樹數(shù)減去被標(biāo)記的樹數(shù)，即可解題．【詳解】解：去時(shí)標(biāo)記的樹有：（棵），去時(shí)標(biāo)記的樹反過來為：在倒數(shù)第5棵樹、倒數(shù)第10棵樹、倒數(shù)第15棵樹、…上做了標(biāo)記，每次都隔4棵樹標(biāo)記一棵；返回時(shí)標(biāo)記的樹有：（棵），重復(fù)標(biāo)記的樹為與的公倍數(shù)有：（棵），未被標(biāo)記的樹共（棵）．故答案為：140．9．【分析】本題主要考查了圖形的拆分的應(yīng)用；根據(jù)沿平面切割，此時(shí)含有頂點(diǎn)的那一塊占正方體體積的，再沿平面切割，含有頂點(diǎn)的那一塊占沿面切割后的，即可求解．【詳解】解：如圖1，沿平面切割，此時(shí)含有頂點(diǎn)的那一塊占正方體體積的，如圖2，再沿平面切割，含有頂點(diǎn)的那一塊占沿平面切割后的，∴含有頂點(diǎn)的那一塊占正方體體積的，答：含有頂點(diǎn)的那一塊占正方體體積的．10．．【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．如圖，、、分別交于、、，根據(jù)得出，，，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別求出，，根據(jù)，求出的長即可．【詳解】解：如圖所示：、、分別交于、、，∵是一個(gè)長方形，∴，，∵從、、引出的小橫線都平行于，∴，∵，，∴，，∴，，∴，，，∵，∴，，∴，，∴，，，，∵，∴，∴，即，解得：．11．1792【分析】此題考查了鴿巢原理，首先根據(jù)題意求出只看一場(chǎng)電影的情況和看兩場(chǎng)不同的電影的情況，然后合并所有花費(fèi)金額值共9種，然后利用鴿巢原理得到要保證至少200人花費(fèi)相同，最壞情況下每個(gè)花費(fèi)金額最多有199人，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：觀眾可能的花費(fèi)金額來自以下方式：只看一場(chǎng)電影有4種選擇：花費(fèi)50元、55元、60元、65元，∵看兩場(chǎng)不同的電影，但《冰河世紀(jì)》與《怪物史萊克》不能都觀看，∴有5種組合：《玩具總動(dòng)員》和《冰河世紀(jì)》共元，《玩具總動(dòng)員》和《怪物史萊克》共元，《玩具總動(dòng)員》和《齊天大圣》共元，《冰河世紀(jì)》和《齊天大圣》共元，《怪物史萊克》和《齊天大圣》共元，∴合并所有花費(fèi)金額值：50、55、60、65、105、110、115、120、125，共9種，∴根據(jù)鴿巢原理，要保證至少200人花費(fèi)相同，最壞情況下每個(gè)花費(fèi)金額最多有199人，∴總觀眾數(shù)至少為人．∴影院今天至少接待1792人．12．【分析】根據(jù)題意，分步進(jìn)行，第一步，為、、三點(diǎn)選燈泡的顏色，由排列數(shù)公式可得其情況數(shù)目，第二步，在、、中選一個(gè)裝第種顏色的燈泡，第三步，為剩下的兩個(gè)燈選顏色，分類討論可得其情況數(shù)目，進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，每種顏色的燈泡都至少有一個(gè)，即用了四種顏色的燈進(jìn)行安裝，分步進(jìn)行，第一步，為、、三點(diǎn)選三種顏色燈泡共有種選法；第二步，在、、中選一個(gè)裝第種顏色的燈泡，有種情況；第三步，為剩下的兩個(gè)燈選顏色，假設(shè)剩下的為、，若與同色，則只能選點(diǎn)顏色；若與同色，則有、處兩種顏色可選．故為、選燈泡共有種選法，即剩下的兩個(gè)燈有種情況，則共有種方法．答：安裝方法共有種．故答案為：．13．1077205【分析】本題考查質(zhì)因數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)，若使最小，則質(zhì)因數(shù)要盡量平分，可得．【詳解】解：1到30的自然數(shù)中質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，合數(shù)有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，；一共是26個(gè)2，14個(gè)3，7個(gè)5，4個(gè)7，2個(gè)11，2個(gè)13，1個(gè)17，1個(gè)19，1個(gè)23，1個(gè)29；，若使最小，則17，19，23，29，必為A的因子，偶數(shù)冪的因子均分，奇數(shù)冪的因子余1個(gè)5，則，故答案為1077205．14．圓的半徑是厘米．【分析】本題考查切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)及勾股定理，是解題關(guān)鍵．如圖，設(shè)與圓相切于，連接，過點(diǎn)作于，于，延長線交于，連接，得出四邊形是矩形，，，設(shè)圓半徑為，在中，利用勾股定理，列方程求出的值即可得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)與圓相切于，連接，過點(diǎn)作于，于，延長線交于，連接，∴，四邊形是矩形，∵點(diǎn)到的距離為，到的距離為，∴，，設(shè)圓半徑為，∵邊長大于的正方形中，有一個(gè)最大的圓，∴，∴，，在中，，∴，解得：，（小于，不符合題意，舍去），∴圓的半徑是厘米．15．9【分析】本題考查了因數(shù)、質(zhì)數(shù)，熟練掌握因數(shù)和質(zhì)數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．設(shè)這個(gè)自然數(shù)為，實(shí)際9個(gè)因數(shù)的總和為，則可設(shè)，或，其中為不同的質(zhì)數(shù)，寫出這9個(gè)因數(shù)，再分兩種情況：①當(dāng)是最小的質(zhì)數(shù)組合時(shí)，②當(dāng)不是最小的質(zhì)數(shù)組合時(shí)，代入計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)分析，由此即可得．【詳解】解：設(shè)這個(gè)自然數(shù)為，實(shí)際9個(gè)因數(shù)的總和為，∵這個(gè)自然數(shù)有9個(gè)因數(shù)，∴可設(shè)，或，其中為不同的質(zhì)數(shù)，若，則這9個(gè)因數(shù)分別為，，，，，，，，，即使取最小的質(zhì)數(shù)2，此時(shí)，，不符合題意；∴，∴這9個(gè)因數(shù)分別為，，，，，，，，，①當(dāng)是最小的質(zhì)數(shù)組合，即時(shí)，則，，此時(shí)多寫的因數(shù)是，且9是36的因數(shù)，符合題意；②當(dāng)不是最小的質(zhì)數(shù)組合，如當(dāng)時(shí)，則，不符合題意，同樣的方法可知，當(dāng)其他質(zhì)數(shù)組合時(shí)，均大于100，不符合題意；綜上，小航多寫的因數(shù)是9，故答案為：9．16．【分析】本題主要考查了組數(shù)的問題．根據(jù)題意可得到的八位數(shù)十末位數(shù)字只能是)、、、)，然后依次枚舉即可．【詳解】解：當(dāng)這八位數(shù)的首末位數(shù)字是)，即八位數(shù)為□□□□□□．要么個(gè)數(shù)字在一起，即、、；共有種情況；要么4個(gè)數(shù)字中插入一個(gè)組合為、、；共有種情況；共有（個(gè)），同理：當(dāng)這八位數(shù)的首末位數(shù)字是，即八位數(shù)為□□□□□□，也有個(gè)．所以共有（個(gè)）當(dāng)這八位數(shù)的首末位數(shù)字是時(shí)，即當(dāng)八位數(shù)為□□□□，則只有，種情況；當(dāng)八位數(shù)為…………時(shí)，因?yàn)榈街g有個(gè)，到之間也有個(gè)，則按照和之間有沒有進(jìn)行枚舉，沒有，則有，種情況；和之間有個(gè)，則有、，種情況；和之間有個(gè)，則有、、，種情況；和之間有個(gè)，則有、，種情況；和之間有個(gè)，則有，種情況；即有（個(gè)）同理：當(dāng)這八位數(shù)的首末位數(shù)字是時(shí)，也有個(gè)．所以共有（個(gè)）綜上一共能有（個(gè)）答：如果將四位數(shù)與類似的組合到一起，一共能得到個(gè)不同的八位數(shù)．故答案為：．17．【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定及三角形面積，熟練掌握相似三角形的判定定理及同高的兩個(gè)三角形的面積比等于底邊的比是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作于，延長，交于，過作，交延長線于，∵，，∴，∵，∴，∴，，即，∴，∴，，∵，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴．18．200克【分析】本題考查了溶液的濃度，二元一次方程組的應(yīng)用，比例分配，正確理解溶液的濃度是解題的關(guān)鍵．先設(shè)甲初始重量為x克、乙為克、丙為y克，結(jié)合“乙取m克入甲后，乙濃度是甲的２倍”建立方程，得；再根據(jù)“丙取m克按倒入甲、乙后，三容器重量和濃度均相同（鹽量相等）”，分別表示出甲、乙、丙的最終鹽量，通過甲、乙鹽量相等聯(lián)立方程，求出，最后利用甲、丙鹽量相等求出．【詳解】解：設(shè)甲容器初始重量為克，則乙初始重量