專題15排列組合、概率統(tǒng)計(jì)與實(shí)際應(yīng)用

目錄

第一部分考向速遞洞察考向，感知前沿

第二部分題型歸納梳理題型，突破重難

題型01排列組合

題型02二項(xiàng)式定理

題型03概率初步

題型04統(tǒng)計(jì)估計(jì)

題型05條件概率與相關(guān)公式

題型06隨機(jī)變量的分布與特征

題型07常用分布

題型08成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)分析

題型09一元線性規(guī)劃分析

題型102×2列聯(lián)表

第三部分分層突破固本培優(yōu)，精準(zhǔn)提分

A組·基礎(chǔ)保分練

B組·重難提升練

n

21

1．“n6”是“x的二項(xiàng)展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)”的（）

x

A．充分非必要條件B．必要非充分條件

C．充要條件D．既非充分也非必要條件

1

2.小何同學(xué)喜歡踢足球，已知他踢點(diǎn)球進(jìn)門(mén)的概率是，一次點(diǎn)球訓(xùn)練中，他連續(xù)2次都沒(méi)有踢

3

進(jìn)門(mén)，則他第3次踢進(jìn)門(mén)的概率為（）

122

A．B．C．1D．介于和1之間的某個(gè)實(shí)數(shù)

333

3．在桌面上有一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體D—ABC．從該正四面體與桌面貼合的面上的三條棱中等可能地選

取一條棱，沿其翻轉(zhuǎn)正四面體至正四面體的另一個(gè)面與桌面貼合，如此翻轉(zhuǎn)稱為一次操作．如圖，開(kāi)始時(shí)，

正四面體與桌面貼合的面為ABC，操作n(n1,2,3,)次后，正四面體與桌面貼合的面是ABC的概率記為Pn.

1

現(xiàn)有下列兩個(gè)結(jié)論：①P；②PP.則下列說(shuō)法正確的是（）

232524

A．①正確，②錯(cuò)誤B．①錯(cuò)誤，②正確

C．①、②都正確D．①、②都錯(cuò)誤

4.標(biāo)志重捕法是指的是在一定范圍內(nèi)，對(duì)活動(dòng)能力強(qiáng)、活動(dòng)范圍較大的動(dòng)物種群進(jìn)行粗略估算的

一種生物統(tǒng)計(jì)方法，是根據(jù)自由活動(dòng)的生物在一定區(qū)域內(nèi)被調(diào)查與自然個(gè)體數(shù)的比例關(guān)系對(duì)自然個(gè)體總數(shù)

進(jìn)行數(shù)學(xué)推斷.在被調(diào)查種群的生存環(huán)境中，捕獲一部分個(gè)體，將這些個(gè)體進(jìn)行標(biāo)志后再放回原來(lái)的環(huán)境，

經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后進(jìn)行重捕，根據(jù)重捕中標(biāo)志個(gè)體占總捕獲數(shù)的比例來(lái)估計(jì)該種群的數(shù)量.標(biāo)志重捕法估算種

群密度是基于以下幾種假設(shè)：①標(biāo)記個(gè)體與未標(biāo)記個(gè)體在重捕時(shí)被捕獲的概率相等；②在調(diào)查期內(nèi)標(biāo)記的

個(gè)體沒(méi)有死亡，沒(méi)有遷出，標(biāo)記物沒(méi)有脫落；③標(biāo)記個(gè)體在種群中均勻分布.若應(yīng)用標(biāo)志重捕法調(diào)查魚(yú)的種

群密度，則下列捕魚(yú)過(guò)程會(huì)導(dǎo)致估算結(jié)果與實(shí)際情況誤差較大的是（）.

A．第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)

B．第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)

C．第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用小網(wǎng)眼點(diǎn)漁網(wǎng)捕魚(yú)

D．第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚(yú)

5．某城市交通系統(tǒng)采用數(shù)智技術(shù)記錄城市道路口的信號(hào)燈狀態(tài)，每個(gè)時(shí)段的信號(hào)燈狀態(tài)對(duì)應(yīng)一

個(gè)數(shù)字（見(jiàn)下表）.

非正常綠波協(xié)調(diào)

信號(hào)燈狀態(tài)正常綠波協(xié)調(diào)

道路施工臨時(shí)黃燈突發(fā)事故臨時(shí)紅燈

對(duì)應(yīng)數(shù)字011

現(xiàn)需要按順序記錄某個(gè)道路口5個(gè)時(shí)段的信號(hào)燈狀態(tài)，例如，記號(hào)1,0,1,0,1表示5個(gè)時(shí)段中有3個(gè)時(shí)段

是“非正常綠波協(xié)調(diào)”狀態(tài)，分別發(fā)生在第1、3、5時(shí)段.問(wèn)：該路口5個(gè)時(shí)段所有可能的記錄中，“非正常綠

波協(xié)調(diào)”的時(shí)段數(shù)不少于1個(gè)且不多于3個(gè)的記錄共有種.

6.北斗七星是夜空中的七顆亮星，它們組成的圖形象我國(guó)古代舀酒的斗，故命名為北斗七星.北斗七星不僅

是天上的星象，也是古人判斷季節(jié)的依據(jù)之一.如圖，用點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示某季節(jié)的北斗

七星，其中B，D，E，F(xiàn)看作共線，其他任何三點(diǎn)均不共線.若過(guò)這七個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)作三角形，則所作

的不同三角形的個(gè)數(shù)為.

7.若三個(gè)正整數(shù)a，b，c的位數(shù)之和為8，且組成a，b，c的8個(gè)數(shù)碼能排列為2，0，2，5，0，

6，0，7，則稱（a，b，c）為“幸運(yùn)數(shù)組”，例如（7，6，202500）是一個(gè)幸運(yùn)數(shù)組.則滿足10abc的

幸運(yùn)數(shù)組（a，b，c）的個(gè)數(shù)為.

01排列組合

1．現(xiàn)有5名學(xué)生站成一排，若學(xué)生甲不站兩端，則不同站法共有種（用數(shù)字作答）.

2．上海國(guó)際電影節(jié)影片展映期間，某影院準(zhǔn)備在周日的某放映廳安排放映4部電影，兩部紀(jì)錄片和兩部懸

疑片，當(dāng)天白天有5個(gè)時(shí)段可供放映（5個(gè)連續(xù)的場(chǎng)次），則兩部懸疑片不相鄰（中間隔空?qǐng)鲆步胁幌噜彛?/p>

且當(dāng)天最先放映的一定是懸疑片的排片方法有種（結(jié)果用數(shù)字表示）．

x15x5

3．已知關(guān)于正整數(shù)x的方程C12C12，則該方程的解為.

4．用黑白兩種顏色（都要使用）給正方體的6個(gè)面涂色，每個(gè)面只涂一種顏色。如果一種涂色方案可以

通過(guò)重新擺放正方體，變?yōu)榱硪环N涂色方案，則這兩種方案認(rèn)為是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五

個(gè)面涂白色;b.上面涂黑色，另外五個(gè)面涂白色是同一種方案）則涂色方案一共有種。

5．有3件商品的編號(hào)分別為i(i1,2,3)，它們的售價(jià)（元）Si5,7,8,10,11,20，且滿足S1S2S3，

則這3件商品售價(jià)的所有可能情況有種.

02二項(xiàng)式定理

10

1

6．x的二項(xiàng)展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為．

x

6

7．在x2的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為.

n*

8．已知(13x)nN的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，則展開(kāi)式中x3的系數(shù)為.

10210

9．已知12xa0a1xa2xa10x，則a3．

4

a

10．已知2x的二項(xiàng)展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1，則實(shí)數(shù)a的值為.

3x

03概率初步

11．已知隨機(jī)事件A,B，B表示事件B的對(duì)立事件，P(A)0.4,P(B)0.6，則下面結(jié)論正確的是（）

A．事件A與B一定是對(duì)立事件B．P(AB)1

C．P(AB)0.24D．若事件A，B互相獨(dú)立，則PAB0.16

12．莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、內(nèi)容最豐富的佛教藝術(shù)圣地，每年都會(huì)吸引來(lái)

自世界各地的游客參觀旅游．已知購(gòu)買(mǎi)莫高窟正常參觀套票可以參觀8個(gè)開(kāi)放洞窟，在這8個(gè)洞窟中有3

個(gè)被譽(yù)為最值得參觀的洞窟．現(xiàn)游客需從套票包含的開(kāi)放洞窟中隨機(jī)選擇4個(gè)進(jìn)行參觀，則至少選中2個(gè)

最值得參觀洞窟的概率是．

13．盲盒是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的商品盒面已知某盲盒產(chǎn)品共有3種玩偶，小明購(gòu)買(mǎi)4個(gè)

盲盒，則他能集齊3種玩偶的概率是.（結(jié)果用數(shù)值表示）

14．一項(xiàng)過(guò)關(guān)游戲的規(guī)則規(guī)定：在第n關(guān)要投擲骰子n次，如果這n次投擲所得的點(diǎn)數(shù)之和大于3n，則算

過(guò)關(guān)，問(wèn)一個(gè)人連過(guò)第一、二關(guān)的概率為．

15．設(shè)mR，同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件A表示“第一枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件B表

示“兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為m”，若事件A與事件B相互獨(dú)立，則m的一個(gè)可取值為.

04統(tǒng)計(jì)估計(jì)

16．從放有兩個(gè)紅球、一個(gè)白球的袋子中一次任意取出兩個(gè)球，兩個(gè)紅球分別標(biāo)記為A、B，白球標(biāo)記為C，

則它的一個(gè)樣本空間可以是（）

A．AB,BCB．AB,AC,BC

C．AB,BA,BC,CBD．AB,BA,AC,CA,CB

17．某班一次數(shù)學(xué)小測(cè)驗(yàn)（百分制）后，老師為了獎(jiǎng)勵(lì)同學(xué)們平時(shí)認(rèn)真學(xué)習(xí)，決定給每位同學(xué)的成績(jī)加上5

分作為過(guò)程性評(píng)價(jià)獎(jiǎng)勵(lì).加分后，與原始分?jǐn)?shù)相比，不會(huì)發(fā)生改變的是（）

A．平均數(shù)B．中位數(shù)C．第80百分位數(shù)D．方差

18．現(xiàn)從編號(hào)為01，02，，50的50支水筆中抽取10支水筆進(jìn)行書(shū)寫(xiě)長(zhǎng)度檢測(cè)，若從以下隨機(jī)數(shù)表第9個(gè)數(shù)

字開(kāi)始由左向右讀取，則抽取的第4支水筆的編號(hào)為（以下摘自隨機(jī)數(shù)表第7行）．

398327763991853532591131404692350498221220671263

19．某校數(shù)學(xué)組老師的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該校數(shù)學(xué)組老師年齡的中位數(shù)與極差之和

為．

20．在某市的三次數(shù)學(xué)測(cè)試中，為了解學(xué)生的測(cè)試情況，從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，被抽取成

績(jī)?nèi)拷橛?0分到100分之間（滿分100分），將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成六組：第一組40,50．第二組

50,60，……第六組90,100，畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，

(1)估計(jì)該市學(xué)生這次測(cè)試成績(jī)的第25百分位數(shù)；

(2)估計(jì)該市學(xué)生這次測(cè)試成績(jī)的平均值（回一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

(3)從60,70,70,80兩組中按分層抽樣抽取5名學(xué)生，再隨機(jī)抽取3名同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)試，問(wèn)3名同學(xué)中

恰好只有1名同學(xué)成績(jī)?cè)?0,80之間的概率．

05條件概率與相關(guān)公式

21．已知事件A與B相互獨(dú)立，且0PAPB1，則下列選項(xiàng)不一定成立的是（）

A．PAB1PAPB；B．PABPAPB；

C．PABPAPB；D．PABPBAPAB.

111

22．假設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的一個(gè)部件來(lái)自三個(gè)供應(yīng)商，供貨占比分別是、、，而它們的良品率分別是0.96、

263

0.90、0.93，則該部件的總體良品率是．

123

23．已知隨機(jī)事件A,B滿足PA，PB，PB|A，則PB|A

2510

24．某高中開(kāi)發(fā)了三個(gè)不同的“美育”課程和兩個(gè)不同的“勞動(dòng)教育”課程，甲同學(xué)從五門(mén)課程中任選了兩門(mén)，

已知有一門(mén)是“美育”課程，則另一門(mén)也是“美育”課程的概率為

25．某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100個(gè)為一批．在進(jìn)行抽樣檢查時(shí)，只從每批中抽取10個(gè)來(lái)檢查，如果發(fā)現(xiàn)其中

有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品是不合格的．假定每一批產(chǎn)品中的次品最多不超過(guò)2個(gè)，并且其中恰有i（i0，

1，2）個(gè)次品的概率如下：

一批產(chǎn)品中有次品的個(gè)

012

數(shù)i

概率0.30.50.2

則各批產(chǎn)品通過(guò)檢查的概率為．（精確到0.01）

06隨機(jī)變量的分布與特征

101

．已知隨機(jī)變量的分布是，則其方差D[X]．

26X111

442

01x

2

27．已知隨機(jī)變量X的分布列為：11，若EX，且Y3X2，則DY.

p3

23

28．馬老師從課本上抄錄的一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如表：

x123

P?!?

盡管“！”處完全無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，EX．

29．以下命題中正確的有（填序號(hào)）

①若X是常數(shù)，則DX0；

②若DX0，則X是常數(shù)；

③如果X是隨機(jī)變量，Y3X，那么DY3DX；

④若X,Y分別是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)試驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量，則DXYDXDY．

07常用分布

1

30．設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B9,，則D2X.

3

1

31．已知隨機(jī)變量XN,2，Y:B9,p，且PX4，EXEY，則p．

2

32．已知隨機(jī)變量XN,0.52，且等式PX4aPX2a1對(duì)aR恒成立，

則.PX4.(結(jié)果保留四位小數(shù))(參考數(shù)據(jù):Φ10.8413，Φ20.9772，Φ30.9987

33．已知某次數(shù)學(xué)的測(cè)試成績(jī)X服從75、264的正態(tài)分布，若小明的成績(jī)不低于91分，那么他的成

績(jī)大約超過(guò)了%的學(xué)生（精確到0.1%）．（參考數(shù)據(jù)：

PX68.3%，PX295.4%，PX3997.%）

34．某醫(yī)院派出16名護(hù)士?4名內(nèi)科醫(yī)生組成支援隊(duì)伍，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去A城市支援，

設(shè)X表示其中內(nèi)科醫(yī)生的人數(shù)，則X的期望為.

08成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)分析

35．在下列4組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，樣本相關(guān)系數(shù)最小的是（）

A．r1B．r2C．r3D．r4

36．如題圖所示，有5組x,y數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，去掉組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度可能最高．

37．通過(guò)隨機(jī)抽樣，獲得某種商品消費(fèi)者年需求量與該商品每千克價(jià)格之間的一組數(shù)據(jù)調(diào)查，如下表所示:

價(jià)格（百元）x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10

444.655.25.666.6710

需求量（千克）y1y2y3y4y5y6y7y8y9y10

3.532.72.42.521.51.21.21

n

xixyiy

i1

那么線性相關(guān)系數(shù)r．（精確到0.001）線性相關(guān)系數(shù)公式r

n2n2

xixyiy

i1i1

09一元線性規(guī)劃分析

38．某公司為了解用電量y（單位：千瓦時(shí)）與氣溫x（單位：攝氏度）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4天的用

電量與當(dāng)天氣溫，繪制了如右表格，由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程y2x59.5，則實(shí)數(shù)m

x1101318

y623834m

39．已知兩個(gè)線性相關(guān)變量x?y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示，則其回歸方程是.

x12345

y30-2-4-5

40．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)投入與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:

廣告費(fèi)萬(wàn)元x/萬(wàn)元4235

銷售額萬(wàn)元y/萬(wàn)元49263954

根據(jù)上表建立線性回歸方程，預(yù)測(cè)當(dāng)廣告費(fèi)投入6萬(wàn)元時(shí)，銷售額約為萬(wàn)元.

41．某書(shū)店為了分析書(shū)籍銷量與宣傳投入之間的關(guān)系，對(duì)宣傳投入x（千元）和書(shū)籍銷量y（百本）的情況

進(jìn)行了調(diào)研，并統(tǒng)計(jì)得到表中幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，同時(shí)用最小二乘法得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為y1.2x1.6，

則下列說(shuō)法不正確的是（）

x3456

y56.27.4m

A．變量x、y之間呈正相關(guān)B．預(yù)測(cè)當(dāng)宣傳投入2千元時(shí)，書(shū)籍銷量約為400本

C．m8.8D．?dāng)M合誤差Q0.48

42．根據(jù)相關(guān)研究報(bào)告顯示，預(yù)計(jì)2025年電商交易額突破18億元，網(wǎng)購(gòu)用戶規(guī)模接近9億．下表為某網(wǎng)店

統(tǒng)計(jì)的近5個(gè)月的利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元），其中x為月份代號(hào)．

月份2024年12月2025年1月2025年2月2025年3月2025年4月

月份代號(hào)x12345

利潤(rùn)y／萬(wàn)

86.35.13.22.4

元

(1)依據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r（r精確到0.01），判斷是否可以用線性回歸模型擬合y與x的

關(guān)系；若可用，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并估計(jì)2025年5月該網(wǎng)店利潤(rùn)；若不可用，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)該專營(yíng)店為了吸引顧客，推出兩種抽獎(jiǎng)方案．方案一：一次性購(gòu)物金額超過(guò)800元可抽獎(jiǎng)三次，每次中

1

獎(jiǎng)的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打9折，中獎(jiǎng)兩次打8折，中獎(jiǎng)三次打6折，其余情況不

4

打折．方案二：從裝有8個(gè)形狀大小、完全相同的小球（其中紅球3個(gè)，白球1個(gè)，黑球4個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，

一次性摸出2個(gè)球，其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸出1個(gè)紅球和1一個(gè)白球打六折，摸出2個(gè)黑球打八折，其余情況不

打折．某顧客計(jì)劃在此網(wǎng)店購(gòu)買(mǎi)1000元的商品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)

惠．

nn

xxyy

xixyiyii

參考：b?i1，?，ri1

na?ybxnn

2

xx22

ixixyiy

i1i1i1

102×2列聯(lián)表

43．為了研究吸煙習(xí)慣與慢性氣管炎患病的關(guān)系，某疾病預(yù)防中心對(duì)相關(guān)調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究，假設(shè)H0：

2

患慢性氣管炎與吸煙沒(méi)有關(guān)系，并通過(guò)計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量3.468，則可推斷原假設(shè)H0．（填“拒

絕”或“接受”，規(guī)定顯著性水平0.1,P22.7060.1．）

44．如下是一個(gè)22列聯(lián)表，則s.

y1y2總計(jì)

x1a3545

x27bn

總計(jì)m73s

45．某地同城閃送為了提高服務(wù)質(zhì)量，進(jìn)行了服務(wù)改進(jìn)，并對(duì)服務(wù)進(jìn)行評(píng)分.已知服務(wù)改進(jìn)前某天共有1000

個(gè)訂單，其好評(píng)率為85%；服務(wù)改進(jìn)后某天共有1500個(gè)訂單，其中好評(píng)訂單為1350個(gè).

(1)已知某100個(gè)好評(píng)訂單評(píng)分的極差為2，數(shù)據(jù)如下（其中x10，n是正整數(shù)）

服務(wù)評(píng)分x8.599.510

訂單數(shù)量n3213114

求這100個(gè)好評(píng)訂單的第40百分位數(shù).

(2)根據(jù)服務(wù)改進(jìn)前后的這兩天的訂單數(shù)據(jù)完成下列22列聯(lián)表，并依據(jù)0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷訂單

獲得好評(píng)與服務(wù)改進(jìn)是否有關(guān).

好評(píng)訂單非好評(píng)訂單合計(jì)

服務(wù)改進(jìn)前1000

服務(wù)改進(jìn)后13501500

合計(jì)

2

nadbc

附：2，P23.8410.05.

abcdacbd

46．在2025年春節(jié)檔電影中，由餃子導(dǎo)演的《哪吒之魔童鬧?！冯娪霸趪?guó)內(nèi)外受到一致好評(píng)，票房也一路

飆升到國(guó)內(nèi)第一，也是國(guó)內(nèi)首部百億票房，其中有不少觀眾對(duì)角色喜歡都有自己的見(jiàn)解.劉同學(xué)為了了解學(xué)

生喜歡哪吒角色是否與性別有關(guān)，他對(duì)50位同學(xué)進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下2x2列聯(lián)表：

喜歡哪吒角色不喜歡哪吒角色總計(jì)

女生10

男生5

總計(jì)50

已知從50位同學(xué)中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡哪吒角色的學(xué)生的概率為0.6.

(1)請(qǐng)將上面的22列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并且判斷是否有95%的把握認(rèn)為喜歡哪吒角色與性別有關(guān)；

(2)從喜歡哪吒角色的同學(xué)中，按分層抽樣的分式，隨機(jī)抽取6人做進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)

選出3人采訪發(fā)言.設(shè)這3人中男生人數(shù)為X，求X的分布及期望值.

2

2n(adbc)

附：,nabcd.

abcdacbd

2

Pk00.0500.0100.001

k03.8416.63510.828

1．?dāng)S一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上面的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件E：點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，事件F：點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，事件G：

點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)，事件H：點(diǎn)數(shù)是4．下列每對(duì)事件中，不是互斥事件的為（）

A．E與FB．F與GC．E與HD．G與H

2．2025年春節(jié)檔上映的動(dòng)畫(huà)電影《哪吒之魔童鬧?！芬l(fā)全民觀影熱潮．某數(shù)據(jù)平臺(tái)實(shí)時(shí)統(tǒng)計(jì)了該片上映

前10天的全國(guó)單日票房（單位：億元），并生成如圖所示的折線圖．假設(shè)橫軸為上映時(shí)間（日期），縱軸為

單日票房（億），則下列說(shuō)法正確的是（）

A．前十日之后，隨著上映時(shí)間的增加，單日票房一定會(huì)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)

B．上映前十天的票房極差為4.76（億）

C．上映前十天的票房中位數(shù)為6.34（億）

D．上映前十天的票房第70百分位數(shù)為7.30（億）

3．已知A、B分別為隨機(jī)事件A、B的對(duì)立事件，PA0，PB0，則下列等式錯(cuò)誤的是（）

A．PBAPBAPAB．PBAPBA1

C．若A、B獨(dú)立，則PABPAD．若A、B互斥，則PABPBA

4．下列選項(xiàng)中，正確的是（）

A．?dāng)?shù)據(jù)1、3、5、7、9、11、13的第80百分位數(shù)為12

1

B．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到概率都是

51

C．若事件A、B滿足0PA1，0PB1且PABPAPBPB，則A與B相互獨(dú)立

D．若樣本數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn的平均數(shù)為2，則2x13、2x23、…、2xn3的平均數(shù)為8

24

1

5．在x的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x的冪指數(shù)是正數(shù)的項(xiàng)一共有個(gè)．

3x

6．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3,2，且PX50.6，則P1X3.

2

7．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N10,,PX15m,P5X10n，則m2n2的最小值為．

8

8．已知隨機(jī)變量XB4,p，若EX，則DX.

3

9．已知X~Bn,p,E[X]8,D[X]1.6，則p

10．某公司有200名員工，其中有一般人員120人，管理人員32人，專業(yè)技術(shù)人員48人，現(xiàn)用分層抽樣

的方法抽取25人，以調(diào)查大家對(duì)職業(yè)培訓(xùn)的意愿，則應(yīng)抽取的專業(yè)技術(shù)人員的人數(shù)是

33

11．已知事件A與事件B相互獨(dú)立，若P(AB),P(B)，則P(A).

255

12．已知校運(yùn)動(dòng)會(huì)4100米比賽，某隊(duì)派出甲、乙、丙、丁4名運(yùn)動(dòng)員參加，其中甲不跑第一和第三棒，

則不同的交接棒安排順序有種.

13．已知x，y是兩個(gè)具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量，其取值如下表：

x12345

y4a9b11

其回歸方程為y?2x1，則ab.

12x24x2

2ye

14．已知隨機(jī)變量X~N,，其密度函數(shù)為1，則.

π

2

112

15．已知兩個(gè)隨機(jī)事件A,B，若PA，PB，PB|A，則PAB.

543

16．某個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設(shè)事件M：該家庭中有男孩、又有女孩，

事件N：該家庭中最多有一個(gè)女孩．有以下兩個(gè)命題：①若該家庭中有兩個(gè)小孩，則M與N互斥；②若該

家庭中有三個(gè)小孩，則M與N相互獨(dú)立．則：（）

A．①②均為真命題B．①為真命題，②為假命題

C．①為假命題，②為真命題D．①②均為假命題

17．某學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組利用信息技術(shù)手段探究?jī)蓚€(gè)數(shù)值變量x?y之間的線性關(guān)系，隨機(jī)抽取8個(gè)樣本

點(diǎn)A1x1,y1?A2x2,y2??A8x8,y8，由于操作過(guò)程的疏忽，在用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)回歸方程時(shí)只輸入了前

6組數(shù)據(jù)，得到的線性回歸方程為ya1xb1，其樣本中心為4,6.后來(lái)檢查發(fā)現(xiàn)后，輸入8組數(shù)據(jù)得到的

新的線性回歸方程為ya2x，新的樣本中心為(x,y)，已知x7x80,y7y84，則以下結(jié)論中正確的個(gè)

數(shù)是（）

①新的樣本中心仍為4,6；

②新的樣本中心為3,5；

③兩個(gè)數(shù)值變量x?y具有正相關(guān)關(guān)系；

88

22

④yia1xib1yia2xi.

i1i1

A．0B．1C．2D．3

18．拋擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)．用A表示事件“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)不同”，B表示事件“至少出現(xiàn)一個(gè)3點(diǎn)”，則

P(A|B)．（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）

19．針對(duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是

112

男生人數(shù)的，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的，若根據(jù)小概率值0.01

233

的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則男生至少有人

2

Pk00.0500.0100.001

k03.8416.63510.828

2

nadbc

參考數(shù)據(jù)及公式如下：參考公式：2，其中nabcd.

abcdacbd

20．假設(shè)小明的數(shù)學(xué)成績(jī)X符合正態(tài)分布N120,52，查詢資料后得知10.8413，20.9772，

30.9987，那么小明數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20至130分之間的概率是．（精確到0.0001）

3a4b

21．若隨機(jī)變量XN3,2，且P1X3a，PX5b，則的最小值為

2ab

x7

22．1x2y的展開(kāi)式中含x4y3項(xiàng)的系數(shù)是．

y

23．“布朗運(yùn)動(dòng)”是指微小顆粒永不停息的無(wú)規(guī)則隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉(cāng)組成，

某粒子作布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉(cāng)的通道口中隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉(cāng)或者容器外，一旦粒子到達(dá)容器

外就會(huì)被外部捕獲裝置所捕獲，此時(shí)試驗(yàn)結(jié)束．已知該粒子初始位置在1號(hào)倉(cāng)，則試驗(yàn)結(jié)束時(shí)該粒子是從1

號(hào)倉(cāng)到達(dá)容器外的概率為．

24．已知高中學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，物理成績(jī)，化學(xué)成績(jī)兩兩成正相關(guān)關(guān)系，隨機(jī)抽取10名同學(xué)，數(shù)學(xué)成績(jī)x和

412

物理成績(jī)y的樣本線性相關(guān)系數(shù)為，物理成績(jī)y與化學(xué)成績(jī)z的樣本線性相關(guān)系數(shù)為，求x,z的樣本線

513

性相關(guān)系數(shù)的最大值為.

n

xixyiy

i1

(附:相關(guān)系數(shù)r

n2n2

xixyiy

i1i1

25．班主任小明為了解本班每位學(xué)生每周平均手機(jī)使用時(shí)長(zhǎng)(單位：小時(shí))，在某一學(xué)期每周對(duì)全班45名學(xué)

生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，收集了全部數(shù)據(jù)并計(jì)算出每位學(xué)生每周平均手機(jī)使用時(shí)長(zhǎng)，繪制了相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)圖表，全

班用時(shí)最長(zhǎng)的為25.6小時(shí).其中，男生每周平均手機(jī)使用時(shí)長(zhǎng)的莖葉圖如圖所示，女生每周平均手機(jī)使用時(shí)

長(zhǎng)的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求該班男生每周平均手機(jī)使用時(shí)長(zhǎng)的第25百分位數(shù)；

(2)小明老師想從本班每周平均手機(jī)使用時(shí)長(zhǎng)小于12小時(shí)的學(xué)生中任選2人在班會(huì)課上做經(jīng)驗(yàn)分享．設(shè)事件

A表示“2人中至多1名男生”，事件B表示“2人中恰有1名學(xué)生的每周平均手機(jī)使用時(shí)長(zhǎng)位于區(qū)間

11,12”．試判斷事件A和事件B是否獨(dú)立，并說(shuō)明理由；

(3)小明老師發(fā)現(xiàn)本班有t位學(xué)生的每周平均手機(jī)使用時(shí)長(zhǎng)超過(guò)20小時(shí)，這t位學(xué)生的數(shù)據(jù)平均數(shù)為23小

時(shí)．當(dāng)去掉這t位學(xué)生中用時(shí)最長(zhǎng)和用時(shí)最短的數(shù)據(jù)后，平均數(shù)變?yōu)?2.7小時(shí)，且這t位學(xué)生中女生的數(shù)據(jù)

從小到大依次排序成等差數(shù)列．那么這t位學(xué)生每周平均手機(jī)使用時(shí)長(zhǎng)的方差是否超過(guò)3？請(qǐng)說(shuō)明理由．

26．核桃有很多品種．小何購(gòu)買(mǎi)了其中4種品類的核桃：A類核桃100個(gè)，B類核桃120個(gè)，C類核桃80

個(gè)和D類核桃200個(gè)．

(1)小何決定采用分層抽樣的方法，從所有核桃中抽出25個(gè)核桃，請(qǐng)問(wèn)應(yīng)抽取C類核桃多少個(gè)？

(2)小何以隨機(jī)抽樣的方式，從D類核桃中抽取20個(gè)進(jìn)行克重測(cè)量，以下是這些核桃的克重?cái)?shù)據(jù)：（單位：

克）

14.414.715.216.317.317.617.918.219.019.3

19.820.120.220.420.72