第PAGEI頁課程內(nèi)容與思政元素結(jié)合目的下三重積分教學(xué)設(shè)計定積分和二重積分在三維空間上的一個自然推廣得到三重積分，與二重積分的概念性質(zhì)相似，與定積分、二重積分求解問題的思路方法是相通的，三重積分的計算方法可歸納為:直角坐標(biāo)系下的投影法和截面法、柱面坐標(biāo)變換法和球坐標(biāo)變換法.三重積分的計算難度大，需要較強的空間想象能力，因此在教學(xué)中如何用形象且易懂的方式教會學(xué)生是值得思考的。三重積分的課程思政設(shè)計如下：學(xué)院數(shù)學(xué)分析課程名稱三重積分課程負(fù)責(zé)人授課對象數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)時1學(xué)時學(xué)分6學(xué)分教材信息數(shù)學(xué)分析第四版下冊/華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編授課章節(jié)第二十一章第五節(jié)課程類別專業(yè)教育課程教學(xué)目標(biāo)理解三重積分的定義，掌握化三重積分為累次積分的方法，掌握直角坐標(biāo)系下計算三重積分的投影法和截面法、掌握用柱面坐標(biāo)變換和球坐標(biāo)變換計算三重積分，能正確計算三重積分；培養(yǎng)學(xué)生的分析和計算能力.教學(xué)重難點重點：三重積分的定義、直角坐標(biāo)系下計算三重積分的投影法和截面法、柱面坐標(biāo)變換和球坐標(biāo)變換計算三重積分.難點：化三重積分為累次積分教學(xué)方法PPT放映，講授法；從微元思想、類比思想和化歸思想這三個數(shù)學(xué)思想進行三重積分的教學(xué)和解讀.課程思政教育內(nèi)容1、探索三重積分的定義，導(dǎo)入微元思想，“化整為零”解決問題，引出微觀與宏觀的關(guān)系.2、類比二重積分學(xué)習(xí)三重積分的類比思想，引出溫故而知新道理.3、三重積分計算的“土豆條法”和“土豆片”拉近數(shù)學(xué)與生活的距離，人要有探索精神，對知識要知其所以然；三重積分計算的“1+2”或“2+1”模式的化歸思想，遇到挫折要堅定信念.教學(xué)過程（課程內(nèi)容與思政元素結(jié)合）Ⅰ.（第0-3分鐘）教學(xué)內(nèi)容（一）三重積分的概念1、引入從學(xué)生的實際生活、數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)概念在實際生活中的背景出發(fā)引出三重積分這一概念.給出實例已知一個密度函數(shù)為（非負(fù)且連續(xù)）的空間立體，求解的質(zhì)量.求解思路步驟與二重積分概念推導(dǎo)過程相似，即“分割-近似求和-取極限”；分割：把任意分割成小塊，其中為小塊的體積.近似：求每一小塊的近似質(zhì)量.在上任取一點，即質(zhì)量微元求和：取極限：其中.（第3-4分鐘）切入思政點：這里體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的微元思想，即“化整為零”，先分析“微元部分”，再通過“微元”結(jié)果去分析整體，運用微元思想方法解決問題時，在分解的過程中加強我們對已知規(guī)律的深入思考，從而鞏固所學(xué)知識、提高解決問題的能力.由微元思想引申出微觀與宏觀的關(guān)系，從大的方面了解事物可以把握方向，從小的方面探索事物可以看到本質(zhì)，兩者十分重要，是對立與統(tǒng)一的.（第4-7分鐘）教學(xué)內(nèi)容2、形成定義對上述的求解模型總結(jié)分析，類比二重積分的定義，得出三重積分的定義：定義[6]設(shè)為定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域上的函數(shù)，是一個確定的數(shù).若對任何的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對于的任何分割，只要，屬于分割的所有積分和都有，則稱在上可積，數(shù)稱為函數(shù)在上的三重積分，記作或其中稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)域.三重積分與二重積分的性質(zhì)類似，學(xué)生自主去探索學(xué)習(xí).（第7-8分鐘）切入思政點：類比二重積分定義，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的類比思想，通過舊知識類比學(xué)習(xí)新內(nèi)容，即解決了新問題，也復(fù)習(xí)了前面二重積分定義，所謂溫故而知新，以小見大，通過細(xì)微之處，看到本質(zhì)，要善于觀察、發(fā)現(xiàn)細(xì)節(jié).Ⅱ.（第8-25分鐘）教學(xué)內(nèi)容（二）三重積分的計算在直角坐標(biāo)系下化三重積分為累次積分，即先把三重積分化歸成二重積分，再進行定積分計算，或者先換成定積分再計算二重積分，最后轉(zhuǎn)化成三次積分，這一過程體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的化歸思想.解決三重積分的計算，我們引入“土豆條法”和“土豆片法”[11]，這樣更加形象有趣，有助學(xué)生理解和掌握計算方法，提高課堂質(zhì)量.“土豆條法”圖2-9圖2-9如圖2-9，計算三重積分時，把看成一個密度為的土豆，要求土豆的質(zhì)量.考慮把切成豎的細(xì)土豆條，這些豎條垂直于平面，所有豎條所占面的位置即為整個在面上的投影區(qū)域，記作，每一根在面上的投影記為，土豆條長為到.此時需要計算土豆條的質(zhì)量，然后把所有土豆條質(zhì)量和起來即為整個土豆的質(zhì)量.土豆條質(zhì)量：一根線的質(zhì)量乘上粗細(xì)，即.整個土豆質(zhì)量：因此得到，，把三重積分化簡成先算定積分后算二重積分，簡記為“先一后二”，這個方法也叫做投影法.“土豆片法”圖2-10圖2-10如圖2-10，要求三重積分，考慮垂直軸把切成土豆薄片，薄片的厚度為，所有薄片質(zhì)量加起來得到土豆質(zhì)量，即薄片質(zhì)量為，土豆質(zhì)量為.因此得到，這個把三重積分簡化成先算二重積分后算定積分，簡記為“先二后一”，該方法也稱截面法.（第25-26分鐘）切入思政點：“土豆條法”和“土豆片法”拉近了三重積分與實際生活的距離，利于學(xué)生理解記憶，在生活中，我們要大膽的想象與聯(lián)想去解決難題，學(xué)習(xí)上要有探索精神，對于一個知識結(jié)論，不僅要知其然，而且要知其所以然.從三重積分的計算化歸為“1+2”或“2+1”的模式，我們認(rèn)識到處理復(fù)雜問題時，考慮分解成易的思想，把陌生的知識轉(zhuǎn)化熟悉的知識，正如，當(dāng)我們遇到挫折時，要堅定信念，對自己充滿信心，把絆腳石當(dāng)作墊腳石，運用所積累的經(jīng)驗去應(yīng)對困難.（第26-36分鐘）教學(xué)內(nèi)容例題應(yīng)用例1計算，其中是由平面與所圍成區(qū)域（如圖2-11）.圖2-11圖2-11此題用“土豆條法”（投影法），土豆條下底面，上底面為，整個土豆在面投影區(qū)域是型區(qū)域，于是例2計算，是由和圍成的閉域（如圖2-12）.圖2-12圖2-12此題考慮用“土豆片法”（截面法），用平面去截幾何體，于是.（三）三重積分換元法Ⅲ.（第36-44分鐘）教學(xué)內(nèi)容柱面坐標(biāo)變換由變換的函數(shù)行列式于是得到，其中是在柱坐標(biāo)變換下的原像.三重積分函數(shù)含有或或積分區(qū)域在平面投影區(qū)域為圓域（或圓域一部分）時，使用該方法，方便計算.球坐標(biāo)變換由于于是得到，其中是在柱坐標(biāo)變換下的原像.三重積分函數(shù)含有或或積分區(qū)域邊界曲面是球面（或部分球面），使用該方法，可簡化計算.（第36-46分鐘）教學(xué)內(nèi)容例題練習(xí)例3計算其中是由曲面與為邊界面的區(qū)域（圖2-13）.解：在平面上的投影區(qū)域為，依照柱面坐標(biāo)變換，可表示為圖2-13圖2-13于是有例4計算由球體和圓錐體所得到立體體積（圖2-14），其中和為常數(shù).