/惠州市正弘實驗學(xué)校2025-2026學(xué)年高二年級第一學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷試卷分值：150分；考試時間：120分鐘；一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.等差數(shù)列{an}中，a3=3，aA.2 B.6 C.1 D.142.在數(shù)列{an}中，a1=2，且aA.2 B.?1 C.12 D.3.關(guān)于拋物線y2=?2xA.開口向右 B.焦點坐標(biāo)為(?1,0)

C.準(zhǔn)線方程為x=1 D.對稱軸為x4.已知雙曲線C:x2a2?yA.y=±14x B.y=±15.過橢圓x24+y2A.32 B.32 C.36.雙曲線x2?y2=1A. B. C. D.7.動圓M過定點A(?4,?0)，與定圓B：(x?4)2+A.x212?y24=1 B.8.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>A.[32,1) B.(0,3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3A.an=2n?3 B.S10=70 C.10.已知直線l:kx?y+2A.直線l過定點(?2,0)

B.直線l與圓C恒相交

C.直線l被圓C截得的弦長為4時，k=?43

D.直線l被圓C截得的弦長最短時，直線11.已知O為坐標(biāo)原點，M(1,2)，P是拋物線C：y2=2px上的一點，F(xiàn)為其焦點，若F與雙曲線A.若|PF|=6，則點P的橫坐標(biāo)為4

B.該拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長度為3

C.若?POF外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則該圓面積為9三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分。12.已知橢圓x2a2+y24=1(13.若點P在橢圓x22+y2=1上，F(xiàn)1,F14.在數(shù)列中，已知，且，則

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15.已知數(shù)列的前項和為(1)求的最小值，并求此時的值：(2)求出的通項公式16.已知圓C經(jīng)過點和，且圓心C在直線上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與圓C相交于E、F兩點，且，求實數(shù)a的值.17.在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，點是的中點，點分別是線段上的點，且．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．18.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率，且短軸長為4.(1)求橢圓的方程；(2)斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，求面積的最大值.19.已知雙曲線的漸近線方程是，且過點.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)，分別為雙曲線的左、右頂點，，分別為的左、右焦點，與軸不垂直的直線與雙曲線的左支相交于，兩點，記直線，，，的斜率分別為已知.（i）證明直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)；（ii）求面積的取值范圍.惠州市正弘實驗學(xué)校2025-2026學(xué)年高二年級第一學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)答案和解析1.【答案】B

解：記等差數(shù)列{an}的公差為d，

根據(jù)題意，因為等差數(shù)列{an}中，2.【答案】B

【解答】解：∵a1=2，且an+1=11?a3.【答案】D

解：因為拋物線的方程為y2=?2x，所以p=1，即p2=12，

所以拋物線開口向左，焦點坐標(biāo)為?12解：雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為525.【答案】C

解：橢圓焦點的橫坐標(biāo)為±4?3=±1，則直線與橢圓的交點的縱坐標(biāo)滿足1所以過橢圓x24+y26.【答案】C

解：設(shè)直線l的方程為y?1=k(x?2)，即y=kx?2k+1.

聯(lián)立方程組x2?y2=1y=kx?2k解：設(shè)動圓圓心為點P，則|PB|=|PA|+4，即|PB|?|PA|=4<|AB|=8，

∴點P的軌跡是以A，B為焦點，且2a=4，a=2的雙曲線的左支，又∵2c=8【解析】解：設(shè)橢圓C的焦點為F?(?c,0)、F?(c,0)，A為橢圓上一點，

記|AF?|=m，|AF?|=n，由橢圓定義得m+n=2a．因為AF1|AF1|?AF2|AF2|=cos∠F?AF?=?12，

所以∠F1A9.【答案】ACD

【解析】解：因為等差數(shù)列{an}中S3=3，a4=5，所以3a1+3d=3a1+3d=5，解得d=2，a1=?1，

故an=?1+2(n?1)=2n?3【解析】解：直線l:kx?y+2k=0由|CP|2=(?2+1)2+(0?2)2=5<8如圖，直線l與圓C相交于A,B兩點，連接CA，則過點C作CD⊥AB于點D，則AD=即點C到直線l的距離d=2，由d=|?k?2+2k|由圖知，直線l于PC垂直時，直線l被圓C截得的弦長最短，因P(?2,0)，此時kPC=2?0?1?(?2)=2，k整理得x+2y+2=011.【答案】ACD

解：∵雙曲線的右焦點坐標(biāo)為(2,0)，∴p2=2,∴p=4，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x，∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?2．

對于A，設(shè)點P1(x,y)，由拋物線的性質(zhì)知x+2=P1F=6，所以點P1的橫坐標(biāo)為4，A正確；

對于B，聯(lián)立x23?y2=1x=?2，解得兩交點的坐標(biāo)分別為(?2,33)，(?2,?33)，所以拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長度為233，B錯誤；

對于C，根據(jù)拋物線的概念知圓心到準(zhǔn)線的距離等于到點F的距離，所以圓心P2在拋物線上，由三角形的外接圓性質(zhì)知圓心到O，F(xiàn)的距離相等，所以圓心P2又在線段OF的垂直平分線上，故圓心P12.【答案】4

解：設(shè)橢圓與雙曲線的焦距均為2c，雙曲線x29?y23=1，由此得c=13.【答案】1

解：橢圓x22+y2=1的a=2，b=1，則c=2?1=1，則PF1+PF2==214．【分析】由累加法和裂項相消法求通項即可得出答案.15．(1)最小值為，此時或8；(2).【詳解】（1）由，，故或時，最小為；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然不滿足上式，故.16．(1)(2)或【詳解】（1）由圓心在直線上，設(shè)圓心，由，得，解得，因此圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，圓的圓心為，半徑，由，得圓心到直線的距離，則，即，解得或，所以實數(shù)的值為或.17.【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】因為平面，平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，因為，且.所以．因為，所以，即．【小問2詳解】由（1）得．設(shè)是平面的一個法向量，則，令，得，所以．因為平面，所以平面，所以平面的一個法向量為．因為，結(jié)合圖形可得：平面與平面夾角的余弦值為．18.(1)；(2)4.【詳解】（1）由橢圓：的短軸長為4，得，由橢圓的離心率，得，則，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，由消去并整理得，，解得，則，，原點到直線的距離，因此的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以面積的最大值為4.19.(1)(2)（i）證明見解析，（ii）【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為，因為雙曲線過點，所以，所以雙曲線的方程為.（2）（i）設(shè)直線