/2025-2026學年度高二上學期數(shù)學期中考試一、單項選擇題（本題8小題，每題5分，共40分）1．如圖，在平行六面體中，若，則（

）

A． B． C． D．2．已知直線l上兩點，，若直線l的傾斜角為，則實數(shù)n的值為（

）A． B．0 C． D．3．在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的大小是（

）．A． B． C． D．4．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的離心率為（

）A．2 B． C． D．5．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．橢圓的短軸長為（

）A． B． C．6 D．37．經(jīng)過兩點，的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．8．圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、多項選擇題（本題3小題，每題3分，共18分）9．已知點，圓，則（

）A．點在直線上B．點可能在圓上C．圓上至少有2個點與點的距離為1D．過點作圓的切線，則切點弦過點10．如圖，在棱長為2的正方體中，點E是的中點，則下列說法正確的是（

）A．與所成角的余弦值為B．與平面所成角的正弦值為C．點到直線的距離為D．與平面的距離為11．在平面直角坐標系中，雙曲線的左、右焦點分別為，，點，直線交于C，D兩點.若的重心在以為直徑的圓上，則（

）A．的焦距為B．的漸近線方程為C．的外接圓的面積為D．過點作直線交于，兩點，且，則三、填空題（本題3小題，每題5分，共15分）12．在平面直角坐標系中，一只螞蟻從點出發(fā)，爬到軸后又爬到圓上，則它爬到的最短路程是.13．在棱長為的正方體中，分別為線段和平面上的動點，點為線段的中點，則周長的最小值為.14．設，分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，點在的右支上，直線與的右支的另一個交點為，若，，則的離心率為.四、解答題（本題5小題，共77分）15．（本題14分）已知拋物線：（）經(jīng)過點.(1)求拋物線的焦點的坐標；（6分）(2)設直線經(jīng)過點，且斜率為，若與有2個交點，求實數(shù)的取值范圍.（8分）16．（本題18分）如圖，在四邊形中，，，，將沿翻折至，使點落在點的位置，且.點，滿足，，連接，，.

(1)證明：；（5分）(2)求平面與平面的夾角的余弦值；（7分）(3)若點是線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值.（6分）17．（本題15分）已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點，.(1)求圓的標準方程；（7分）(2)求過原點且與圓相切的直線方程.（8分）18．（本題17分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，平面平面.

(1)證明：.（5分）(2)點在線段上，若平面，求.（5分）(3)求二面角的正弦值.（7分）19．（本題13分）已知空間中三點，，，設，.(1)求與的值；（6分）(2)已知向量與互相垂直，求k的值.（7分）2025-2026學年度高二上學期數(shù)學期中考試參考答案1．A【分析】根據(jù)空間向量的線性運算得到，然后求即可.【詳解】解：，又因，，∴，∴，，，故選：A.2．A【分析】根據(jù)兩點的斜率公式及傾斜角的關(guān)系計算即可.【詳解】因為點，在直線l上，直線l的傾斜角為，所以直線l的斜率為，解得.故選：A.3．C【分析】將正三棱柱補體后得到如圖所示的幾何體，則或其補角即為所求的異面直線與所成的角，通過解三角形可得其大小.【詳解】如圖，將題設的正棱柱補成如圖所示的幾何體，因為，故或其補角即為所求的異面直線與所成的角.設，則，在直角三角形中，因為，，故，同理，，故，而，故，故異面直線與所成的角為.故選：C.【點睛】本題考查異面直線所成的角的計算，注意通過平移、補體等方法構(gòu)造異面直線所成的角，本題屬于中檔題.4．A【分析】由題意，得，進而得到即可求解離心率.【詳解】由題意，得，則，所以，則，即，所以的離心率為.故選：A.5．B【分析】利用在上的投影向量公式計算求解.【詳解】在上的投影向量為故選：B.6．C【分析】化簡橢圓的方程為標準方程，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)列出方程，即可求解.【詳解】橢圓的標準方程為，則，，所以，，故此橢圓的短軸長.故選：C.7．D【分析】根據(jù)兩點坐標可得直線斜率，由斜率與傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】，，，設直線的傾斜角為，則，.故選：D.8．A【分析】確定兩圓的圓心與半徑，確定圓與圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù).【詳解】，圓心，半徑為2，圓，圓心，半徑為3，兩圓的圓心距為，大于兩圓的半徑之和，故兩圓相離，則兩圓的公切線有4條.故選：A.9．AD【分析】對選項A將點代入驗證即可；對于選項B則求圓心到直線的距離可知直線與圓外離，即可得結(jié)果；對于C點P到圓上一點的最小值為1；對于D根據(jù)選項構(gòu)造以線段為直徑的圓，求出圓和圓的公共弦方程進而求解.【詳解】對A,點，代入直線方程得，故點在直線上．故A正確；對B，圓心到直線的距離為（為圓的半徑），故直線與圓相離，因此點不可能在圓上．故B錯誤；對C，因為，所以圓上只有1個點與點的距離為1．故C錯誤；對D,構(gòu)造以線段為直徑的圓，則線段為圓和圓的公共弦．圓的直徑式方程為，整理得

①．圓方程化為一般式為，與①作差變形得的方程為．整理得，令解得即直線經(jīng)過點．故D正確故選：AD10．ACD【分析】通過建系，求出相關(guān)點的坐標，相關(guān)直線的方向向量、相關(guān)平面的法向量坐標，利用空間向量夾角的坐標公式以及點到直線、點到平面的距離公式分別計算即可逐一判斷.【詳解】以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則對于A，，，設與所成角為，則，故A正確；對于B，平面的法向量可取為，，設與平面所成角為，則，故B錯誤；對于C，因，與同方向的單位向量為，，則點到直線的距離為，故C正確；對于D，設平面的法向量為，，則，故可取，由，平面，可得平面，則與平面的距離即點到平面的距離，由，則到平面的距離為，故D正確.故選：ACD11．ABD【分析】由題設求得的重心的坐標為代入圓，結(jié)合，求得，進而得的焦距和漸近線方程，即可判斷A、B；由題設得，令，，進而可求的外接圓的圓心，從而得半徑、面積即可判斷C；設直線，，，聯(lián)立利用韋達定理結(jié)合求得，再利用弦長公式求得即可判斷D.【詳解】由題意易得C，D兩點的坐標為，，又，所以的重心的坐標為，記，則以線段為直徑的圓的方程為，所以，所以，所以，所以的焦距為，，故的漸近線方程為，故A、B均正確；不妨令，，又，所以線段的垂直平分線的方程為，線段的垂直平分線的方程為，令，得，所以的外接圓的圓心為，所以的外接圓的半徑為，所以的外接圓的面積為，故C錯誤；由上面分析知的方程為，由題知直線的斜率不為0，設直線，，，聯(lián)立，整理得，則，，，，所以，因為，所以，所以，即，整理得，即，所以，故D正確.

故選：ABD.12．【分析】求得點關(guān)于軸的對稱點為，求得到圓上上的點的最短距離即可.【詳解】由圓，得圓心坐標，半徑為1，點關(guān)于軸的對稱點為，則到圓上上的點的最短距離即為它爬到的最短路程，所以它爬到的最短路程是.故答案為：.13．【分析】設G關(guān)于平面對稱的點為，的周長，再通過建系以及轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為平面幾何中的距離之和的問題，進而結(jié)合三角形三邊關(guān)系確定最值取得的情況，由此可得結(jié)果.【詳解】設G關(guān)于平面對稱的點為，連接，則，，的周長，以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則,，，設，則，所以即點到與距離和的最小值，設關(guān)于x軸對稱的點為，則故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何中到定點和到動點的距離和的最值問題的求解，解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為平面幾何中的距離之和的問題，進而結(jié)合三角形三邊關(guān)系確定最值取得的情況.14．【分析】利用雙曲線的定義得到，由得到，由得到，設，求出，由及二倍角的余弦公式得到，由即得到，在中，利用余弦定理建立的等式計算得解.【詳解】點在的右支上，，，，，，設，，，，，，，，，，，，在中，，即，整理得，則，又，故.故答案為：15．(1)；(2)或.【分析】（1）將點代入拋物線方程計算求出，求出焦點坐標即可；（2）設直線的方程為點斜式，聯(lián)立直線和拋物線，消去，整理得到關(guān)于的一元二次方程，利用計算得解.【詳解】（1）拋物線：（）經(jīng)過點，，，，拋物線的焦點的坐標為；（2）設直線經(jīng)過點，且斜率為，設直線的方程為，聯(lián)立，消去，整理得到，與有2個交點，，，或.實數(shù)的取值范圍為或.16．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由線面垂直的判定理證明平面即可求解；（2）建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量進行求解；（3）求出平面的法向量，再由線面角的向量求法求解．【詳解】（1）證明：取的中點，連接，.

因為，所以，因為，所以，又，，平面，所以平面，因為平面，故.（2）因為，，所以，則，由，得，因為，所以，則.所以，，互相垂直，以為坐標原點，以，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間坐標系.則，，，.，，設平面的法向量為，取，則，由（1）可知，，易知，又，，所以，，又，，平面，所以平面，則是平面的一個法向量.所以，故平面與平面的夾角的余弦值為.（3）因為，所以四邊形為平行四邊形，則，又，所以四邊形為平行四邊形，則，，又，，所以，，則四邊形為平行四邊形，所以.設平面的法向量為，取，則，易知，因為點是線段的中點，所以，設直線與平面所成的角為，所以.故直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意，求出線段的中垂線與圓心所在直線的交點即為圓心，即可得解；（2）判斷直線斜率不存在時符合題意，當切線斜率存在時，設出切線的方程，利用點到直線的距離公式來求得正確答案.【詳解】（1）線段的中點，直線的斜率，則線段的中垂線斜率為，方程為，即，由，解得，，因此圓的圓心，半徑，所以圓的標準方程為.（2）過原點且斜率不存在的直線為，點到直線的距離為，即直線與圓相切；當切線斜率存在時，設切線方程為，即，點到該直線距離為，解得，因此切線方程為，所以經(jīng)過原點且與圓相切的直線方程為或.18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）作，垂足為，連接.在中，根據(jù)題設證得，進而得到平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）先在（1）的基礎(chǔ)上證得平面，再結(jié)合平面得到平面平面.再根據(jù)面面平行的性質(zhì)，利用線段成比例即可得解；.（3）利用題意建立空間直角坐標系，結(jié)合平面的法向量可得二面角的余弦值進而得答案．【詳解】（1）作，垂足為，連接.在中，.，.所以，四邊形是正方形.所以.因為，所以平面.因為平面，所以.（2）因為四邊形是正方形，