/福建省部分高中學(xué)校2026屆高考適應(yīng)性練習(xí)（一模）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)，則（）A．8 B．9 C．5 D．44．若數(shù)據(jù)1，0，5，8，5的第百分位數(shù)為5，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．在的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．6．設(shè)數(shù)列和分別是公差為45的等差數(shù)列和公比為45的等比數(shù)列，則（）A．2025 B．1980 C．2115 D．20707．已知平面與單位正方體相交得到一個(gè)六邊形，若該六邊形有3個(gè)內(nèi)角是，則它的周長(zhǎng)為（）A．3 B． C． D．8．已知雙曲線與過(guò)軸正半軸上的一點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線分別和直線及直線交于兩點(diǎn)，且在直線上順次排列．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，那么直線的斜率為（）A． B．-5 C． D．二、多選題9．已知，若,分別表示中的較大者和較小者，則下列選項(xiàng)中，是命題“”的充要條件的有（）A． B．C． D．10．設(shè)，且．若隨機(jī)變量滿足，則（已知若隨機(jī)變量，則）（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，將方程的所有正實(shí)數(shù)根從小到大排列得到，，，則（）A．B．存在正整數(shù)使得C．D．三、填空題12．已知圓被軸分成長(zhǎng)度比為的兩段圓弧，則．13．若實(shí)數(shù)使得命題：“，使得，均有”是假命題，則的取值范圍是．14．已知在四棱錐中，，，若，則四棱錐體積的最大值為．四、解答題15．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）點(diǎn)在直線上，且．若，求．16．在統(tǒng)計(jì)一些敏感性問(wèn)題的回答時(shí)，往往很難得到受調(diào)查者的誠(chéng)實(shí)性答復(fù)．為了解決這一問(wèn)題，我們往往需要適當(dāng)?shù)夭捎靡恍┙y(tǒng)計(jì)學(xué)方法，下面的例子給出了一個(gè)有效的手段．某地衛(wèi)生部門派遣調(diào)查組前往當(dāng)?shù)啬承?wèn)詢校內(nèi)學(xué)生的吸煙情況，很明顯，如果直接詢問(wèn)這樣的問(wèn)題很難得到學(xué)生的誠(chéng)實(shí)回答．為此，調(diào)查組成員想到了一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法，首先設(shè)計(jì)了如下的調(diào)查問(wèn)卷形式：?jiǎn)栴}甲：你父親的生日日期是奇數(shù)嗎？請(qǐng)用鉛筆填涂相關(guān)選項(xiàng)：是□

否□問(wèn)題乙：你是否有吸煙的習(xí)慣？請(qǐng)用鉛筆填涂相關(guān)選項(xiàng)：是□

否□而后，準(zhǔn)備好一個(gè)不透明盒子，其中放入足夠多質(zhì)量、大小、質(zhì)地相同的小球，且其中紅白兩色小球各占一半，在受調(diào)查學(xué)校高一、高二、高三三個(gè)年段采用分層隨機(jī)抽樣的方式抽取共200名學(xué)生作為樣本．讓參與調(diào)查的學(xué)生輪流抽取盒子里的一個(gè)球，如果抽到了紅色球，則需要回答問(wèn)題甲；如果抽到了白色球，則需要回答問(wèn)題乙．抽球和回答問(wèn)卷時(shí)不安排人員監(jiān)督，提交問(wèn)卷時(shí)，只需上交其答案，而不需要透露其回答的問(wèn)題內(nèi)容．依據(jù)此方法，調(diào)查過(guò)程中共拿到了54張?zhí)钔俊笆恰钡拇鹁恚?）請(qǐng)說(shuō)明此調(diào)查方式的合理性，并估計(jì)該校吸煙學(xué)生在總?cè)藬?shù)中所占的百分比；（2）為了更精確地了解該校學(xué)生的吸煙狀況，調(diào)查組經(jīng)商議決定讓全校共6000名學(xué)生參與此次問(wèn)卷調(diào)查．調(diào)查過(guò)程中共拿到了1836張?zhí)钔俊笆恰钡拇鹁?，且其中?20張答卷來(lái)自女生．已知該校男女比例為1：1，請(qǐng)估計(jì)該校吸煙學(xué)生中男、女生的人數(shù)，并據(jù)此判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為吸煙行為和性別相關(guān)聯(lián)．附：，17．如圖，在圓錐中，為底面圓的直徑，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在劣弧上，線段交于點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）若，求直線和平面所成角的正弦值．18．已知橢圓和圓，當(dāng)橢圓與圓恰好只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，或4．（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)不在軸上．（i）若為中點(diǎn)，求；（ii）求的最大值．19．已知函數(shù)．（且）（1）若，證明：；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有．（i）求；（ii）設(shè)正整數(shù)，證明：

參考答案1．【答案】D【詳解】因?yàn)榧现兴性貫槠鏀?shù)，集合中的元素是集合中兩個(gè)元素之和，而兩個(gè)奇數(shù)之和必為偶數(shù)，所以集合中所有元素均為偶數(shù)。因此和沒(méi)有公共元素，故．故選D2．【答案】D【詳解】．故選D.3．【答案】B【詳解】由解析式可知，，可得．故選B.4．【答案】C【詳解】將5個(gè)數(shù)從小到大排序?yàn)椋?，1，5，5，8.因?yàn)?，要使第百分位?shù)為5，進(jìn)行如下討論：如果為整數(shù)，則需取數(shù)據(jù)中第個(gè)和第個(gè)的數(shù)的平均數(shù)，只可能，即．如果為非整數(shù)，則需取數(shù)據(jù)中將整數(shù)部分加1所在位置的數(shù)，所以得到或解得，綜上可得.故選C.5．【答案】A【詳解】依題意，，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，因此的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以所求系數(shù)為.故選A6．【答案】A【詳解】設(shè)，則，則，于是，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件，所以，故．故選A7．【答案】B【詳解】設(shè)單位正方體為正方體，截面為六邊形EFGHIJ．因?yàn)檫@六點(diǎn)共面，而正方體的對(duì)面相平行，所以有．因此．又由于六邊形有3個(gè)內(nèi)角是，所以其所有內(nèi)角均為．設(shè)，因?yàn)槠矫妫矫?，，所以，即三線共點(diǎn)，同理可得兩點(diǎn)．因?yàn)椋?，由勾股定理，可得，同理，，．進(jìn)而，．所以六邊形的周長(zhǎng)為．故選B8．【答案】D【詳解】依題意作圖如下：由，知．又，所以．因?yàn)橹本€與軸相交，可設(shè)直線的方程為．聯(lián)立雙曲線與直線的方程，整理得．故而．再將直線與直線及直線分別聯(lián)立，得．所以，因此線段有相同的中點(diǎn)，故．因?yàn)椋视缮溆岸ɡ恚校裕谑侵本€的斜率．故選D9．【答案】ABC【詳解】選項(xiàng)A：若且，則，，是其中較大的數(shù)，一定大于這個(gè)較大的數(shù)，充分性成立；若，說(shuō)明和都不為0（若其中一個(gè)為0，比如，則，不滿足不等式），即且，必要性成立；因此A是充要條件；選項(xiàng)B：若且，則，，故，充分性成立；若，則且，即且，必要性成立；因此B是充要條件；選項(xiàng)C：若且，則，分式有意義且分子，故分式≠0，充分性成立；若，則（分母不為0）且，因此且，必要性成立；因此C是充要條件；選項(xiàng)D：存在反例：取，，此時(shí)，滿足，但，故，不滿足“”，所以充分性不成立，因此D不是“”的充要條件.綜上，符合條件的選項(xiàng)是ABC.故選ABC.10．【答案】ABD【詳解】依據(jù)二項(xiàng)分布相關(guān)公式，．依據(jù)正態(tài)分布定義，．故而由期望可加性，A選項(xiàng)正確．由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望和方差的相關(guān)性質(zhì)，，，因此B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤．由正態(tài)分布的相關(guān)性質(zhì)，有，而，所以，D選項(xiàng)正確．故選ABD11．【答案】CD【詳解】由圖可知，，，所以，即，所以，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，由圖，，，解得，所以，又由于對(duì)任意正整數(shù)，除以4的余數(shù)總是0或1，所以，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，所以，，又因?yàn)?，所以，故C選項(xiàng)正確；令，則或，其中為整數(shù)，則或，按大小排序后，可知，代入知滿足D項(xiàng)等式，故D選項(xiàng)正確．故選CD12．【答案】【詳解】圓，即的圓心在直線上，因此該圓在軸左側(cè)的圓弧為劣弧，所對(duì)圓心角為，該圓圓心到軸距離是其半徑的一半，則，所以.13．【答案】【詳解】由題意可知，原命題的否命題：“，使得”是真命題．所以對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程都有實(shí)數(shù)解．故而對(duì)任意固定的實(shí)數(shù)都有解．即關(guān)于的不等式對(duì)任意固定的實(shí)數(shù)都有解．對(duì)不等式分情況討論：①.若,即.當(dāng)時(shí),不等式為,對(duì)任意顯然有解.當(dāng)時(shí),關(guān)于的二次函數(shù)開(kāi)口向上,其值域包含正數(shù),故對(duì)任意,總存在使得.所以符合題意.②.若,即.關(guān)于的二次函數(shù)開(kāi)口向下,其最大值為.要使不等式對(duì)任意都有解,則需要其最大值對(duì)任意都非負(fù),即對(duì)任意恒成立,這顯然是不可能的.故不符合題意.因此，的取值范圍是．14．【答案】【詳解】由條件可知，四點(diǎn)共圓，點(diǎn)在平面上的射影即為該圓的圓心，并且為全等的等腰三角形．設(shè)，則．由上可知，，所以由余弦定理得，．兩式相減，得，所以．兩式相加，得，所以．所以．設(shè)圓的半徑為，則由正弦定理知，所以．由條件，，所以由勾股定理，，可知．于是四棱錐的體積設(shè)函數(shù)，其中，求導(dǎo)得，可知在時(shí)取最大值，所以故，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由余弦定理得，.所以由，故所以，又，所以，故而.（2）由，知或.又或，所以只可能是或，分別解得或（舍去）,故只有如圖情況，即在線段上，且．于是，，故.16．【答案】（1）見(jiàn)詳解，3%（2）120；186；有99.9%的把握認(rèn)為吸煙行為和性別有關(guān)聯(lián)【詳解】（1）解：此調(diào)查方式的合理性在于，受調(diào)查者在調(diào)查過(guò)程中完全匿名，他們可以誠(chéng)實(shí)地回答敏感性問(wèn)題．每個(gè)學(xué)生從袋子里摸出1個(gè)白球或1個(gè)紅球的概率都是0.5，即我們期望有100人回答了問(wèn)題甲，因?yàn)榛卮鸶赣H的生日日期是奇數(shù)的概率為，所以在回答問(wèn)題甲的人中，大約有51人回答了“是”，因此在回答問(wèn)題乙的人中，大約有3人回答了“是”，由此估計(jì)該校學(xué)生中大約有3%的人會(huì)吸煙.（2）解：依題意知，該校男生和女生各有3000人，同（1），可以估計(jì)該校對(duì)問(wèn)題甲回答“是”的人數(shù)約為人，所以對(duì)問(wèn)題乙回答“是”的人數(shù)約為人，即吸煙人數(shù)約為306人，其中女生人數(shù)約為人，男生人數(shù)約為人，故有吸煙行為的女生約有120人，沒(méi)有吸煙行為的女生約有2880人，有吸煙行為的男生約有186人，沒(méi)有吸煙行為的男生約有2814人.作出列聯(lián)表如下：性別吸煙情況合計(jì)有吸煙無(wú)吸煙男生12028803000合計(jì)30656946000零假設(shè)：吸煙行為和性別沒(méi)有關(guān)聯(lián)，由列聯(lián)表，可知，所以，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為吸煙行為和性別有關(guān)聯(lián)，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001，所以有99.9%的把握認(rèn)為吸煙行為和性別有關(guān)聯(lián).17．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）.【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，知，又因?yàn)闉橹睆剑?，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，由圓錐的定義，可得平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）解法一：由，可得，所以．又由，所以，即，所以，故，設(shè)，則，且如圖所示，作于，因?yàn)?，所以，在直角中，由勾股定理得，所以，又因?yàn)?，設(shè)為到平面的距離，則，所以，設(shè)直線和平面所成角為，可得，所以直線和平面所成角的正弦值為.解法二：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，知，且平面，以為原點(diǎn)，以的方向分別為三軸的方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，不妨設(shè)，可得且為等邊三角形，則，所以向量，設(shè)平面的法向量為，則，取，則．所以，設(shè)直線與平面的所成角為，則，所以直線和平面所成角的正弦值為.18．【答案】（1）（2）（i）；（ii）.【詳解】（1）由橢圓與圓恰好只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，或4，如圖所示：由圖可得：則，所以橢圓的方程為.（2）解法一（i）由題意如圖所示：設(shè)，將直線的方程與圓聯(lián)立，得到：，消去，并整理得，因?yàn)椴辉谳S上，所以，且，故，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)槎荚跈E圓上，所以，兩式相減，得，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以，即，又，代入得.因?yàn)椋?，解得，故所求的值?（ii）作于，如圖所示由垂徑定理知，為中點(diǎn)，所以，故因?yàn)椋杂牲c(diǎn)到直線距離為：，即，

所以，所以，將直線的方程與橢圓聯(lián)立，得到消去，并整理得，其中，，根據(jù)韋達(dá)定理，有，所以，故，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)即，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.解法二：（i）由題意如圖所示：設(shè)，將直線的方程與圓聯(lián)立，得到：，消去，并整理得，因?yàn)椴辉谳S上，所以，且，故，所以，設(shè)點(diǎn)，將直線的方程與橢圓聯(lián)立，得到：，消去，并整理得，其中，，根據(jù)韋達(dá)定理，有，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，解?故所求的值為.（ii）如圖所示：由（i）知，，所以，故，所以，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)即，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.19．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）（i）（ii）見(jiàn)詳解【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以函數(shù)的單調(diào)性如下表所示：00↘極小值↗所以，即.（2）（i）設(shè)，則，情形1：，則，矛盾，情形2：，則，取正整數(shù)，使得，則，于是在區(qū)間內(nèi)函數(shù)存在至少一個(gè)零點(diǎn)，取其中最小的一個(gè)為，那么對(duì)任意，恒有，理由：假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得，于是在區(qū)間內(nèi)函數(shù)存在至少一個(gè)零點(diǎn)，這與的定義矛盾，故對(duì)任意，恒有，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，于是，矛盾，情形3：，則，取負(fù)整數(shù)，使得，則，于是在區(qū)間內(nèi)