/河北省百師聯(lián)盟2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列各數(shù)是數(shù)列的項(xiàng)是（

）A． B． C． D．2．已知直線，則坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為（

）A．1 B．2 C． D．3．已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．4．在等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．5．如圖，二面角的大小為，棱l上有兩點(diǎn)A，B，線段和分別在面和內(nèi)，且，.若，，則的長(zhǎng)為（

）A．10 B．8 C．6 D．6．已知圓，直線.若直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，則m的值為（

）A． B． C．3 D．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為3的直線l交拋物線C于P、Q兩點(diǎn).若，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．8．已知橢圓的左、右兩焦點(diǎn)分別是、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，的周長(zhǎng)為B．當(dāng)直線的斜率存在，且時(shí)，若弦的中點(diǎn)為，則C．當(dāng)直線軸時(shí)，若，則橢圓的離心率D．若，則橢圓的離心率的取值范圍是二、多選題9．下列說法正確的有（

）A．直線的斜率為3B．過點(diǎn)，的直線方程為C．圓的圓心為，半徑為1D．若，則直線與直線平行10．已知遞增等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．是公差為1的等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列.11．已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 D．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列三、填空題12．在等差數(shù)列中，，，則公差的取值范圍是.13．已知直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)之積為，則.14．已知空間三點(diǎn)，，，則的形狀為.四、解答題15．正項(xiàng)數(shù)列滿足，對(duì)一切，有；為數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.16．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為.P為橢圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)，面積的最大值為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，證明：的平分線在x軸上.17．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列為公比大于0的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．已知在正項(xiàng)數(shù)列中，且，其中為數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)于任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和及使的n的最小值.19．如圖，在四棱錐中，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，.（1）設(shè)棱的中點(diǎn)為，求直線與平面所成角的正弦值.（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案1．【答案】C【詳解】易知數(shù)列為遞增數(shù)列，且，，，，，故選C.2．【答案】B【詳解】坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為.故選B.3．【答案】A【詳解】因?yàn)殡p曲線的虛軸長(zhǎng)為4，所以，則，所以，所以雙曲線C的離心率為.故選A.4．【答案】D【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為．因?yàn)?，所以，解得．所以，所以．故選D.5．【答案】A【詳解】由題意得，所以．因?yàn)?，二面角的大小為，所以，．因?yàn)椋?，所?故選A.6．【答案】B【詳解】直線的方程可化為，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)?，即點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，直線的斜率為，又，由，解得.故選B.7．【答案】D【詳解】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線方程為．因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且斜率為3，所以直線的方程為．由消去，整理得．因?yàn)?，所以設(shè)，則，．因?yàn)?，所以，即，即，因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以．所以，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選D．8．【答案】C【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，的周長(zhǎng)為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)直線的斜率存在，且時(shí)，則線段的中點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，設(shè)點(diǎn)、，則，所以，，則，因?yàn)?，兩式作差可得，所以，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)直線軸時(shí)，點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則，由勾股定理可得，由橢圓定義可得，故該橢圓的離心率為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，且，則，易知，，則，即，因?yàn)椋?，所以，故，所以，故，故該橢圓的離心率的取值范圍是，D錯(cuò).故選C.9．【答案】ABD【詳解】對(duì)A，直線的斜截式方程為，所以直線的斜率為3，故A正確．對(duì)B，因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線的斜率為，所以直線的斜截式方程為，一般式方程為，故B正確．對(duì)C，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為點(diǎn)，半徑為1，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，可化為，所以，故D正確.故選ABD．10．【答案】BD【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，，所以．因?yàn)椋?，解得或（舍去），所以?因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確；因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為0，公差為的等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，故D正確．故選BD．11．【答案】ABD【詳解】由，，可得，即有，由，可得，故數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為3的等比數(shù)列，則，即，故A，B正確；由時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不符合上式，則，故C錯(cuò)誤；由，，，但，即數(shù)列不為等比數(shù)列，故D正確．故選ABD．12．【答案】【詳解】等差數(shù)列中，，，所以，解得，即公差的取值范圍是．13．【答案】【詳解】由直線與雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，點(diǎn)在第一象限，則．由題意得，解得．代入雙曲線的方程，得，解得．因?yàn)?，所以?4．【答案】等腰直角三角形【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，，，，且，為等腰直角三角形．15．【答案】（1）見詳解，，（2）.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以?shù)列是常數(shù)列，設(shè)（c為常數(shù)），則,所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，所以．?）由（1）得，所以．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椴粷M足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為16．【答案】（1）；（2）見詳解.【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，為，由題意得．因?yàn)殡x心率，所以，所以．因?yàn)?，所以．解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由橢圓與直線的軸對(duì)稱性知，點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，又點(diǎn)在軸上，所以的平分線在軸上．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，由題意知，．由（1）知，點(diǎn)，則直線的方程為．由消去，整理得．恒成立，設(shè)，則．設(shè)直線的斜率分別為．因?yàn)辄c(diǎn)，所以，所以.將代入，得，所以直線關(guān)于軸對(duì)稱，即的平分線在軸上．綜上，的平分線在軸上．17．【答案】（1），，；（2）.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，所以．因?yàn)閿?shù)列為公比大于0的等比數(shù)列，且，設(shè)公比為，則，解得或（舍去），所以．所以．（2）由（1）可得，所以①．②．①②得，所以．18．【答案】（1）；（2）；（3），最小值為4.【詳解】（1）在數(shù)列中，①，又因?yàn)棰?，所以得．又因?yàn)?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，，因?yàn)閷?duì)于任意恒成立，所以恒成立．設(shè)，則，當(dāng)和時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列的最大項(xiàng)是，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．（3）由（1）知，所以．所以，所以.由，得，即．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，，所以使的的最小值是4．19．【答案】（1）（2）存在，【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，由為等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，由底面為直角梯形，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為