/河北省七校2026屆高三上學期高考模擬聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．設復數(shù)，則（

）A． B．C． D．3．已知向量，則（

）A． B．C． D．4．若函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則（

）A． B．1C．ln3 D．5．魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關于測量的數(shù)學著作，其中第三題是測量方邑的問題．如圖，點在方邑東表的延長線上，和是兩個垂直于東表的延長線且等長的測量標桿．某興趣小組采用現(xiàn)代測量方法，測得，兩標桿間的距離為，則（

）A． B．C． D．6．若函數(shù)（且）的最大值為3，則（

）A． B． C．2 D．37．在等比數(shù)列中，若，則（

）A． B． C． D．8．已知是函數(shù)的兩個零點，則的值不可能為（

）A． B．0 C． D．二、多選題9．在的展開式中，下列說法正確的是（

）A．二項式系數(shù)最大的項是第4項B．所有項的系數(shù)之和為1C．含的項的系數(shù)為D．常數(shù)項為10．如圖，在正四棱柱中，分別是的中點，則（

）A．平面B．C．平面D．平面11．已知拋物線的準線的方程為，過點的直線與交于兩點（點在第一象限），直線為坐標原點）分別交于兩點，分別為線段的中點，則（

）A．B．以為直徑的圓恒過定點C．D．的面積不超過四邊形的面積的三、填空題12．若橢圓（且）的焦距為6，則．13．已知函數(shù)，其導函數(shù)的圖象如圖所示，則，．14．現(xiàn)有甲、乙兩個箱子，甲中有2個黑球，乙中有2個白球．每次從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，搖勻后再從乙箱中隨機取出一球放入甲箱，稱為“一次操作”．連續(xù)進行2次操作后，記甲箱中黑球的數(shù)量為，則．四、解答題15．已知數(shù)列的首項，且．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）令，求數(shù)列的前項和．16．為了提高利潤，某果園每年投入一定的資金，對種植、采摘、包裝、宣傳等環(huán)節(jié)進行改進．如圖，這是2016年至2025年該果園每年的投資金額（單位：萬元）與年利潤增量（單位：萬元）的散點圖．模型①由最小二乘法可求得與的經(jīng)驗回歸方程為；模型②由圖中樣本點的分布，可以認為樣本點集中在曲線的附近，令，則，且有．（1）根據(jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中關于的經(jīng)驗回歸方程；（2）已知2025年的投資金額為20萬，年利潤增量為40萬，分析這兩種模型在2025年時哪個模型的預報效果更好．參考公式與數(shù)據(jù)：．17．如圖，四棱錐的底面是菱形，是的中點，是的中點，．（1）證明：平面．（2）證明：平面．（3）若，求與平面所成角的正弦值．18．已知雙曲線的離心率為，焦距為4．（1）求雙曲線的標準方程．（2）過雙曲線的左焦點的直線與雙曲線交于兩點，的中點為，點的軌跡為曲線．（i）求的方程．（ii）已知點在曲線上，點在軸的右側，點在軸的左側，為坐標原點，直線與直線分別交于點．求證：.19．已知函數(shù)．（1）當時，求在上的最大值．（2）當時，證明：在上單調遞增．（3）證明：，使得．

參考答案1．【答案】C【詳解】不等式，得，則，而，所以.故選C2．【答案】C【詳解】因為復數(shù),所以，則故選C.3．【答案】B【詳解】由，得，而，因此，所以.故選B4．【答案】D【詳解】由函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱，得，求導得，所以.故選D5．【答案】D【詳解】延長交于，依題意，，在中，，由正弦定理得，則，在中，，，所以.故選D6．【答案】B【詳解】函數(shù)中，，解得，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，當，，其值域為，而函數(shù)在上單調遞增，因此函數(shù)的值域為，當時，函數(shù)在上單調遞減，值域為，無最大值，不符合題意；當時，函數(shù)在上單調遞增，當時，，解得，符合題意，所以.故選B7．【答案】B【詳解】由，得所以，即，所以；所以，得到；故選B.8．【答案】C【詳解】由是函數(shù)的兩個零點，得，，則，而，則，當時，，，解得，而，則；當時，，，解得，而，則；當時，，，解得，而，則，因此的值可能是，ABD均可能，C不可能.故選C9．【答案】BC【詳解】對于A，由，則其展開式共有項，中間為第項，所以二項式系數(shù)最大的項為第項，故A錯誤；對于B，令，則，所以所有項的系數(shù)之和為，故B正確；對于CD，由，則其展開式的通項，令，解得，則含的項的系數(shù)為，故C正確；令，該方程無整數(shù)解，則展開式中無常數(shù)項，故D錯誤.故選BC.10．【答案】AB【詳解】在正四棱柱中，令，則，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面、平面的法向量分別為，則，取，得；，取，得，對于A，，，即，而平面，因此平面，A正確；對于B，，，即，因此，B正確；對于C，，即向量不垂直，因此與平面不平行，C錯誤；對于D，，而，向量與不共線，因此與平面不垂直，D錯誤.故選AB11．【答案】ABD【詳解】對于A，由拋物線準線的方程為，得，A正確；設，由消去并整理得，設，則，，因此，即，以為直徑的圓恒過定點，B正確；對于C，取的中點，連接，則且，且，C錯誤；對于D，取的中點，連接，，由圖知點到直線的距離不大于點到直線的距離，則，由，得，，因此的面積不超過四邊形面積的，D正確.故選ABD12．【答案】【詳解】由焦距為6，結合橢圓方程可得，，解得或，因為，所以.13．【答案】【詳解】求導得到，由導函數(shù)圖象可知，，即，得到，所以，所以是方程的兩個根由韋達定理得到，所以14．【答案】/【詳解】依題意，的可能值為0，1，2，的事件是第1次操作甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，其概率為，第2次操作是甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，其概率為，因此；的事件是甲取黑球放入乙，乙取黑球放入甲，再重復上次操作的事件，與甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，甲取白球放入乙，乙取黑球放入甲的事件的和，因此，，，所以.15．【答案】（1）見詳解；（2）【詳解】（1）因為，，所以，由，兩邊同時除以可得：，兩邊再同時乘以可得：，又，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．（2）由（1）可得：，則，即，所以.16．【答案】（1）；（2）模型②.【詳解】（1）由，得，則，，所以模型②中關于的經(jīng)驗回歸方程為.（2）模型①，，當時，年利潤增量，模型②，，當時，，因此年利潤增量，而，所以模型②的預報效果更好.17．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）【詳解】（1）設,連接,所以,因為，所以,所以為中點；又因為是的中點，所以是三角形的中位線；所以,又因為平面，平面，所以平面．（2）因為底面是菱形，所以;又因為，,平面,所以平面,因為平面,所以又因為，,平面,所以平面.（3）在平面內，過點作,所以因為平面，以點為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：設因為在菱形中，，所以都是等邊三角形，所以所以,因為是的中點，所以,則,設平面的法向量為則，即，令，得到設與平面所成角為，則.18．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，焦距為4，得半焦距，，則，所以雙曲線的標準方程為.（2）（i），當直線不垂直于時，設其方程為，，由消去得，，設，則，，于是，，整理得，當直線垂直于時，由對稱性不妨令，則，其坐標滿足，所以的方程為.（ii）設直線的方程為，，由消去得，，，，直線，直線，則，，，所以.19．【答案】（1）；（2）見詳解；（3）見詳解.【詳解】（1）當時，