/河南省漯河市臨潁縣博雅學(xué)校2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．?dāng)?shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（

）A． B． C． D．2．若是空間的一個基底，且向量，則叫向量在基底下的坐標(biāo)，已知是空間的一個基底，是空間的另一個基底，一個向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．4．、分別為與上任意一點，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．65．設(shè)圓錐曲線的兩個焦點分別為，若曲線上存在點滿足，則曲線的離心率等于A．或 B．或 C．或 D．或6．如圖，直徑為4的球放在地面上，球上方有一點光源，則球在地面上的投影為以球與地面切點為一個焦點的橢圓，已知是橢圓的長軸，垂直于地面且與球相切，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知某運動員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機模擬的方式估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算機產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定表示命中，表示不命中；再以三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下12組隨機數(shù)：，據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A． B． C． D．8．已知平面，，兩兩垂直，直線a，b，c滿足，，，則直線a，b，c不可能滿足以下哪種關(guān)系（

）A．兩兩垂直 B．兩兩異面 C．兩兩相交 D．兩兩平行二、多選題9．在正三棱臺中，，，點是線段上的動點，則下列選項中正確的是（

）A．B．直線與直線所成角的取值范圍為C．存在點使得平面D．存在點使得平面10．已知點是雙曲線的左?右焦點，是雙曲線右支上的一點，且，，則（

）A．B．的面積為C．雙曲線的離心率為D．直線是雙曲線的一條漸近線11．已知拋物線的焦點為F，直線的斜率為且經(jīng)過點F，直線l與拋物線C交于點A，B兩點（點A在第一象限）、與拋物線的準(zhǔn)線交于點D，若，則以下結(jié)論正確的有（

）A． B．F為中點C． D．三、填空題12．已知，是雙曲線的左、右焦點，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于A，B兩點若，則雙曲線的離心率的取值范圍是13．若圓被直線平分，則圓C的半徑為．14．曲線的圖象上有一動點，則在此動點處切線的斜率的取值范圍為.四、解答題15．已知橢圓過點，且焦距為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點的直線與橢圓交于不同的兩點，求直線的斜率的取值范圍．16．已知點，，直線，相交于，且它們的斜率之積為．（1）求動點的軌跡方程；（2）若過點的直線交點的軌跡于，兩點，且為線段的中點，求直線的方程．17．已知點為拋物線的焦點，過點的動直線與拋物線C交于,兩點，如圖．當(dāng)直線與軸垂直時，．（1）求拋物線C的方程；（2）已知點,設(shè)直線PM的斜率為，直線PN的斜率為．請判斷是否為定值，若是，寫出這個定值，并證明你的結(jié)論；若不是，說明理由．18．如圖，在棱長是2的正方體中，為的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求點到平面的距離.19．已知橢圓的左頂點為，下頂點為，且過點（1）求點的坐標(biāo)；（2）若直線上存在一點，上存在一點，使是以為直角頂點的等腰直角三角形，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案1．【答案】A【詳解】因為，所以，所以，故選A2．【答案】B【詳解】設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，則，在下的坐標(biāo)為，，由得，，即在下的坐標(biāo)為．故選B．3．【答案】C【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即．故選C.4．【答案】B【詳解】因直線與直線互相平行，、是兩直線上的點，故當(dāng)且僅當(dāng)為兩直線的公垂線段時，取得最小值，即的最小值為兩直線之間的距離，為.故選B.5．【答案】A【詳解】因為，所以可設(shè)，若曲線為橢圓則，則；若曲線為雙曲線則，，∴，故選.6．【答案】B【詳解】平面截球得到球面大圓，如圖，是球大圓的外切三角形，其中切圓于點，則有，，，，，，，，，，，，，為橢圓的一個焦點，，，.故選B.7．【答案】A【詳解】這12組隨機數(shù)中，表示該運動員三次投籃恰有兩次命中的有：共3組，故該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為.故選A.8．【答案】D【詳解】如圖1，可得，，可能兩兩垂直，故A正確；如圖2，可得，，可能兩兩相交，故C正確；如圖3，可得，，可能兩兩異面，故B正確；

對D，設(shè)，且與均不重合，假設(shè)：，由可得：，，又，可知，，又，可得：，因為兩兩互相垂直，可知與相交，即與相交或異面，若與或重合，同理可得與相交或異面，可知假設(shè)錯誤，由此可知三條直線不能兩兩平行，故D錯誤.故選D.9．【答案】BCD【詳解】將正三棱臺補成如圖所示的正三棱錐，因為，則，所以為的中點，過作于，由正三棱臺的性質(zhì)得，又，則，過作平面于，則是的中心，連接并延長交于，易知為的中點，由，易得，，，所以，設(shè)平面于，連接并延長交于，易知為的中點，易得，，，過作交于，則，過點作直線平面，以所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，對于A選項，，則，所以不垂直，故A錯誤；對于B選項，設(shè)，因為，設(shè)直線與直線所成的角為，則，又，令，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，則，故，則，又，所以，故B正確；對于C選項，當(dāng)與重合時，此時即，易知，又平面，平面所以平面，故C正確，對于D選項，由選項B知，又則，得到，解得，故當(dāng)與重合時，平面，故D正確，故選BCD.10．【答案】ACD【詳解】

由雙曲線的定義可得，，，故A正確；因為，故的面積為，故B錯誤；由勾股定理得，即，所以，故C正確；因為，所以，即，所以雙曲線的漸近線方程為，故D正確，故選ACD.11．【答案】BCD【詳解】如圖所示：作準(zhǔn)線l于點C，軸于M，準(zhǔn)線l于點E．直線的斜率為，

所以∴，故，代入拋物線，得（舍去）；，所以，故F為中點；又，故；，，故．故選BCD．12．【答案】【詳解】已知，是雙曲線的左、右焦點，所以.以為圓心，為半徑的圓的方程為，雙曲線的一條漸近線為，聯(lián)立漸近線與圓的方程得，化簡得，設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理得.所以.而，所以有，化簡得，所以解得，又，所以.13．【答案】【詳解】若圓被直線平分，則直線過圓心，圓的圓心為，即，解得：，則圓，則圓的半徑為．14．【答案】【詳解】，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率的取值范圍為.15．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）將代入橢圓方程可得，又，即，且，解得，，所以橢圓方程為；（2）當(dāng)不存在時，顯然不滿足題意，故存在，不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，解得，即的取值范圍是16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)，直線，相交于，且它們的斜率之積為，，化簡得，則動點的軌跡方程為；（2）由（1）得的軌跡方程為，設(shè)點，，則有，，得：，整理得：，為的中點，，，直線的斜率，直線的方程為，即.17．【答案】（1）（2）是定值0【詳解】（1）依題意得，∵與軸垂直，且，∴，又∵點在拋物線上，∴，∴，故求拋物線C的方程為；（2）設(shè)直線與拋物線交于不同兩點，，①當(dāng)直線斜率不存在時，知直線與關(guān)于軸對稱，故；②當(dāng)直線斜率存在時，直線的方程設(shè)為，，聯(lián)立，得則，．又∵，，且，，∴，綜上，可得為定值．18．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因為正方體棱長為2，故以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，，，，，.因為，，所以，因為異面直線與所成角是銳角，所以異面直線與所成角的余弦值是.（2）設(shè)平面的法向量是，則，，即，