/河南省濮陽市2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，，若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．3．已知，且為第三象限角.復(fù)數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．4．世界上第一個太陽灶設(shè)計者是法國的穆肖，1860年他奉拿破侖三世之命，研究用拋物面鏡反射太陽能集中到懸掛的鍋上，供駐在非洲的法軍使用．目前世界上太陽灶的利用相當(dāng)廣泛，技術(shù)也比較成熟，它不僅可以節(jié)約煤炭、電力、天然氣，而且十分干凈，毫無污染，是一個可望得到大力推廣的太陽能利用裝置．如圖是某學(xué)校數(shù)學(xué)小組制作了一個太陽灶模型，其口徑為1m，高為0.25m的拋物面，則其軸截面所在拋物線的頂點到焦點的距離為（

）A．0.25 B．0.5 C．1 D．25．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B．2 C．2025 D．6．已知實數(shù)滿足，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．37．如圖，正方體中，分別為線段、的中點，聯(lián)結(jié)，對空間任意兩點，若線段與線段不相交或與線段不相交，則稱兩點可視，下列選項中與點不可視的為（

）A．點A B．點 C．點Q D．點8．設(shè)是函數(shù)與函數(shù)的圖象連續(xù)相鄰的三個交點，若是銳角三角形，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是，極差為，則下列判斷正確的是（

）A．若，則的平均數(shù)為B．若，則的方差為0C．若的極差是，則D．若，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是10．已知曲線：，則下列判斷正確的是（

）A．曲線既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形B．曲線上的點與原點的最小距離為C．曲線在第一、四象限的任意一點到點的距離與其橫坐標(biāo)之差為定值D．直線：，則該直線與曲線無公共點的充要條件為且11．已知等比數(shù)列的前n項和為滿足，數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（

）A．B．設(shè)，，則的最小值為12．C．若對任意的恒成立，則D．設(shè)若數(shù)列的前n項和為，則三、填空題12．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．13．已知實數(shù)，則的最小值是.14．“朗博變形”是借助指數(shù)運算或?qū)?shù)運算，將化成，的變形技巧.已知函數(shù)，，若，則的最大值為.四、解答題15．已知函數(shù)在處的切線與直線平行，其中.（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.16．如圖所示的幾何體中，底面是菱形，，平面，，，且平面平面.

（1）在線段上是否存在點，使得四點共面？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由.（2）若，求二面角的余弦值.17．中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知．（1）證明：；（2）延長至點，使得，試探究是否為定值？并說明理由．18．設(shè)斜率為的直線交橢圓于、兩點，點為弦的中點，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點，假設(shè)，都存在）．（1）求的值；（2）把上述橢圓，一般化為，其他條件不變，試猜想與的關(guān)系（不需要證明）．請你給出雙曲線中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．（3）分析（2）中的探究結(jié)果，并作出進一步概括，使上述結(jié)果都是你所概括命題的特例．如果概括后的命題中的直線過原點，為概括后命題中曲線上一動點，借助直線及動點，請你提出一個有意義的數(shù)學(xué)問題，并予以解決．19．在計算機圖形學(xué)和幾何算法中，通過多邊形剖分，可以簡化算法的實現(xiàn)，提高計算效率，并且減少碰撞檢測等操作的復(fù)雜性．例如，在游戲中，多邊形剖分可以用于處理角色的碰撞檢測，使得游戲角色與環(huán)境的交互更加真實和精確．?dāng)?shù)學(xué)研究領(lǐng)域中，與凸多邊形剖分的相關(guān)概念、記法與定理表述如下：定義1邊形內(nèi)任意兩點的連線線段都在該邊形內(nèi)，則稱其為凸邊形．定義2一個凸邊形可以通過不相交于邊形內(nèi)部的對角線把邊形拆分成若干三角形，這稱為凸邊形的一種三角剖分．將一個凸邊形不同的三角剖分種數(shù)記為，這里規(guī)定取大于等于的正整數(shù)，且．定理1．定理2當(dāng)時，．根據(jù)上述內(nèi)容，解答下面問題：(1)已知一個凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列，其中最小的內(nèi)角為，公差為，求；(2)寫出的值；(3)求（i）關(guān)于的表達式；（ii）關(guān)于的表達式．（可用組合數(shù)表示）

參考答案1．【答案】B【詳解】因為，所以，又，所以.故選B.2．【答案】C【詳解】因為，，則，由，得，即，所以，解得．故選C．3．【答案】A【詳解】由且為第三象限角，可得，所以，可得，所以.故選A.4．【答案】A【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，由圖可得點在拋物線上，即，解得，故軸截面所在拋物線的頂點到焦點的距離為.故選A.5．【答案】B【詳解】因為，則，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時，，整理得，即，解得（舍）或，若，，所以；當(dāng)時，，解得，所以，綜上，.故選B.6．【答案】D【詳解】由題設(shè)，則或時，時，，所以在上遞增，在上遞減，且，由，即，而在R上遞增，在R上遞減，顯然，故，所以，又趨向時趨向趨向時趨向，綜上，共有3個零點．故選D7．【答案】B【詳解】對于A，連接，因為平面，平面，且，所以直線與是異面直線，所以點與點可視，故A錯誤；對于B，如圖，連接，得平面，且與相交，連接，因為，，所以四邊形是平行四邊形，得與相交，所以點與點不可視，故B正確；對于C，如圖，連接，，因為平面，平面，且，所以直線與是異面直線，所以點與點可視，故C錯誤；對于D，如圖，連接，，因為平面，平面，且，所以直線與是異面直線，所以點與點可視，故D錯誤.故選B.8．【答案】B【詳解】由已知條件及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式得：所以函數(shù)的周期，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，如圖所示：因為為連續(xù)三交點，（不妨設(shè)在軸下方），為的中點，由對稱性知，是以為底邊的等腰三角形，所以，由展開整理得：，又，所以，設(shè)點的縱坐標(biāo)分別為，則，即，要使為銳角三角形，則，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時滿足要求，此時，解得，所以的取值范圍是.故選B.9．【答案】AB【詳解】對于A，由原數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A正確；對于B，由原數(shù)據(jù)的方差是，可得新數(shù)據(jù)的方差為，故B正確；對于C，若樣本數(shù)據(jù)為，則其極差為，此時數(shù)據(jù)為，則其極差，即，故C錯誤；對于D，由，所以數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是，故D錯誤；故選AB10．【答案】AD【詳解】曲線，作出其圖象，如圖所示，觀察可得的圖象關(guān)于，軸對稱，且關(guān)于原點中心對稱；A正確；曲線上的點與原點的距離為，B錯誤；拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，曲線落在第一、四象限的任意一點到焦點的距離與到其準(zhǔn)線的距離相等，故曲線在第一，四象限的任意一點到點的距離與其橫坐標(biāo)之差為定值，C錯誤；若，考慮對稱性，只需研究若，當(dāng)時，一次函數(shù)增加的速度比函數(shù)快.故當(dāng)時，若，則圖象與的圖象一定有交點.若，根據(jù)的圖象與的圖象變化情況可得的圖象與曲線的圖象一定有交點，故當(dāng)且僅當(dāng)，時，直線與曲線無公共點，D正確，故選:AD.

11．【答案】CD【詳解】由為等比數(shù)列，其前n項和，則，故A不正確；由，，令，則當(dāng)，時，，當(dāng)，時則，故B不正確；由，可得，則，若對恒成立，即對恒成立，令，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，則，故C正確；，則，故D正確.故答案為：CD12．【答案】【詳解】解：因為的定義域為，則，即，所以的定義域為，又，所以函數(shù)的定義域為.13．【答案】【詳解】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，則的最小值是.14．【答案】/【詳解】由，得，即，所以，，令，則對任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，所以，令，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.15．【答案】（1）（2）最大值為，最小值為【詳解】（1）由題可得：，則，故；（2），當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．則.故的最大值為，最小值為．16．【答案】（1）存在，見詳解（2）【詳解】（1）線段上存在點，且為的中點，使得四點共面.證明如下：連接.∵四邊形是菱形，.又平面，平面，.又，平面，平面.連接.∵為的中點，，.又平面平面，平面平面，平面，平面.，（垂直于同一個平面的兩條直線互相平行），∴在線段上存在點，且為的中點，使得四點共面.（2）取的中點，連接，設(shè)交于點，連接，，則，且.平面，平面.又，∴以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

∵底面是菱形，，，.，.由（1）知，∴四邊形是矩形，，∴，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則.設(shè)平面的法向量為，所以，即，取，則.，由圖易知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.解法二：設(shè)二面角的大小為，由平面平面，可得二面角的大小為，則.連接，設(shè)與的交點為，過點作于點，連接，由（1）知平面，則，又，所以平面，所以，則為二面角的平面角.易知，，，所以，所以，所以二面角的余弦值為.17．【答案】（1）見詳解（2）是，理由見詳解【詳解】（1）因為，所以，所以，由正弦定理和余弦定理，得，所以，即，解得或，若，則，又，所以，，此時，有，即，所以．（2）因為，所以．因為，所以，所以，即，又，所以，所以，所以，為定值．18．【答案】（1）（2），見詳解（3）直線過原點，為曲線上一動點，設(shè)直線交曲線于、兩點，當(dāng)異于、兩點時，如果直線、的斜率都存在，則它們斜率的積為與點無關(guān)的定值．見詳解【詳解】（1）設(shè)點、，中點，則，，，，又與作差得，所以．（2）對于橢圓，有．已知斜率為的直線交雙曲線于、兩點，點為弦的中點，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點，假設(shè)、都存在），則的值為．設(shè)點、，中點．則，，，．又因為點、在雙曲線上，則與作差得，即．（3）對（2）的概括：設(shè)斜率為的直線交曲線于、兩點，點為弦的中點，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點，假設(shè)、