/湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2025?2026學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列表述中正確的是（

）A． B．C． D．2．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．下列命題中的真命題是（

）A．B．C．函數(shù)和函數(shù)的圖象在定義域內(nèi)有且只有三個(gè)交點(diǎn)D．“”是“”的充要條件4．利用二分法求方程的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是（

）A． B． C． D．5．若函數(shù)，且滿足對任意的實(shí)數(shù)都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．17．設(shè)，則取最小值時(shí)，的值是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，，都有，記，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A．0 B． C．1 D．310．設(shè)，且，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．11．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上是減函數(shù) D．的值域是三、填空題12．計(jì)算：.13．已知函數(shù)，則不等式的解集為.14．已知集合，，設(shè)，且，又中所有元素之和為234，則，.四、解答題15．（1）設(shè)集合，，求；（2）設(shè)命題：對任意，不等式恒成立，命題：存在，使得不等式成立，若命題、都是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．十九大指出中國的電動(dòng)汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃，2025年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本4000萬元，每生產(chǎn)（百輛）需另投入成本（萬元），且，由市場調(diào)研知，每輛車售價(jià)6萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.（1）求出2025年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式：（利潤=銷售額-成本）（2）當(dāng)2025年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.17．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.（1）求證：當(dāng)時(shí)，恒有；（2）求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）若，求不等式的解.18．“函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱”的充要條件是“函數(shù)對定義域內(nèi)的任意都滿足.（1）若定義在上的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且當(dāng)時(shí)，，①求函數(shù)的解析式；②對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）類比上述結(jié)論，得到以下真命題：“函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱”的充要條件是“函數(shù)對定義域內(nèi)的任意都滿足”.若定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且當(dāng)時(shí)，.①判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并且證明；②關(guān)于的方程在上有四個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．用表示中的最小值，用表示中的最大值.（1）已知，求的值；（2）已知，求的最大值；（3）已知，函數(shù)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

參考答案1．【答案】B【詳解】對于A，是含一個(gè)元素0的集合，不含任何元素，故A錯(cuò)誤；對于B，集合元素具有無序性，故正確；對于C，是包含空集的集合（有一個(gè)元素），是空集（無元素），故錯(cuò)誤；對于D，表示有序數(shù)對的集合，表示有序數(shù)對的集合，有序數(shù)對與不相等，故這兩集合不相等，故錯(cuò)誤；故選B2．【答案】A【詳解】由得：，∴，解得：，；由得：；“”是“”的充分不必要條件，則A是B的真子集，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，則需滿足；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選A.3．【答案】C【詳解】對于A，因?yàn)?，所以不存在，滿足，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，即不成立，故B錯(cuò)誤；對于C，由作圖可知，兩函數(shù)圖象在第二象限有一個(gè)交點(diǎn)，在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，故共有三個(gè)交點(diǎn)，即C正確；對于D，由“”易得“”，即“充分性”成立；若“”，則“”不成立，如，滿足，但推不出，即“必要性”不成立.故“”是“”的充分不必要條件，故D錯(cuò)誤.故選C.4．【答案】C【詳解】解：由得，構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以的零點(diǎn)位于區(qū)間，也即方程的近似解在區(qū)間.故選C5．【答案】C【詳解】解：∵對任意的實(shí)數(shù)都有成立，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴,解得，故選C6．【答案】D【詳解】，當(dāng)，，當(dāng)，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵函數(shù)是一個(gè)開口向下的二次函數(shù)，∴的一個(gè)根小于等于0，一個(gè)根為1，則，，所以的最大值為1，故選D7．【答案】D【詳解】因?yàn)椋驗(yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，，即，，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí).故選D.8．【答案】B【詳解】構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)為偶函數(shù)，不妨設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，即，因此函?shù)在上單調(diào)遞增；又由于，故.故選:B9．【答案】ABC【詳解】由集合，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，即方程無實(shí)根，可得；當(dāng)時(shí)，可得，若，解得，此時(shí)，滿足；若，解得，此時(shí)，滿足，綜上可得，實(shí)數(shù)的值可以是或或.故選ABC.10．【答案】AC【詳解】解：選項(xiàng)A：因?yàn)?，且，由可?又，解得，故A正確，選項(xiàng)B：由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，解得，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，故C正確，選項(xiàng)D：方法一：代入，故D錯(cuò)誤，方法二：赫爾德不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故的最小值為，小于，故D錯(cuò)誤；方法三：權(quán)方和不等式，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，小于，故D錯(cuò)誤；故選AC.11．【答案】BCD【詳解】∵，，∴，則不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；∵的定義域?yàn)?，，∴為奇函?shù)，故B正確；∵，又在上單調(diào)遞增，∴在上是減函數(shù)，故C正確；∵，∴，則，可得即，∴，故D正確.故選BCD.12．【答案】/【詳解】根據(jù)指數(shù)冪與對數(shù)的運(yùn)算公式，可得：13．【答案】【詳解】令，函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，由，即為定義在上的奇函數(shù).因和為增函數(shù)，設(shè)，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，則在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù).則等價(jià)于，即，所以，解得.14．【答案】115【詳解】因?yàn)椋?，所以因?yàn)?，所以，，?則,顯然結(jié)合中最小的元素不小于4，此時(shí)無法滿足,所以,因?yàn)椋砸驗(yàn)樗灾斜囟ㄓ幸粋€(gè)為3，若，則，由于中所有元素之和為234，故，此方程沒有整數(shù)解，故不成立，所以，此時(shí)，因?yàn)橹兴性刂蜑?34，故，因?yàn)?，故?dāng)，中無正整數(shù)解，所以當(dāng)，則，無整數(shù)解，當(dāng)，則，解得或（舍），所以，此時(shí)，滿足題意所以.15．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由，得集合，由，得集合，則；（2）命題：對任意，不等式恒成立，即，當(dāng)時(shí)，取到最小值，∴，∴所以為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.命題：存在，使得不等式成立，只需，而在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值為，∴，故命題都是真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．【答案】（1）（2）2025年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為2300萬元【詳解】（1）每輛售價(jià)6萬元，產(chǎn)量x（百輛）對應(yīng)100x輛，故銷售額為（萬元）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，這個(gè)二次函數(shù)的對稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，為最大值，當(dāng)時(shí)，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴，即當(dāng)時(shí)，取到最大值2300，∵，∴當(dāng)時(shí)，即2025年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為2300萬元.17．【答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）【詳解】（1）證明：已知定義在上的函數(shù)滿足，令，則，又當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，則.在中，令，有，所以，綜上：當(dāng)時(shí)，恒有（2）證明：設(shè)是上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則，且，，由第一問可知當(dāng)時(shí)，恒有，且，所以，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）若，求不等式的解，在中，令，則，即，令，則，不等式等價(jià)于，即，即，所以不等式的解集為.18．【答案】（1）①；②（2）①單調(diào)遞增，見詳解；②【詳解】（1）解：①因?yàn)槎x在上的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)闀r(shí)，設(shè)，則，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，所以函數(shù)的解析式為.②當(dāng)時(shí)，，可得在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，且，即函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且為的奇函數(shù)，由對于任意的，不等式恒成立，即對于任意的，等價(jià)于恒成立，即對于任意的，等價(jià)于恒成立，因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）解：①因?yàn)槎x在上的函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且當(dāng)時(shí)，，由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)，且，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增；②由①知，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，即，解得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，即，解得，所以函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，分別為，因?yàn)榉匠淘谏嫌兴膫€(gè)不同的零點(diǎn)，所以原方程等價(jià)于有且只有異于上述三個(gè)零點(diǎn)的一個(gè)根，由①知在和上單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，要使得只有一個(gè)根，即與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．【答案】（1）（2）（3）2個(gè)【詳解】（1）由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，即，又由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，即又因?yàn)樗裕?）解法一：由，可得則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號(hào)，所以的最大值為.解法二：由，可得，下面研究的最大值：（此處可以把除下來變?yōu)閷春瘮?shù)求也行），令，則有，由及可得，故的最大值為，接下來驗(yàn)證等號(hào)的條件當(dāng)