2026屆浙江省溫州市溫州中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線l，m，平面α，β，，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．若向量，，則（）A. B.C. D.3．在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.4．已知奇函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.5．用反證法證明“若a，b∈R，，則a，b不全為0”時，假設(shè)正確的是（）A.a，b中只有一個為0 B.a，b至少一個不為0C.a，b至少有一個為0 D.a，b全為06．已知函數(shù)，若對任意兩個不等的正數(shù)，，都有恒成立，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.7．某社區(qū)醫(yī)院為了了解社區(qū)老人與兒童每月患感冒的人數(shù)y（人）與月平均氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4個月的患?。ǜ忻埃┤藬?shù)與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x（℃）171382月患病y（人）24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的，氣象部門預(yù)測下個月的平均氣溫約為9℃，據(jù)此估計該社區(qū)下個月老年人與兒童患病人數(shù)約為（）A.38 B.40C.46 D.588．已知函數(shù)，則（）A. B.0C. D.19．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A. B.C. D.10．函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）A. B.C. D.11．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A. B.C. D.12．設(shè)函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國民間剪紙藝術(shù)在剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.現(xiàn)有一張半徑為的圓形紙，對折次可以得到兩個規(guī)格相同的圖形，將其中之一進行第次對折后，就會得到三個圖形，其中有兩個規(guī)格相同，取規(guī)格相同的兩個之一進行第次對折后，就會得到四個圖形，其中依然有兩個規(guī)格相同，以此類推，每次對折后都會有兩個圖形規(guī)格相同.如果把次對折后得到的不同規(guī)格的圖形面積和用表示，由題意知，，則________；如果對折次，則________.14．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點和，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，為兩曲線的一個公共點，且（為坐標原點）．若，則的取值范圍是______15．已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是______16．雙曲線的左焦點到直線的距離為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正方體的棱長為2，點為的中點.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點到平面的距離.18．（12分）已知直線，直線經(jīng)過點且與直線平行，設(shè)直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點.（1）求點A和B的坐標；（2）若圓C經(jīng)過點A和B，且圓心C在直線上，求圓C的方程.19．（12分）如圖所示，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，底面，為的中點（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離20．（12分）已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若在上存在極值點，證明：.21．（12分）已知橢圓左，右頂點分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點（1）若，證明：直線必過坐標原點；（2）設(shè)點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程22．（10分）已知函數(shù)（1）若在點處的切線與軸平行，求的值；（2）當(dāng)時，求證：；（3）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意可知，已知，，則可以推出，反之不成立.【詳解】已知，，則可以推出，已知，，則不可以推出.故是的充分不必要條件.故選：A.2、D【解析】由向量數(shù)量積的坐標運算求得數(shù)量積，模，結(jié)合向量的共線定義判斷【詳解】由已知，，，與不垂直，若，則，，但是，，因此與不共線故選：D3、B【解析】結(jié)合已知條件，利用對稱的概念即可求解.【詳解】不妨設(shè)點關(guān)于軸對稱的點的坐標為，則線段垂直于軸且的中點在軸，從而點關(guān)于軸對稱的點的坐標為.故選：B.4、B【解析】根據(jù)給定的不等式構(gòu)造函數(shù)，再探討函數(shù)的性質(zhì)，借助性質(zhì)解不等式作答.【詳解】依題意，令，因是R上的奇函數(shù)，則，即是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則有在單調(diào)遞增，又函數(shù)在R上連續(xù)，因此，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式，于是得，解得，所以原不等式的解集是.故選：B5、D【解析】把要證的結(jié)論否定之后，即得所求的反設(shè)【詳解】由于“a，b不全為0”的否定為：“a，b全為0”，所以假設(shè)正確的是a，b全為0.故選：D6、A【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為時恒成立，利用參數(shù)分離的方法求出a的取值范圍【詳解】對任意都有恒成立，則時，，當(dāng)時恒成立，

，當(dāng)時恒成立，，故選：A7、B【解析】由表格數(shù)據(jù)求樣本中心，根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點，將點代入方程求參數(shù)，寫出回歸方程，進而估計下個月老年人與兒童患病人數(shù).【詳解】由表格得為，由回歸方程中的，∴，解得，即，當(dāng)時，.故選：B.8、B【解析】先求導(dǎo)，再代入求值.詳解】，所以.故選：B9、C【解析】首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】要求函數(shù)圖象的一個對稱中心的坐標,關(guān)鍵是求函數(shù)時的的值;令,根據(jù)余弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得,此時可求出,然后對進行取值,進而結(jié)合選項即可得到答案.【詳解】解:令,則解得,即,圖象的對稱中心為,令,即可得到圖象的一個對稱中心為故選:D【點睛】本題考查三角函數(shù)的對稱中心,正弦函數(shù)的對稱中心為,余弦函數(shù)的對稱中心為.11、A【解析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，得到關(guān)于關(guān)系式，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【點睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前項和、通項公式基本量的計算，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出在的單調(diào)性，進而由單調(diào)性得出大小關(guān)系.【詳解】因為，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以，而，所以.因為，且，所以.即.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】首先根據(jù)題意得到，再計算即可；根據(jù)題意得到，再利用分組求和法求和即可.【詳解】因為，，所以，所以..故答案為：；14、【解析】設(shè)出半焦距c，用表示出橢圓的長半軸長、雙曲線的實半軸長，由可得為直角三角形，由此建立關(guān)系即可計算作答,【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點和在x軸上，點P在y軸右側(cè)，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過已知條件列出方程組，求得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.15、相交【解析】把兩個圓的方程化為標準方程，分別找出兩圓的圓心坐標和半徑，利用兩點間的距離公式求出兩圓心的距離，與半徑和與差的關(guān)系比較即可知兩圓位置關(guān)系.【詳解】化為，化為，則兩圓圓心分別為：，，半徑分別為：，圓心距為，，所以兩圓相交.故答案為：相交.16、【解析】根據(jù)雙曲線方程求得左焦點的坐標，利用點到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的方程為，設(shè)其左焦點的坐標為，故可得，解得，故左焦點的坐標為，則其到直線的距離.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量及，利用向量的夾角公式即可得解；（2）直接利用向量公式求解即可【小問1詳解】解：以點作坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，2，，，0，，，0，，設(shè)平面的一個法向量為，又，則，則可取，又，設(shè)直線與平面的夾角為，則，直線與平面的正弦值為；【小問2詳解】解：因為所以點到平面的距離為，點到平面的距離為18、（1），；（2）.【解析】（1）由直線平行及所過的點，應(yīng)用點斜式寫出直線方程，進而求A、B坐標.（2）由（1）求出垂直平分線方程，并聯(lián)立直線求圓心坐標，即可求圓的半徑，進而寫出圓C的方程.【小問1詳解】由題設(shè)，的斜率為，又直線與直線平行且過，所以直線為，即，令，則；令，則.所以，.【小問2詳解】由（1）可得：垂直平分線為，即，聯(lián)立，可得，即，故圓的半徑為，所以圓C的方程為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設(shè)與交點為，延長交的延長線于點，進而根據(jù)證明，再結(jié)合底面得，進而證明平面即可證明結(jié)論；（2）由得點到平面的距離等于點到平面的距離的，進而過作，垂足為，結(jié)合（1）得點到平面的距離等于，再在中根據(jù)等面積法求解即可.【小問1詳解】證明：設(shè)與交點為，延長交的延長線于點，因為四棱錐的底面為直角梯形，，所以，所以，因為為的中點，所以，因為所以，所以，所以，所以，又因為，所以，又因為，所以，所以，所以又因為底面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面【小問2詳解】解：由于，所以，點到平面的距離等于點到平面的距離的，因為平面平面，平面平面故過作，垂足為，所以，平面，所以點到平面的距離等于在中，，所以，點到平面的距離等于.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由題得，在，上為單調(diào)遞增的函數(shù)，在，上恒成立，分類討論，再次利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可；（2）由（1）可知，在存在極值點，則且，求得，再兩次求導(dǎo)即可得結(jié)論.【小問1詳解】由題得，在，上為單調(diào)遞增的函數(shù)，在，上恒成立，設(shè)，當(dāng)時，由，得，在，上為增函數(shù)，則，在,上恒成立，滿足命題，當(dāng)時，由，得，在上為減函數(shù)，，時，，即，不滿足恒成立，不成立，綜上：的取值范圍為.小問2詳解】證明：由（1）可知，在存在極值點，則且即：要證只需證即證又由（1）可知在上為增函數(shù)，且,成立.要證只需證即證：設(shè)則即在上增函數(shù)在為增函數(shù)成立.綜上，成立.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點，即可證明直線必過坐標原點（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達；根據(jù)條件可求出直線MN過定點，從而可得到過定點，進而可得到點在以為直徑的圓上運動，從而可求出動點的軌跡方程【小問1詳解】設(shè)，則，即因為，，所以因為，所以，所以.同理可證.因為，，所以四邊形為平行四邊形，因為為的中點，所以直線必過坐標原點【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因為，所以，因為，解得或.當(dāng)時，直線的方程為過點A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過定點.當(dāng)直線的斜率不存在時，因為，所以直線的方程為，經(jīng)驗證，符合題意.故直線過定點.因為為的中點，為的中點，所以過定點.因為垂直平分公共弦，所以點在以為直徑的圓上運動，該圓的半徑，圓心坐標為，故動點的軌跡方程為22、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）由可求得實數(shù)的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求得，即可證得結(jié)論成立；（3）分析可知在上存在唯一的極值點，且，可得出，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，求得的取值范圍，再構(gòu)造，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍，即可得出的取值范圍.【小問1詳解】解：因為的定義域為，.由題意可得，解得.【小問2詳解】證明：當(dāng)時，，該函數(shù)的定義域為，，令，其中，則，故函數(shù)在上遞減，因為，，所以，存在，使得，則，且，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，所以，當(dāng)時，.【小問