2026屆甘肅省白銀市育正學(xué)校高三上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．2．已知命題：R，；命題：R，，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．3．為虛數(shù)單位,則的虛部為（）A． B． C． D．4．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結(jié)余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個月的平均收入為萬元5．已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9，若點，則的最大值為（）A．3 B．6 C．9 D．126．已知集合，，則（）A． B． C． D．7．“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中．“階幻方”是由前個正整數(shù)組成的—個階方陣，其各行各列及兩條對角線所含的個數(shù)之和（簡稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15（如圖所示）．則“5階幻方”的幻和為（）A．75 B．65 C．55 D．458．若向量，則（）A．30 B．31 C．32 D．339．已知直線：與橢圓交于、兩點，與圓：交于、兩點.若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．10．點是單位圓上不同的三點，線段與線段交于圓內(nèi)一點M，若，則的最小值為（）A． B． C． D．11．a(chǎn)為正實數(shù)，i為虛數(shù)單位，，則a=（）A．2 B． C． D．112．在菱形中，，，，分別為，的中點，則（）A． B． C．5 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為雙曲線：的左焦點，直線經(jīng)過點，若點，關(guān)于直線對稱，則雙曲線的離心率為__________．14．已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線上任一點，且的最小值為，則該雙曲線的離心率是__________.15．對任意正整數(shù)，函數(shù)，若，則的取值范圍是_________；若不等式恒成立，則的最大值為_________．16．曲線在處的切線的斜率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費用（百萬元）和產(chǎn)品銷量（萬臺）的具體數(shù)據(jù)：月份56789101112研發(fā)費用（百萬元）2361021131518產(chǎn)品銷量（萬臺）1122.563.53.54.5（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出與的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（Ⅱ）該公司制定了如下獎勵制度：以（單位：萬臺）表示日銷售，當(dāng)時，不設(shè)獎；當(dāng)時，每位員工每日獎勵200元；當(dāng)時，每位員工每日獎勵300元；當(dāng)時，每位員工每日獎勵400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售（萬臺）服從正態(tài)分布（其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一），請你估計每位員工該月（按30天計算）獲得獎勵金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù)：，，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，其回歸直線中的，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.18．（12分）已知橢圓C:（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（－，0）、F2（，0）.點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.（1）求橢圓C的方程；（2）已知點N的坐標(biāo)為（3，2），點P的坐標(biāo)為（m，n）（m≠3）.過點M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點，設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，試求m，n滿足的關(guān)系式.19．（12分）已知函數(shù)，.(1)求的值；(2)令在上最小值為，證明：.20．（12分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．21．（12分）如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點,是棱上的點,且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.22．（10分）已知，，且.（1）求的最小值；（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小，利用作差法，結(jié)合對數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系，進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，，所以最??；而由對數(shù)換底公式化簡可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：D.【點睛】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的化簡變形，對數(shù)換底公式及基本不等式的簡單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.2、B【解析】

根據(jù)，可知命題的真假，然后對取值，可得命題的真假，最后根據(jù)真值表，可得結(jié)果.【詳解】對命題：可知，所以R，故命題為假命題命題：取，可知所以R，故命題為真命題所以為真命題故選：B【點睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應(yīng)用，識記真值表，屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】，故虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的概念，注意復(fù)數(shù)的虛部為，不是，本題為基礎(chǔ)題，也是易錯題.4、D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項正確；結(jié)余最高為月份，為，故項正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項正確；前個月的平均收入為萬元，故項錯誤．綜上，故選．5、C【解析】

分析：先畫出滿足約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域，利用平面區(qū)域的面積為9求出，然后分析平面區(qū)域多邊形的各個頂點，即求出邊界線的交點坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值.詳解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：則，所以平面區(qū)域的面積，解得，此時，由圖可得當(dāng)過點時，取得最大值9，故選C.點睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.6、B【解析】

求出集合，利用集合的基本運算即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，則集合，所以，.故選：B.【點睛】本題主要考查集合的基本運算，利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

計算的和，然后除以，得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻方”的幻和為，故選B.【點睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算,考查了學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由題意可知直線過定點即為圓心，由此得到坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)點差法得到直線的斜率與坐標(biāo)的關(guān)系，由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，且線過定點即為的圓心，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A.【點睛】本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用，難度一般.通過運用點差法達(dá)到“設(shè)而不求”的目的，大大簡化運算.10、D【解析】

由題意得，再利用基本不等式即可求解．【詳解】將平方得，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），，的最小值為，故選：D．【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．11、B【解析】

，選B.12、B【解析】

據(jù)題意以菱形對角線交點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運算計算出結(jié)果.【詳解】設(shè)與交于點，以為原點，的方向為軸，的方向為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以.故選：B.【點睛】本題考查建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的數(shù)量積問題，難度一般.長方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問題，如果直接計算較麻煩可考慮用建系的方法求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由點，關(guān)于直線對稱，得到直線的斜率，再根據(jù)直線過點，可求出直線方程，又，中點在直線上，代入直線的方程，化簡整理，即可求出結(jié)果.【詳解】因為為雙曲線：的左焦點，所以，又點，關(guān)于直線對稱，，所以可得直線的方程為，又，中點在直線上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因為，所以.故答案為【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)，先由兩點對稱，求出直線斜率，再由焦點坐標(biāo)求出直線方程，根據(jù)中點在直線上，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.14、【解析】

根據(jù)雙曲線方程，設(shè)及，將代入雙曲線方程并化簡可得，由題意的最小值為，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算化簡，即可求得的值，進(jìn)而求得離心率即可.【詳解】設(shè)點，，則，即，∵，，，當(dāng)時，等號成立，∴，∴，∴.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線與向量的綜合應(yīng)用，由平面向量數(shù)量積的最值求離心率，屬于中檔題.15、【解析】

將代入求解即可；當(dāng)為奇數(shù)時,,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),由單調(diào)性求得的最小值；同理,當(dāng)為偶數(shù)時,,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,進(jìn)而比較得到的最大值.【詳解】由題,,解得.當(dāng)為奇數(shù)時,,由,得,而函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),所以,所以；當(dāng)為偶數(shù)時,,由,得,設(shè),,單調(diào)遞增,,所以,綜上可知,若不等式恒成立,則的最大值為.故答案為:(1)；(2)【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.16、【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義令，即可求出切線斜率.【詳解】，，，即曲線在處的切線的斜率.故答案為：【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）7839.3元【解析】

（Ⅰ）由題意計算x、y的平均值,進(jìn)而由公式求出回歸系數(shù)b和a,即可寫出回歸直線方程;（Ⅱ）由題意計算平均數(shù)μ，得出z~N(μ,)，求出日銷量z∈[0.13,0.15)、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率，計算獎金總數(shù)是多少.【詳解】（Ⅰ）因為，，因為，所以，所以；（Ⅱ）因為，所以，故即，日銷量的概率為，日銷量的概率為，日銷量的概率為，所以獎金總數(shù)大約為：（元）.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，還考查了利用正態(tài)分布計算概率，進(jìn)而估計總體情況，屬于中檔題.18、（1）；（2）m－n－1＝0【解析】試題分析：（1）利用M與短軸端點構(gòu)成等腰直角三角形，可求得b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)出過M的直線l的方程，將l與橢圓C聯(lián)立，得到兩交點坐標(biāo)關(guān)系，然后將k1＋k3表示為直線l斜率的關(guān)系式，化簡后得k1＋k3＝2，于是可得m，n的關(guān)系式.試題解析：（1）由題意，c＝，b＝1，所以a＝故橢圓C的方程為（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，方程為x＝1，代入橢圓得，y＝±不妨設(shè)A（1，），B（1，－）因為k1＋k3＝＝2又k1＋k3＝2k2，所以k2＝1所以m，n的關(guān)系式為＝1，即m－n－1＝0②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y＝k（x－1）將y＝k（x－1）代入，整理得：（3k2＋1）x2－6k2x＋3k2－3＝0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則又y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1）所以k1＋k3＝＝＝＝＝＝2所以2k2＝2，所以k2＝＝1所以m，n的關(guān)系式為m－n－1＝0綜上所述，m，n的關(guān)系式為m－n－1＝0.考點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓位置關(guān)系，19、(1)；(2)見解析．【解析】

(1)將轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，令，故只需，即可求出的值；(2)由(1)知，可得，令，可證，使得，從而可確定在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，即，即可證出．【詳解】函數(shù)的定義域為，因為對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以要使在時恒成立，則只需，即，令，，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以，故滿足條件的的值只有(2)由(1)知，所以，令，則，當(dāng)，時，即在上單調(diào)遞增；又，，所以，使得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且所以，即，所以，即．【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值及恒成立問題處理方法，第(2)問通過最值問題深化對函數(shù)的單調(diào)性的考查，同時考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)正弦定理先求得邊c，然后由余弦定理可求得邊b；（Ⅱ）結(jié)合二倍角公式及和差公式，即可求得本題答案.【詳解】（Ⅰ）因為，由正弦定理可得，，又，所以，所以根據(jù)余弦定理得，，解得，；（Ⅱ）因為，所以，，，則．【點睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，屬基礎(chǔ)題.21、（1）見解析（2）【解析】

（1）連結(jié)BM，推導(dǎo)出BC⊥BB1，AA1⊥BC，從而AA1⊥MC，進(jìn)而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推導(dǎo)出四邊形AMNP是平行四邊形，從而MN∥AP，由此能證明MN∥平面ABC．（2）推導(dǎo)出△A