2026屆北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)分校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則2．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若，是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則下列各式一定成立的是（）A. B.C. D.3．在直角梯形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于，點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是A. B.C. D.4．已知，，，則a，b，c大小關(guān)系為（）A. B.C. D.5．設(shè)集合，則（）A.（1，2] B.[3，＋∞）C.（﹣∞，1]∪（2，＋∞） D.（﹣∞，1]∪[3，＋∞）6．命題“，使得”的否定是（）A.， B.，C.， D.，7．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則下列關(guān)系中正確的是A. B.C. D.8．函數(shù)（A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0，）的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.9．函數(shù)f（x）=-4x+2x+1的值域是（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)是定義在在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）個(gè)A.2 B.3C.6 D.7二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某高校甲、乙、丙、丁4個(gè)專業(yè)分別有150，150，400，300名學(xué)生．為了了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這4個(gè)專業(yè)的學(xué)生中抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丁專業(yè)中抽取的學(xué)生人數(shù)為______12．已知直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝____________13．在中，，，，若將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是__________14．已知關(guān)于的方程在有解，則的取值范圍是________15．已知函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，則的坐標(biāo)為_____________.16．函數(shù)f(x)＝＋的定義域?yàn)開___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某市為發(fā)展農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)，鼓勵(lì)農(nóng)產(chǎn)品加工，助推美麗鄉(xiāng)村建設(shè)，成立了生產(chǎn)一種飲料的食品加工企業(yè)，每瓶飲料的售價(jià)為14元，月銷售量為9萬瓶.（1）根據(jù)市場調(diào)查，若每瓶飲料的售價(jià)每提高1元，則月銷售量將減少5000瓶，要使月銷售收入不低于原來的月銷售收入，該飲料每瓶售價(jià)最多為多少元？（2）為了提高月銷售量，該企業(yè)對此飲料進(jìn)行技術(shù)和銷售策略改革，提高每瓶飲料的售價(jià)到元，并投入萬元作為技術(shù)革新費(fèi)用，投入2萬元作為固定宣傳費(fèi)用.試問：技術(shù)革新后，要使革新后的月銷售收入不低于原來的月銷售收入與總投入之和，求月銷售量(萬瓶)的最小值，以及取最小值時(shí)的每瓶飲料的售價(jià).18．如圖，在三棱柱中，平面，，在線段上，，.（1）求證：；（2）試探究：在上是否存在點(diǎn)，滿足平面，若存在，請指出點(diǎn)的位置，并給出證明；若不存在，說明理由.19．已知函數(shù)（，為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于不等式對都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．已知函數(shù)（，且）.（1）求的值，并證明不是奇函數(shù)；（2）若，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，證明：存在不為0的零點(diǎn)，并求.注：設(shè)x為實(shí)數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，.21．如圖，在扇形OAB中，半徑OA=1，圓心角C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形CDEF內(nèi)接于扇形，且OE=OF.記∠AOC=θ，求當(dāng)角θ為何值時(shí)，矩形CDEF的面積S最大?并求出這個(gè)最大的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】由空間中直線、平面的位置關(guān)系逐一判斷即可得解.【詳解】解：由a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，知：在A中，若，，則或，故A錯(cuò)誤；在B中，若，，則，故B錯(cuò)誤；在C中，若，，則或，故C錯(cuò)誤；在D中，若，，，則由面面垂直的判定定理得，故D正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題2、A【解析】根據(jù)題意，先得到是周期為的函數(shù)，再由函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，得出在區(qū)間上是增函數(shù)；根據(jù)三角形是銳角三角，得到，得出，從而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)滿足，所以函數(shù)是周期為的函數(shù)，又在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，因?yàn)榕己瘮?shù)關(guān)于軸對稱，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；又，是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以，即，因此，即，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的基本性質(zhì)比較大小，涉及正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.3、D【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F(xiàn)（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α），由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，），λ，μ用參數(shù)α進(jìn)行表示，利用輔助角公式化簡，即可得出結(jié)論【詳解】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F(xiàn)（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α），由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，）?cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ?λ，∴6λ+μ＝6（）2（sinα+cosα）＝2sin（）∵，∴sin（）∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范圍是[2，2]故選D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確利用坐標(biāo)系是關(guān)鍵．屬于中檔題4、B【解析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性證明即得解.【詳解】解：，，所以故選：B5、C【解析】由題意分別計(jì)算出集合的補(bǔ)集和集合，然后計(jì)算出結(jié)果.【詳解】解：∵A＝（1，3），∴＝（﹣∞，1]∪[3，＋∞），∵，∴x﹣2＞0，∴x＞2，∴B＝（2，＋∞），∴（﹣∞，1]∪（2，＋∞），故選：C6、B【解析】根據(jù)特稱命題的否定的知識確定正確選項(xiàng).【詳解】原命題是特稱命題，其否定是全稱命題，注意否定結(jié)論，所以，命題“，使得”的否定是，.故選：B7、A【解析】∵∴?=3(?)；∴=?.故選A.8、B【解析】根據(jù)函數(shù)圖像易得，，求得，再將點(diǎn)代入即可求得得值.【詳解】解：由圖可知，，則，所以，所以，將代入得，所以，又，所以.故選：B.9、A【解析】令t=2x（t＞0），則原函數(shù)化為g（t）=-t2+t+1（t＞0），然后利用二次函數(shù)求值域【詳解】令t=2x（t＞0），則原函數(shù)化為g（t）=-t2+t+1（t＞0），其對稱軸方程為t=，∴當(dāng)t=時(shí)，g（t）有最大值為∴函數(shù)f（x）=-4x+2x+1的值域是故選A【點(diǎn)睛】本題考查利用換元法及二次函數(shù)求值域，是基礎(chǔ)題10、D【解析】作出函數(shù)，和圖象，可知當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)；再根據(jù)奇函數(shù)的對稱性，可知當(dāng)時(shí)，也有3個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)，由此可計(jì)算出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，和圖象，如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)；又因?yàn)楹瘮?shù)和均是定義在在上的奇函數(shù)，所以是定義在在上的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性，可知當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)也為3個(gè)，又，所以也是零點(diǎn)；綜上，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)一共有7個(gè).故選:D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、12【解析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解詳解】由題意應(yīng)從丁專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為：故答案為：1212、6【解析】先求圓心到直線的距離，再根據(jù)弦心距、半徑、弦長的幾何關(guān)系求|AB|.【詳解】因?yàn)閳A心C(3,1)到直線的距離，所以故答案為：613、【解析】依題意可知，旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)大圓錐去掉一個(gè)小圓錐，所以O(shè)A=，OB=1所以旋轉(zhuǎn)體的體積:故答案為．14、【解析】將原式化為，然后研究函數(shù)在上的值域即可【詳解】解：由，得，令，令，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以函?shù)可化為，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以的取值范圍是，故答案為：15、【解析】由過定點(diǎn)（0,1），借助于圖像平移即可.【詳解】過定點(diǎn)（0,1），而可以看成的圖像右移3個(gè)單位，再下移2個(gè)點(diǎn)位得到的，所以函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)即A故答案為：【點(diǎn)睛】指數(shù)函數(shù)圖像恒過（0,1），對數(shù)函數(shù)圖像恒過（1,0）.16、【解析】根據(jù)題意，結(jié)合限制條件，解指數(shù)不等式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由，解得且，因此定義域?yàn)?故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）18元；（2），此時(shí)每瓶飲料的售價(jià)為16元.【解析】（1）先求售價(jià)為元時(shí)的銷售收入，再列不等式求解；（2）由題意有解，參變分離后求的最小值.【詳解】（1）設(shè)每平售價(jià)為元，依題意有，即，解得：，所以要使月銷售收入不低于原來的月銷售收入，該飲料每瓶售價(jià)最多為18元；（2）當(dāng)時(shí)，，有解，當(dāng)時(shí)，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，，因此月銷售量要達(dá)到16萬瓶時(shí)，才能使技術(shù)革新后的月銷售收入不低于原來的月銷售收入與總投入之和，此時(shí)售價(jià)為16元.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是讀懂題意，并能抽象出函數(shù)關(guān)系，第二問的關(guān)鍵是理解當(dāng)時(shí)，有能使不等式成立，即有解，求的取值范圍.18、(1)證明見解析；(2)答案見解析.【解析】（1）因?yàn)槊?，所以，結(jié)合就有面，從而.（2）取，在平面內(nèi)過作交于，連結(jié).可以證明四邊形為平行四邊形，從而，也就是平面.我們還可以在平面內(nèi)過作，交于，連結(jié).通過證明平面平面得到平面.【詳解】解析：（1）∵面，面，∴.又∵，，面，，∴面，又面，∴.（2）（法一）當(dāng)時(shí)，平面.理由如下：在平面內(nèi)過作交于，連結(jié).∵，∴，又，且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又面，面，∴平面.（法二）當(dāng)時(shí)，平面.理由如下：在平面內(nèi)過作，交于，連結(jié).∵，面，面，∴平面，∵，∴，∴，又面，面，∴平面.又面，面，，∴平面平面.∵面，∴平面.點(diǎn)睛：證明線面平行，我們既可以在已知平面中找出與已知直線平行的直線，通過線面平行的判定定理去考慮，也可以利用構(gòu)造過已知直線的平面，證明該平面與已知平面平行.19、（1）（2）【解析】（1）將，，代入函數(shù)，利用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）對都成立，即，，令，，令，求出函數(shù)的最小值即可得解.【小問1詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，∴，即，又∵，∴，，∴，即；【小問2詳解】解：由（1）知，，∴對都成立，即對都成立，∴，，令，，則，令，即，，∴的圖象是開口向下且關(guān)于直線對稱的拋物線，∴，∴，∴的取值區(qū)間為20、（1），證明見解析（2）證明見解析，【解析】（1）利用，可證明；（