2025年瓜豆原理試題及答案一、選擇題（每題5分，共10分）1.平面直角坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P在直線l:y=x+1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q滿足向量AQ=2向量AP+向量(1,-1)，則點(diǎn)Q的軌跡方程為（）A.y=2x-3B.y=2x+1C.y=x+2D.y=3x-42.定圓O半徑為3，圓心O(0,0)，動(dòng)點(diǎn)M在圓O上運(yùn)動(dòng)，將OM繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段MN（N為動(dòng)點(diǎn)），則點(diǎn)N的軌跡所圍成圖形的面積為（）A.9πB.12πC.18πD.27π二、填空題（每題6分，共12分）3.已知點(diǎn)A(0,3)，點(diǎn)B在拋物線y=x2上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P滿足AP=1/2AB且∠PAB=60°（P與拋物線在直線AB異側(cè)），則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_______。4.等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A固定在(0,0)，頂點(diǎn)B在直線y=√3x上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蚺帕?，則點(diǎn)C到原點(diǎn)距離的最大值為_(kāi)_______。三、解答題（共78分）5.（12分）如圖，正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)E在邊AD上運(yùn)動(dòng)（不與A、D重合），連接BE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△FBP（A對(duì)應(yīng)F，E對(duì)應(yīng)P）。（1）證明：點(diǎn)P的軌跡為直線；（2）求點(diǎn)P到直線CD距離的取值范圍。6.（16分）已知定點(diǎn)F(1,0)，動(dòng)點(diǎn)M在圓C:(x-3)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N滿足向量FN=λ向量FM（λ>0且λ≠1），且∠MFN=θ（θ為定值，0<θ<π）。（1）當(dāng)λ=2，θ=60°時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程；（2）若點(diǎn)N的軌跡始終為圓，求λ與θ滿足的關(guān)系。7.（20分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓Γ:x2/4+y2=1，定點(diǎn)T(0,2)，動(dòng)點(diǎn)P在Γ上運(yùn)動(dòng)，連接TP，在TP延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q，使得|TQ|=k|TP|（k>0），且∠PTQ=α（α為銳角）。（1）當(dāng)k=2，α=90°時(shí)，判斷點(diǎn)Q的軌跡形狀并求其方程；（2）若存在α使得點(diǎn)Q的軌跡為雙曲線，求k的取值范圍；（3）當(dāng)k=1，α=60°時(shí)，求△OPQ面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。8.（20分）機(jī)器人甲從點(diǎn)A(1,1)出發(fā)，以速度v沿直線y=x-1做勻速運(yùn)動(dòng)；機(jī)器人乙從原點(diǎn)O出發(fā)，始終與甲保持向量關(guān)系：乙的位置向量=2×甲的位置向量+(-1,2)。（1）證明：乙的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，并求其方程；（2）若存在時(shí)刻t，使得甲、乙與定點(diǎn)B(3,0)構(gòu)成直角三角形，求v的取值范圍；（3）當(dāng)v=√2時(shí)，求乙在t∈[0,5]內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度。答案與解析一、選擇題1.設(shè)P(x?,y?)，則y?=x?+1。由AQ=2AP+(1,-1)，得Q點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)滿足：(x-2,y-0)=2(x?-2,y?-0)+(1,-1)=(2x?-4+1,2y?-0-1)=(2x?-3,2y?-1)故x=2x?-3+2=2x?-1，y=2y?-1。由y?=x?+1，得x?=(x+1)/2，代入y=2(x?+1)-1=2(x+1)/2+2-1=x+1+1=x+2，選C。2.設(shè)M(3cosθ,3sinθ)，向量OM=(3cosθ,3sinθ)，旋轉(zhuǎn)60°后的向量MN=OM(cos60°+isin60°)=(3cosθ1/2-3sinθ√3/2,3cosθ√3/2+3sinθ1/2)。則N點(diǎn)坐標(biāo)=OM+MN=(3cosθ+3cosθ/2-3√3sinθ/2,3sinθ+3√3cosθ/2+3sinθ/2)=(9cosθ/2-3√3sinθ/2,9sinθ/2+3√3cosθ/2)。整理為N((9/2)cosθ(3√3/2)sinθ,(9/2)sinθ+(3√3/2)cosθ)，可表示為N(3√3((√3/2)cosθ(1/2)sinθ),3√3((√3/2)sinθ+(1/2)cosθ))=3√3(cos(θ+30°),sin(θ+30°))，故軌跡為半徑3√3的圓，面積π(3√3)2=27π，選D。二、填空題3.設(shè)B(t,t2)，則向量AB=(t,t2-3)。由AP=1/2AB且∠PAB=60°，利用旋轉(zhuǎn)縮放：P=A+1/2AB(cos60°-isin60°)=(0,3)+1/2(t,t2-3)(1/2i√3/2)。實(shí)部x=0+1/2t(1/2)=t/4，虛部y=3+1/2(t2-3)(1/2)1/2t(√3/2)？不，應(yīng)使用坐標(biāo)變換：設(shè)向量AP=1/2AB旋轉(zhuǎn)-60°（因P在異側(cè)），則坐標(biāo)變換為：x_P=0+(1/2)(t-0)cos(-60°)(1/2)(t2-3)sin(-60°)=t/4+(t2-3)√3/4y_P=3+(1/2)(t-0)sin(-60°)+(1/2)(t2-3)cos(-60°)=3t√3/4+(t2-3)/4=(t2t√3+9)/4消去t：由x=(t2√3+t)/4（可能計(jì)算錯(cuò)誤，換用參數(shù)法）。設(shè)t=4x/√3s（更簡(jiǎn)單方法：主點(diǎn)B的軌跡是拋物線，從動(dòng)點(diǎn)P由B經(jīng)旋轉(zhuǎn)縮放得到，故軌跡為拋物線。計(jì)算導(dǎo)數(shù)或直接求軌跡方程：令t=4x√3(y_P3)2，代入整理得y=(4x2)/(√3)+...實(shí)際更簡(jiǎn)單的是利用瓜豆原理，主軌跡是拋物線，相似變換后軌跡仍為拋物線，長(zhǎng)度需計(jì)算參數(shù)范圍。原拋物線B的t∈R，故P的參數(shù)t∈R，軌跡為無(wú)限長(zhǎng)拋物線，但題目可能我理解錯(cuò)了。正確解法：向量AP=1/2AB，且∠PAB=60°，則P的軌跡是B的軌跡經(jīng)位似（比例1/2）和旋轉(zhuǎn)（60°）得到，原拋物線y=x2，旋轉(zhuǎn)60°后的方程為(xcos60°+ysin60°)2=xsin60°ycos60°，位似1/2后為((x/2)(1/2)+(y/2)(√3/2))2=(x/2)(√3/2)(y/2)(1/2)，整理得(x+√3y)2=4√3x4y，此為拋物線，其長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)，但題目可能我哪里錯(cuò)了。重新考慮：AP=1/2AB，即|AP|=1/2|AB|，∠PAB=60°，由余弦定理，BP2=AB2+AP22ABAPcos60°=AB2+(AB2/4)2AB(AB/2)(1/2)=(5/4)AB2(AB2/2)=3AB2/4，故|BP|=(√3/2)|AB|，但這可能不是軌跡。正確方法是坐標(biāo)法：設(shè)B(t,t2)，則向量AB=(t,t2-3)，AP=1/2AB旋轉(zhuǎn)60°（逆時(shí)針或順時(shí)針）。假設(shè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則P的坐標(biāo)為A+[AB的坐標(biāo)](cos(-60°)+isin(-60°))(1/2)，即：x_P=0+(tcos(-60°)(t2-3)sin(-60°))/2=(t(1/2)+(t2-3)(√3/2))/2=t/4+√3(t2-3)/4y_P=3+(tsin(-60°)+(t2-3)cos(-60°))/2=3+(-t√3/2+(t2-3)(1/2))/2=3t√3/4+(t2-3)/4=(t2t√3+9)/4消去t：令u=t，則x=(√3u2+u3√3)/4，y=(u2√3u+9)/4。解u2=4y+√3u9，代入x的表達(dá)式：x=(√3(4y+√3u9)+u3√3)/4=(4√3y+3u9√3+u3√3)/4=(4√3y+4u12√3)/4=√3y+u3√3，故u=x√3y+3√3。代入u2=4y+√3u-9得：(x√3y+3√3)2=4y+√3(x√3y+3√3)-9，展開(kāi)左邊：x22√3xy+3y2+6√3x18y+27；右邊：4y+√3x3y+9-9=y+√3x。整理得x22√3xy+3y2+6√3x19y√3x+27=0，即x22√3xy+3y2+5√3x19y+27=0，這是一條拋物線，其長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)，但題目可能我誤解了“軌跡長(zhǎng)度”，可能原題中B的運(yùn)動(dòng)范圍有限？但題目沒(méi)說(shuō)，可能正確答案是“無(wú)限長(zhǎng)”，但顯然不對(duì)，可能我旋轉(zhuǎn)方向錯(cuò)了。重新考慮：若∠PAB=60°，則向量AP與AB的夾角為60°，故AP·AB=|AP||AB|cos60°，即(x_P,y_P-3)·(t,t2-3)=(1/2|AB|)|AB|(1/2)=|AB|2/4。即tx_P+(y_P-3)(t2-3)=(t2+(t2-3)2)/4。但這可能更復(fù)雜。可能正確解法是瓜豆原理，主點(diǎn)B的軌跡是拋物線，從動(dòng)點(diǎn)P由B通過(guò)旋轉(zhuǎn)（60°）和縮放（1/2）得到，故軌跡仍為拋物線，其長(zhǎng)度與原拋物線相同（無(wú)限），但題目可能期望參數(shù)范圍限制，可能我哪里錯(cuò)了，暫時(shí)填“無(wú)限長(zhǎng)”（但可能正確答案是其他，這里可能需要重新計(jì)算）。4.設(shè)B(a,√3a)，因ABC為等邊且順時(shí)針排列，向量AC=向量AB(cos(-60°)+isin(-60°))=(a,√3a)(1/2i√3/2)=(a/2+(3a)/2,(a√3)/2+(√3a)/2)=(2a,0)？不，正確旋轉(zhuǎn)：向量AB=(a,√3a)，順時(shí)針轉(zhuǎn)60°，復(fù)數(shù)表示為(a+i√3a)(cos(-60°)+isin(-60°))=(a(1+i√3))(1/2i√3/2)=a[(1)(1/2)+(1)(√3/2)+i(√31/21√3/2)]=a[(1/2+3/2)+i0]=2a。故C點(diǎn)坐標(biāo)=A+向量AC=(0,0)+(2a,0)=(2a,0)。但這是錯(cuò)誤的，因?yàn)榈冗吶切芜呴L(zhǎng)為2，|AB|=√(a2+3a2)=2|a|=2，故|a|=1，a=±1。則C點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)a=1時(shí)，向量AB=(1,√3)，順時(shí)針轉(zhuǎn)60°的向量為(1cos(-60°)-√3sin(-60°),1sin(-60°)+√3cos(-60°))=(1/2+√3(√3/2),-√3/2+√3(1/2))=(1/2+3/2,0)=(2,0)，故C=(0,0)+(2,0)=(2,0)；當(dāng)a=-1時(shí)，向量AB=(-1,-√3)，順時(shí)針轉(zhuǎn)60°的向量為(-11/2(-√3)√3/2,-1(-√3/2)+(-√3)1/2)=(-1/2+3/2,√3/2√3/2)=(1,0)，故C=(0,0)+(1,0)=(1,0)。但這顯然不對(duì)，因?yàn)檫呴L(zhǎng)為2，正確旋轉(zhuǎn)應(yīng)滿足|AC|=2，且∠BAC=60°。正確方法：設(shè)B(a,b)在y=√3x上，故b=√3a，|AB|=√(a2+b2)=2|a|=2?a=±1，b=±√3。當(dāng)a=1,b=√3時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)可由旋轉(zhuǎn)得到：將AB繞A順時(shí)針轉(zhuǎn)60°，則C的坐標(biāo)為(acos(-60°)-bsin(-60°),asin(-60°)+bcos(-60°))=(1(1/2)√3(-√3/2),1(-√3/2)+√3(1/2))=(1/2+3/2,-√3/2+√3/2)=(2,0)；當(dāng)a=-1,b=-√3時(shí)，C=(-1(1/2)-(-√3)(-√3/2),-1(-√3/2)+(-√3)(1/2))=(-1/23/2,√3/2√3/2)=(-2,0)。故C點(diǎn)軌跡為(2,0)和(-2,0)，到原點(diǎn)距離最大值為2？但這與題意不符，可能我錯(cuò)在假設(shè)|AB|=2，實(shí)際題目中AB是邊長(zhǎng)，故|AB|=2，所以B在直線y=√3x上且|AB|=2，即a2+(√3a)2=4?4a2=4?a=±1，所以B(1,√3)或(-1,-√3)，對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)坐標(biāo)如上述為(2,0)或(-2,0)，到原點(diǎn)距離都是2，最大值2。但可能我旋轉(zhuǎn)方向錯(cuò)了，若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)會(huì)不同。正確旋轉(zhuǎn)矩陣：順時(shí)針60°的旋轉(zhuǎn)矩陣是[cos(-60°),-sin(-60°);sin(-60°),cos(-60°)]=[1/2,√3/2;-√3/2,1/2]，所以向量AC=向量AB旋轉(zhuǎn)矩陣，即(a,b)[1/2,√3/2;-√3/2,1/2]=(a/2b√3/2,a√3/2+b/2)。因b=√3a，代入得x_C=a/2(√3a)(√3/2)=a/23a/2=-a，y_C=a√3/2+√3a/2=√3a。故C(-a,√3a)，則|OC|=√(a2+3a2)=2|a|。而|AB|=√(a2+3a2)=2|a|=2?|a|=1，故|OC|=2，最大值2。但可能題目中B可以在直線上任意運(yùn)動(dòng)，不固定邊長(zhǎng)為2？題目說(shuō)“等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為2”，所以|AB|=|BC|=|CA|=2，B在直線y=√3x上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)A(0,0)，B(t,√3t)，則|AB|=2√t2=2|t|=2?|t|=1，所以B只能在(1,√3)和(-1,-√3)，C點(diǎn)固定，這顯然不對(duì)，說(shuō)明題目中“邊長(zhǎng)為2”是指三角形邊長(zhǎng)，而B(niǎo)在直線上任意運(yùn)動(dòng)，此時(shí)|AB|不一定為2，而是ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)由B的位置決定。正確解法：設(shè)B(t,√3t)，則向量AB=(t,√3t)，向量AC=AB(cos60°isin60°)（順時(shí)針），即AC=(t1/2√3t√3/2,t√3/2+√3t1/2)=(t/23t/2,(t√3+t√3)/2)=(-t,t√3)，故C(-t,t√3)，則|OC|=√(t2+3t2)=2|t|。而|AB|=√(t2+3t2)=2|t|，ABC邊長(zhǎng)為2|t|，題目中說(shuō)“邊長(zhǎng)為2”，可能是指固定邊長(zhǎng)為2，故2|t|=2?|t|=1，此時(shí)|OC|=2。但如果題目中邊長(zhǎng)隨B運(yùn)動(dòng)而變化，即ABC始終為等邊三角形，邊長(zhǎng)任意，則|OC|=2|t|，t∈R，無(wú)最大值。但題目說(shuō)“邊長(zhǎng)為2”，故t=±1，最大值2。答案2。三、解答題5.（1）設(shè)正方形ABCD坐標(biāo)：A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2)，E在AD上，設(shè)E(0,t)（0<t<2）?！鰽BE繞B順時(shí)針轉(zhuǎn)90°，則A(0,0)轉(zhuǎn)后F的坐標(biāo)：向量BA=(-2,0)，旋轉(zhuǎn)90°順時(shí)針為(0,2)（因?yàn)樾D(zhuǎn)矩陣[0,1;-1,0]對(duì)(-2,0)作用得(0,2)），故F=B+(0,2)=(2,2)。E(0,t)轉(zhuǎn)后P的坐標(biāo)：向量BE=(-2,t)，旋轉(zhuǎn)90°順時(shí)針為(t,2)（旋轉(zhuǎn)矩陣作用：(-2,t)[0,1;-1,0]=(t,2)），故P=B+(t,2)=(2+t,2)。t∈(0,2)，故P的軌跡為直線y=2（x∈(2,4)），得證。（2）直線CD為x=2，點(diǎn)P(2+t,2)到CD的距離為|(2+t)-2|=t，t∈(0,2)，故距離取值范圍(0,2)。6.（1）設(shè)M(3+2cosθ,2sinθ)（圓C參數(shù)方程），向量FM=(2+2cosθ,2sinθ)。λ=2，θ=60°，則向量FN=2FM(cos60°+isin60°)=2(2+2cosθ,2sinθ)(1/2+i√3/2)=(2+2cosθ+2√3sinθ,2√3+2√3cosθ2sinθ)。設(shè)N(x,y)，則x=1+(2+2cosθ+2√3sinθ)（因F(1,0)，向量FN=(x-1,y-0)），y=0+(2√3+2√3cosθ2sinθ)。整理得x-1=2+2cosθ+2√3sinθ，y=2√3+2√3cosθ2sinθ。令u=cosθ,v=sinθ，u2+v2=1，消去u,v：(x-3)/2=u+√3v(y-2√3)/2=√3uv平方相加：[(x-3)/2]^2+[(y-2√3)/2]^2=(u+√3v)^2+(√3uv)^2=u2+2√3uv+3v2+3u22√3uv+v2=4(u2+v2)=4，故軌跡方程為(x-3)2+(y-2√3)2=16。（2）設(shè)M(x?,y?)，滿足(x?-3)2+y?2=4，向量FM=(x?-1,y?)，向量FN=λFM(cosθ+isinθ)=λ(x?-1,y?)(cosθ,sinθ)λ(y?,-(x?-1))sinθ（旋轉(zhuǎn)矩陣），即N點(diǎn)坐標(biāo)：x=1+λ(x?-1)cosθλy?sinθy=0+λ(x?-1)sinθ+λy?cosθ整理為x?-1=(x-1)cosθ+ysinθ/λy?=((x-1)sinθ+ycosθ)/λ代入圓C方程：[(x-1)cosθ+ysinθ)/λ+2]^2+[(-(x-1)sinθ+ycosθ)/λ]^2=4展開(kāi)得：[(x-1)cosθ+ysinθ+2λ]^2+[(x-1)sinθ+ycosθ]^2=4λ2左邊=(x-1)2cos2θ+y2sin2θ+4λ2+4λ(x-1)cosθ+4λysinθ+2(x-1)ysinθcosθ+(x-1)2sin2θ+y2cos2θ2(x-1)ysinθcosθ=(x-1)2(cos2θ+sin2θ)+y2(sin2θ+cos2θ)+4λ2+4λ(x-1)cosθ+4λysinθ=(x-1)2+y2+4λ2+4λ(x-1)cosθ+4λysinθ令其等于4λ2，得(x-1)2+y2+4λ(x-1)cosθ+4λysinθ=0，這是圓的方程當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)滿足圓的一般式，顯然恒成立，故任意λ>0且λ≠1，θ∈(0,π)時(shí)，軌跡都是圓。但題目說(shuō)“始終為圓”，可能我哪里錯(cuò)了，正確條件是旋轉(zhuǎn)縮放后保持圓，根據(jù)瓜豆原理，主軌跡是圓，從動(dòng)點(diǎn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)縮放后軌跡必為圓，故λ>0，θ任意。7.（1）設(shè)P(2cosθ,sinθ)（橢圓參數(shù)方程），T(0,2)，向量TP=(2cosθ,sinθ-2)。k=2，α=90°，即TQ=2TP旋轉(zhuǎn)90°（因∠PTQ=90°，且k=2）。若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，向量TQ=2((sinθ-2),2cosθ)=(-2sinθ+4,4cosθ)，故Q=T+TQ=(0+(-2sinθ+4),2+4cosθ)=(4-2sinθ,2+4cosθ)。消去θ：(x-4)/(-2)=sinθ，(y-2)/4=cosθ，故(x-4)2/4+(y-2)2/16=1，即橢圓。（2）若軌跡為雙曲線，需旋轉(zhuǎn)縮放后滿足雙曲線條件。設(shè)TQ=kTP(cosα+isinα)，則Q=T+k(x_P0,y_P2)(cosα,sinα)k(y_P2,-(x_P0))sinα（旋轉(zhuǎn)矩陣）。橢圓參數(shù)P(2cosθ,sinθ)，代入后得Q的坐標(biāo)表達(dá)式，消去θ后若為雙曲線，需二次項(xiàng)系數(shù)異號(hào)。計(jì)算得：x=0+k(2cosθcosα(sinθ2)sinα)y=2+k(2cosθsinα+(sinθ2)cosα)整理為：x=2kcosθcosαksinθsinα+2ksinαy=2kcosθsinα+ksinθcosα2kcosα+2令A(yù)=2kcosα,B=-ksinα,C=2ksinαD=2ksinα,E=kcosα,F=-2kcosα+2則x=Acosθ+Bsinθ+Cy=Dcosθ+Esinθ+F消去θ：(xC)E(yF)B=(AEDB)cosθ(xC)D(yF)A=(BDAE)sinθ平方相加：[(xC)E(yF)B]^2+[(xC)D(yF)A]^2=(AEDB)^2(cos2θ+sin2θ)計(jì)算AEDB=2kcosαkcosα2ksinα(-ksinα)=2k2cos2α+2k2sin2α=2k2BDAE=(-ksinα)(2ksinα)2kcosα(kcosα)=-2k2sin2α2k2cos2α=-2k2左邊展開(kāi)：(xC)^2(E2+D2)+(yF)^2(B2+A2)2(xC)(yF)(BE+AD)=(xC)^2(k2cos2α+4k2sin2α)+(yF)^2(k2sin2α+4k2cos2α)2(xC)(yF)(-k2sinαcosα+2k2sinαcosα)=k2[(xC)^2(cos2α+4sin2α)+(yF)^2(sin2α+4cos2α)2(xC)(yF)(sinαcosα)]右邊=4k^4要使軌跡為雙曲線，需二次項(xiàng)系數(shù)異號(hào)，即(cos2α+4sin2α)(sin2α+4cos2α)(sinαcosα)^2<0（判別式B2-4AC>0）。計(jì)算得：(cos2α+4sin2α)(sin2α+4cos2α)sin2αcos2α=cos2αsin2α+4cos^4α+4sin^4α+16sin2αcos2αsin2αcos2α=4(cos^4α+sin^4α)+16sin2αcos2α=4[(cos2α+sin2α)^22sin2αcos2α]+16sin2αcos2α=48sin2αcos2α+16sin2αcos2α=4+8sin2αcos2α>0這說(shuō)明我的方法有誤，正確應(yīng)為當(dāng)旋轉(zhuǎn)縮放后軌跡為雙曲線，需主軌跡橢圓經(jīng)仿射變換后成為雙曲線，這要求變換矩陣的行列式為負(fù)（即旋轉(zhuǎn)縮放導(dǎo)致形狀改變），但橢圓經(jīng)線性變換只能得到橢圓或圓，除非有反射變換?？赡茴}目中“延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q”意味著向量TQ與TP共線但方向相反，當(dāng)k>1時(shí)可能超出橢圓范圍，但雙曲線需要兩個(gè)分支，可能正確條件是k>1且旋轉(zhuǎn)角α使得變換后為雙曲線，具體需重新分析。8.（1）設(shè)甲在t時(shí)刻位置為A+vt(方向向量)，直線y=x-1的方向向量為(1,1)，單位向量為(√2/2,√2/2)，故甲的位置P(t)=(1,1)+vt(√2/2,√2/2)=(1+vt√2/2,1+vt√2/2)。乙的位置Q(t)=2P(t)+(-1,2)=(2+vt√2-1,2+vt√2+2)=(1+vt√2,4+vt√2)，消去t得y=x+3，故軌跡為直線y=x+3。（2）甲P(t)=(1+(vt)/√2,1+(vt)/√2)（因方向向量(1,1)的模為√2，故速度v對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)增量為vt(1/√2,1/√2)），乙Q(t)=(2+2(vt)/√2-1,2+2(vt)/√2+221？不，原乙的位置向量=2甲的位置向量+(-1,2)，甲的位置向量是(1+(vt)/√2,1+(vt)/√2)，故乙Q(t)=(2(1+(vt)/√2)-1,2(1+(vt)/√2)+2)=(1+(2vt)/√2,4+(2vt)/√2)=(1+vt√2,4+vt√2)。三點(diǎn)P,Q,B(3,0)構(gòu)成直角三角形，分三種情況：①∠P=90°：向量PB·向量PQ=0PB=(3(1+vt√2),0(1+vt√2))=(2vt√2,-1vt√2)PQ=(QP)=(1+vt√2(1+vt√2),4+vt√2(1+vt√2))=(0,3)點(diǎn)積=0(2vt√2)+3(-1vt√2)=-33vt√2=0?t=-1/(v√2)（舍去，t≥0）②∠Q=90°：向量QB·向量QP=0QB=(3(1+vt√2),0(4+vt√2))=(2vt√2,-4vt√2)QP=(-0,-3)點(diǎn)積=0(2vt√2)+(-3)(-4vt√2)=12+3vt√2=0?t=-4/(v√2)（舍去）③∠B=90°：向量BP·向量BQ=0BP=(PB)=(1+vt√23,1+vt√20)=(-2+vt√2,1+vt√2)BQ=(QB)=(1+vt√23,4+vt√20)=(-2+vt√2,4+vt√