高河中學(xué)2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期12月月考高一數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求集合，，再求它們的交集.【詳解】因?yàn)榧?，，所以．故選：C2.在下列區(qū)間中，方程的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理即可求解.【詳解】由題意函數(shù)單調(diào)遞增，且，由零點(diǎn)存在定理可知方程的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間只能為.故選：C.3.若，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，則，所以“”不能得出“”；若，則，所以“”不能得出“”.綜上可知，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.4.若正數(shù)滿足，則的最大值為（）A.6 B.9 C. D.【答案】C【解析】【分析】由基本不等式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：C．5.下列命題的否定是真命題的是（）A.每個(gè)正方形都是平行四邊形B.是無(wú)理數(shù)，是無(wú)理數(shù)C.，D.，關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根【答案】B【解析】【分析】利用相關(guān)知識(shí)，逐一分析各命題的真假性，從而得到其否定的真假性，由此得解.【詳解】對(duì)于A，顯然每個(gè)正方形都是平行四邊形，故該命題是真命題，所以該命題的否定是假命題，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足是無(wú)理數(shù)，但是有理數(shù)，故該命題是假命題，所以該命題的否定是真命題，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，故該命題是真命題，所以該命題的否定是假命題，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，對(duì)于方程，有恒成立，故該命題是真命題，所以該命題的否定是假命題，故D錯(cuò)誤；故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將指數(shù)式兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】由得，所以，解得，故選：A.7.當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約經(jīng)過(guò)N年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14原有初始質(zhì)量為Q，該生物體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合半衰期的定義，建立指數(shù)函數(shù)模型，從而得到函數(shù)關(guān)系式.【詳解】設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為，將剛死亡生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，根據(jù)經(jīng)過(guò)N年衰減為原來(lái)的一半，則，即，且生物體內(nèi)碳14原有初始質(zhì)量為Q所以生物體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為即故選:D.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得到在上是減函數(shù)，再根據(jù)判斷.【詳解】解：是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上減函數(shù).而，，，即.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，判斷各選項(xiàng)中的結(jié)論.【詳解】函數(shù)，函數(shù)定義域都是R，，，設(shè)，，即，不是偶函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，，是奇函數(shù)，B選項(xiàng)正確；設(shè)，，是偶函數(shù)，C選項(xiàng)正確；設(shè)，，是偶函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10.已知實(shí)數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用冪指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.【詳解】∵.∴即，故項(xiàng)正確，選項(xiàng)不正確；∵∴，故選項(xiàng)正確故選：AC11.已知的解集是，則下列說(shuō)法正確的是（）A.不等式的解集是B.的最小值是C.若有解，則的取值范圍是或D.當(dāng)時(shí)，的值域是，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，解不等式判斷A；利用均值不等式計(jì)算判斷B；利用對(duì)勾函數(shù)求范圍判斷C；探討二次函數(shù)值域判斷D作答.【詳解】因的解集是（，則是關(guān)于的方程的二根，且，于是得，即，對(duì)于A，不等式化為：，解得，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，故B正確；對(duì)于C，，令，則在上單調(diào)遞增，即有，因有解，則，解得或，故C不正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，依題意，，由得，或，因在上的最小值為，從而得或，因此，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12._____.【答案】【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解.【詳解】，，，，，，故答案為：13.已知函數(shù)，若方程的實(shí)數(shù)解有3個(gè)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合求解，函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)即可求得k的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，其圖象是拋物線的一部分，最小值為；當(dāng)時(shí)，，其圖象是指數(shù)型函數(shù)的一部分，的圖象如圖所示：由圖知函數(shù)圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故答案為：.14.若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則a的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】令，分和兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.【詳解】解：令，則，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，由在區(qū)間上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，故，即，解得；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，由在區(qū)間上為減函數(shù)，則在上為增函數(shù)，故，即，解得，綜上，的取值范圍是..故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.（15題13分；16，17題15分；18，19題17分）15已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）

【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)集合A，集合B，再根據(jù)集合的并集運(yùn)算可得解；（2）即，抓住集合A是否為空集討論，再根據(jù)子集關(guān)系運(yùn)算得解.【小問(wèn)1詳解】若，由，解得，則，又，即等價(jià)于，解得，則，.【小問(wèn)2詳解】由等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，集合，符合；當(dāng)時(shí)，由，解得，即，又，，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知函數(shù)．（1）若，證明：存在，使成立；（2）若成立；求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)答案；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在性定理證明即可；（2）分與兩種情況討論，利用函數(shù)單調(diào)性將等價(jià)轉(zhuǎn)化為解或的不等式即可．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，．．由零點(diǎn)存在性定理知：存在，使成立．得證．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，等價(jià)于，解得．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，等價(jià)于，解得．綜上：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．17.在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢．在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬(wàn)個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間x（單位t小時(shí)）的關(guān)系為：x23691215y3.23.53.844.14.2根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖如下：為了描述從第2小時(shí)開(kāi)始細(xì)菌數(shù)量隨時(shí)間變化的關(guān)系.現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①，②，③．（1）選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)選取表格中的兩組數(shù)據(jù)，求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預(yù)測(cè)至少培養(yǎng)多少個(gè)小時(shí)，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到5百萬(wàn)個(gè)．【答案】（1）,理由見(jiàn)解析；（2）81【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，函數(shù)解析式需滿足函數(shù)在有定義，且隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢，故只有符合.（2）可選取數(shù)據(jù)，帶入即可計(jì)算出，則當(dāng)時(shí)即可求出答案.【小問(wèn)1詳解】最符合實(shí)際的函數(shù)模型為①，根據(jù)圖像知函數(shù)解析式需滿足函數(shù)在有定義，所以②不滿足，又隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量增加，繁殖速度又會(huì)減慢，所以③不符合，只有①滿足，故最符合.【小問(wèn)2詳解】可選取表格中的兩組數(shù)據(jù)為：，代入得，則，當(dāng)時(shí)，，所以可預(yù)測(cè)至少需培養(yǎng)81個(gè)小時(shí)，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到5百萬(wàn)個(gè).18.已知函數(shù).（1）若為奇函數(shù)，證明：；（2）討論的單調(diào)性.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義證明即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明的單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】證明：的定義域?yàn)?，?duì)，都有，又為奇函數(shù)，則必有，即，整理可得，因?yàn)椋裕}得證．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，且，，易知，，又在上為增函數(shù)，，可得，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為常函數(shù)無(wú)單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)．19.已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）