陜西省渭南市2026屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測（1）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．在等差數(shù)列中，若，，則（

）A．8 B．12 C．16 D．204．拋物線的準(zhǔn)線與橢圓交于，兩點，則（

）A． B． C． D．15．函數(shù)的圖像的一個對稱中心是（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則（

）A． B． C． D．7．如果一個圓錐和一個半球有公共底面，圓錐的體積恰好等于半球的體積，那么這個圓錐軸截面頂角的余弦值是（

）A． B． C． D．8．若，對，都有成立，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列命題為真的是（

）A．設(shè)，若，則B．線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心C．兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1D．一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球作為樣本，用隨機變量表示樣本中黃球的個數(shù)，則10．已知圓：，直線：，則（

）A．直線恒過定點B．直線被圓截得的最短弦長為C．圓與圓有四條公切線D．當(dāng)時，圓上恰有三個點到直線的距離等于111．設(shè)函數(shù)，則（

）A．點是圖像的對稱中心B．當(dāng)時，函數(shù)有三個零點C．當(dāng)時，直線不是曲線的切線D．若有三個不同的零點，則三、填空題12．已知向量，，若，則.13．已知函數(shù)，則.14．已知各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，滿足，，則.四、解答題15．已知函數(shù).(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)銳角的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，求的面積.16．如圖1，在等邊三角形中，，分別為，的中點，為的中點，，連接，，，將沿折到的位置，如圖2，使平面平面.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.17．已知雙曲線：的離心率為，的焦點到其漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)是雙曲線上的點，，兩點在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限，若，，求面積的取值范圍.18．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若的兩個極值點分別為和，且.（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）證明：.19．為倡導(dǎo)節(jié)能環(huán)保，實現(xiàn)廢舊資源再利用，小明與小亮兩位小朋友打算將自己家中的閑置玩具進(jìn)行交換，其中小明家有1臺玩具車和2個不同的玩偶，小亮家也有與小明家不同的1臺玩具車和2個不同的玩偶，他們每次等可能的各取一件玩具進(jìn)行交換．(1)兩人進(jìn)行一次交換后，設(shè)小明手中玩具車的臺數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)兩人進(jìn)行次交換后，記小明手中恰有1個玩具車的概率為．①求；②求．參考答案1．D【詳解】∵集合，，∴，又∵全集，∴，故選：D2．C【詳解】因為，則，故選：C.3．C【詳解】由于是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，故，因此，故選：C4．B【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，將代入，得，所以.故選：B.5．D【詳解】令,則，故的對稱中心為，取，則其中一個對稱中心為，故選：D6．B【詳解】令，則，令，則，令，則，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，則函數(shù)與函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)分別為，

由圖可知，.故選：B.7．C【詳解】

設(shè)圓錐與半球的底面半徑為，圓錐的高為，母線長為，軸截面的頂角為.則由可得，即.所以圓錐的母線長，則由余弦定理可得，所以圓錐軸截面頂角的余弦值是.故選：C8．A【詳解】令函數(shù)，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且周期，要使對任意成立，則.令，由題意，，成立，則只需.下面結(jié)合三角函數(shù)定義求解.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，作以原點為圓心的單位圓，設(shè)點，，，

則向量兩兩夾角為，即三個點均勻分布在單位圓上.故即三點橫坐標(biāo)的最大值，如圖可知，要使取最小值，只需三點中最左側(cè)點位于單位圓最左端即處即可，故，所以，即的最小值為.

因此實數(shù)的最小值為.故選：A.9．BCD【詳解】對于A，，，，故A錯誤；對于B，線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，故B正確；對于C，兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，C正確；對于D，由于是不放回地隨機摸出20個球作為樣本，所以由超幾何分布的定義知服從超幾何分布，且，故D正確．故選：BCD．10．AB【詳解】對于A，直線的方程可變形為，令，解得，所以直線恒過定點，故A正確；對于B，因為直線過定點，且點在圓內(nèi)，則經(jīng)過兩點的直線與直線垂直時，直線被圓截得的弦長最小，此時圓心到直線的距離為，所以最小弦長為，故B正確；對于C，圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為3，滿足，所以兩圓外切，共有三條公切線，故C錯誤；對于D，圓，則圓心，半徑，當(dāng)時，直線的方程為，圓心到直線的距離，因為，所以圓上只有2個點到直線的距離為1，故D錯誤.故選：AB.11．ABD【詳解】對于A：由，所以是圖像的對稱中心，故A正確；對于B：當(dāng)時，，所以，令，得或，由有：或，由有：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)有三個零點，故B正確；對于C：當(dāng)時，，所以，由，，所以在處的切線方程為：，故C錯誤；對于D：設(shè)的三個零點為，所以，對比項的系數(shù)有：，故D正確；故選：ABD.12．【詳解】由，所以，所以，故答案為：.13．1【詳解】已知函數(shù)，當(dāng)時，其周期為2，所以，當(dāng)時，，所以.故答案為：114．35【詳解】因為數(shù)列滿足，，所以設(shè)（為正整數(shù)），由得.若，則，與矛盾；若，即，而，與數(shù)列是遞增數(shù)列矛盾；若（為正整數(shù)），即，而，都與數(shù)列是遞增數(shù)列矛盾；故只能，即，所以.令，則，令，則.因為數(shù)列是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，且，所以.所以.故答案為：3515．(1)最小正周期為；單調(diào)遞增區(qū)間為，.(2)【詳解】（1），，所以的最小正周期，令，，解得，，所以的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）已知，則，即；因為三角形是銳角三角形，所以，則，在這個區(qū)間內(nèi)，解得，依據(jù)余弦定理，可得，即，解得或；當(dāng)時，，此時為鈍角，不符合題干銳角三角形的條件，舍去這種情況；當(dāng)時，，此時為銳角，符合題干銳角三角形的條件，且，∠C也為銳角，故△ABC為銳角三角形，符合題干條件;根據(jù)三角形面積公式，可得，所以的面積為.16．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為點，分別為等邊三角形的，邊的中點，所以是等邊三角形，且.因為點是的中點，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.因為，所以與平行且相等，所以四邊形為平行四邊形，所以.易知，所以，又，平面，所以平面.（2）設(shè)等邊三角形的邊長為4，取的中點，連接，由題設(shè)知，由（1）知平面，又平面，所以，以點為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，.設(shè)平面的一個法向量為，則，得，令，則，，此時.易知平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，所以，則平面與平面夾角的余弦值為.17．(1)(2)【詳解】（1）由題意，一條漸近線方程，一個焦點坐標(biāo)為，則，解得，故雙曲線的方程：.（2）

由題，漸近線方程為，故設(shè)，因為，故，將點代入雙曲線方程，則，化簡得，設(shè)，則，則，故.因為，由對勾函數(shù)性質(zhì)得，故.18．(1)(2)（i）（ii）證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時，，則，，求導(dǎo)得，則，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）（i），且定義域.因為若有兩個極值點，所以是方程的兩個正根，即令，則，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，，又因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，的圖象與直線有兩個不同的交點，所以實數(shù)的取值范圍為.（ii）由（i）可知，且時，，又，所以，令，單調(diào)遞增，且，所以時，時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，又因為，所以，所以，即.19．(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；(2)①；②；【詳解】（1）由題意知X的可能取值為0，1，2，，X012P所以．（2）①若兩次都交換玩具