第28

章銳角三角函數(shù)數(shù)學(xué)人教版

數(shù)學(xué)

九年級(jí)下冊28.2.2(第2課時(shí))利用仰俯角解直角三角形情境引入思考：你能想出個(gè)可行的辦法嗎?果果暑期和家人去旅游，當(dāng)他們到達(dá)如圖所示的點(diǎn)A

處時(shí)，他準(zhǔn)備估算出離他的目的地，海拔為3500m的山峰頂點(diǎn)B處的水平距離.視線仰角水平線俯角從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰

角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.仰角與俯角在進(jìn)行測量時(shí)，鉛直線視線典例精析例

1

如圖，為了測量旗桿的高度BC,

在離旗桿底部10米的A處，用高1.20米的測角儀DA

測得旗桿頂端C

的仰角α=52°.求旗

桿BC的高.(tan52°≈1.28,精確到0.1米)解：

在

Rt△CDE

中，∵CE=DE×tan

a=AB×tan

a=10×tan

52°≈12.80,∴BC=BE+CE=DA+CE≈1.20+12.80=14.0(米).答：旗桿BC的高度約為14.0米.典例精析例2港珠澳大橋是連接香港、珠海、澳門的跨海橋隧工程，全長55千米，2018

年通車，以“三地三檢”模式助力粵港澳大灣區(qū)互聯(lián)互通，創(chuàng)下多項(xiàng)世界

之最.港珠澳大橋主橋?yàn)槿罂缍蠕摻Y(jié)構(gòu)斜拉橋，其中九洲航道橋主塔

造型取自“風(fēng)帆”,寓意“揚(yáng)帆起航”,某校九年級(jí)學(xué)生為了測量該主塔

的高度，站在B處看塔頂A,仰角為60°,在距B處160米的C

處看塔頂A,仰

角為30°,求該主塔的高度.典例精析例2解：過點(diǎn)A作AD⊥CB于點(diǎn)D,設(shè)AD=x,由題意得，∠ABD=60°,∠ACD=30°,在Rt△ADB中，∴3x=x+160√3,∴x=80√3.答：該主塔高80

√3米.在Rt△

ADC中，1.仰角和俯角是指視線相對(duì)于水平線而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧記為“上仰下俯”.在測量物體的高度時(shí)，要善于將實(shí)際問題抽

象為數(shù)學(xué)問題.2.視線、水平線、物體的高構(gòu)成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一邊，利用解直角三角形的知識(shí)就可以求出物體的高度.3.

弄清仰角、俯角的定義，根據(jù)題意畫出幾何圖形，將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)到直角三角形中來求解.方法歸納A仰角、俯角問題的常見基本模型模型四例3榆林人民大廈，以榆林代表性的古跡“鎮(zhèn)北臺(tái)和凌霄塔”為設(shè)計(jì)藍(lán)本，配以天圓地方的設(shè)計(jì)理念.果果所在的興趣小組準(zhǔn)備測量該大廈的高度PQ,如

圖，他在M

處放置了一面平面鏡(大小忽略不計(jì)),然后沿QM方向移動(dòng)，

當(dāng)他站在點(diǎn)D處時(shí)恰好能在平面鏡中看到大廈頂端P的像，已知果果的眼睛距離地面的高度CD

為1.5米，DM=1.5米；小組成員在大廈另一側(cè)點(diǎn)B處安裝一個(gè)1.5米高的測角儀AB,測得大廈頂端P的仰角為56.3°,已知BM=164

米

，AB⊥DB,PQ⊥DB,CD⊥DB,點(diǎn)B,Q,M,D

在同一條水平線上，圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi).請你幫助該小組求出該大廈的高度PQ.參考數(shù)據(jù)：

sin56.3°≈0.83cos56.3°≈0.55tan56.3°≈1.50典例精析∴設(shè)PQ=QM=x,∵AB⊥DB,PQ⊥DB,CD⊥DB,四邊形ANQB是矩形，∴PN=PQ-NQ=x-1.5,AN=QB=BM-QM=164-x,在Rt△PAN中，,

∵∠PAN=56.3°,tan56.3°≈1.5,∴

,

∴x=99,經(jīng)檢驗(yàn)x=99是原方程的解，答：該大廈高99米.典例精析例3解：過點(diǎn)A

作AN⊥PQ

于點(diǎn)N,∵PQ⊥BD,CD⊥BD,

∴∠PQM=∠CDM=90°,

由題意得，∠PMQ=∠CMD,∴△PQM一△

CDM,.

∵CD=1.5,DM=1.5,

例4

如圖，為了測量學(xué)校教學(xué)樓AB

的高度，果果同學(xué)先在教學(xué)樓前點(diǎn)的高度，

果果同學(xué)先在教學(xué)樓前點(diǎn)D

處測得樓頂A的仰角為45°,再沿BD

方向后退了

16米到點(diǎn)C處，此時(shí)測得樓頂A

的仰角為22°

(B、D、C

在一條直線上),

根據(jù)這些數(shù)據(jù)，請你幫助果果求出教學(xué)樓AB的高度(精確到0.1米).參考數(shù)據(jù)：

解：設(shè)AB=x,

由題意得，∠ABD=90°,∠ADB=45°,∠C=22°,CD=16m,∴∠DAB=∠ADB=45°,∴BD=AB=x,∴BC=x+1.6,∴在Rt△ABC

中，

∵∠PAN=56.3°,tan56.3°≈1.5,∴x≈10.7,答：教學(xué)樓AB

的高度為10.7米.典例精析課題測算樹木的高度工具卷尺，測角儀等示意圖說明先在點(diǎn)C處測得樹頂A的仰角，再從點(diǎn)C處前進(jìn)至坡底D處，

測得山坡與平地CD之間的夾角∠CDE,最后測得坡底D與樹

底B之間的距離測量數(shù)據(jù)點(diǎn)C處測得樹頂A的仰角為30°,∠CDE=135°,BD=20

√2m,CD=40m典例精析例5∴BF=BDsin∠BDF=20√2sin45°=20,DF=BDcos∠BDF=20√2cos45°=20,又∵

CD=40,∴CF=CD+DF=60,在Rt△

ACF中，∠ACF=30°,

,

∴AF

=CF·tan∠ACF=20√3,∴AB=AF-BF=20√3-20≈14.6(m).例5

解：過點(diǎn)B作BF⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)F,

∴在

Rt△BDF

中，∠

BDF=180°-∠CDE=45°,

∠F=90°,BD=20√2,典例精析例6

如圖，放置在水平桌面上的臺(tái)燈的燈臂AB

長為40cm,

燈罩BC

長為30cm,

底座厚度為2cm.

使用時(shí)發(fā)現(xiàn)：光線最佳時(shí)燈罩BC與水平線

所成的角為25°,求光線最佳時(shí)燈罩頂端C

到桌面的高度CD

的值.

(參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47).典例精析∴CF≈30×0.42=12.6(cm),∴CD=CF+FE+DE=CF+AB+2=12.6+40+2=54.6(cm).答：光線最佳時(shí)燈罩頂端C

到桌面的高度CD

的值約為54.6cm.典例精析例6解：過點(diǎn)B作

BF⊥CD

于點(diǎn)F,過點(diǎn)A

作AE⊥CD

于

點(diǎn)E,如圖.∵在Rt△CBF

中

，BC=30cm,∠CBF=25°,概念利用仰俯角解直角三角形求解視線運(yùn)用解直角三角形解決仰角、俯角問題仰角、俯角的概念視線仰角俯角歸納總結(jié)水平線鉛

直

線1.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點(diǎn)A處測得樹頂C的仰角為45°,在B點(diǎn)處測得樹頂C的仰角為60°,且A,B,D三點(diǎn)在同一條直線上.若AB=8

米，則樹高度為

(C)米A.8√3

B.4√3+4

C.12-4√3

D.8+2√345°2.隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，

A

如代替人們在高空測量距離和角度.某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量潮汐塔AB的高度，測量方案如圖所示：無人機(jī)在距水平地面120m

的點(diǎn)M

處測得潮汐塔頂端A的俯角為22°再將無人機(jī)沿水平方向飛行73m

到達(dá)點(diǎn)N,

測得潮汐塔底端B的俯角為45°(

點(diǎn)M,N,A,B在同一平面內(nèi)),則潮汐塔AB

的高度為

(C)m

(結(jié)果精確到1m,參考數(shù)據(jù)：sin

22°≈0.37

cos

22°≈0.93

tan

22°≈0.40A.41B.42

C.43

D.77C60°

D

B當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測3.如圖，為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30米的B處，測得樹頂A的仰角∠ABO為α,則樹OA的高度為(

C)A.

米

B.30sinα

米C.30tanα米

D.30cos

α

米4.如圖，港口A在觀測站O的正東方向，

OA=4km,

某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B

處，此時(shí)從觀測站0處測得該船位于北偏東60°的方向，

則該船航行的距離(即AB的

長

)

為

(C)A.4km

B.2√2km

C.2√3km

D.(√3+1)kmC(當(dāng)堂檢測5.伍家崗長江大橋大橋竣工后，為江城大道增添上一道亮麗的風(fēng)景線.某校數(shù)學(xué)興趣小組用測量儀器測量該大橋的橋塔高度，在距橋塔AB

底部50米的C處，測得橋塔頂部A的仰角為41.5°(如圖).已知測量儀器CD的高度為1米，則橋塔AB

的高度約為(

C

)

(參考數(shù)據(jù)：sin

41.5°≈0.663,cos41.5°≈0.749,tan

41.5°≈0.885)A.34

米B.38

米C.45

米

D.50

米50m6.聊城“水城之眼”摩天輪是亞洲三大摩天輪之一，也是全球首座建筑與摩天輪相結(jié)合的城市地標(biāo)，如圖，點(diǎn)0是摩天輪的圓心，長為110米的AB

是其垂直地面的直徑，小瑩在地面C

點(diǎn)處利用測角儀測得摩天輪的最高點(diǎn)A的仰角為33°,測得圓心O的仰角為21°,則小瑩所在C點(diǎn)到直徑AB所

在的直線的距離約為(tan33°≈0.65,tan21°≈0.38)(C)A.169B.240C.204

D.407米米

米米當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測7.如圖，在高出海平面80米的懸崖頂A處，觀測海

平面上一艘小船B,

并測得它的俯角為45°,則船

與觀測者之間的水平距離BC=

80

米.8.如圖，兩建筑物AB

和CD

的水平距離為300米，從A點(diǎn)測得D

點(diǎn)的俯角為30°,測得C

點(diǎn)的俯角為60°,

則建筑物CD

的高為

200

√3米.高為2m,問電視塔的高度為多少米?

(精確到1m)B

單位：

(m)9.如圖，某校九年級(jí)學(xué)生要測量當(dāng)?shù)仉娨曀母叨華B,

因?yàn)椴荒苤苯拥竭_(dá)塔底B處，他們采用在發(fā)射臺(tái)院外與電視塔底B

成一直線的C,D兩處地面上，用測角

器測得電視塔頂部A的仰角分別為45°和30°,同時(shí)量得CD

為50m.已知測角器當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測解：設(shè)AB?=xm.在Rt△AC?B?

中，

由∠AC?B?=45°,得C?B?=AB?

,在Rt△AD?B?

中，由∠AD?B?=30°,∴AB=AB?+B?B≈68+2=70(m)答：電視塔的高度為70m.45°B

單位：

(m)即

,解方程式得x=25(

√3+1)≈6830°50→CD?當(dāng)堂檢測10.一艘觀光游船從港口A

以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至

C

處時(shí)發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)

出了求救信號(hào)，

一艘在港口正東方向

的海警船接到求救信號(hào)，測得事故船

在它的北偏東37°方向，馬上以40海

里每小時(shí)的速度往前救援，求海警船

到大事故船C處所需的大約時(shí)間.

(溫

馨提示：sin53°=0.8,cos53°=0.6)C(游船)A(港口)

B(海景船)當(dāng)堂檢測解：過C

點(diǎn)作CD⊥AB

交AB

延長線于D.在Rt△ACD

中，∵∠ADC=90°,∠CAD=30°,AC=80(海里)。

(海里)在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°,ZCBD=90°-30°=53°,∴海警船到大事故船C

處所需的時(shí)間大約為(小時(shí))

.(海里)(1)求輪船M

到海岸線1的距離(結(jié)果精確到0.01米).(2)如果