/四川省眉山市2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期12月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．書架上有1本語文書，3本不同的數(shù)學(xué)書，4本不同的物理書，某位同學(xué)從中任取1本，共有（

）種取法.A．8 B．7 C．12 D．52．已知今天是星期三，則經(jīng)過天后是（

）A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期日3．曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（

）A． B．0 C．1 D．24．甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第6名的名次，已知甲不是第1名，乙既不是第1名也不是第6名，則這6人的名次排列可能有（

）種不同的情況A．348 B．356 C．368 D．3845．在楊輝三角中，每一個(gè)數(shù)值是它肩上面兩個(gè)數(shù)值之和.這個(gè)三角形開頭幾行如下圖，若第行從左到右第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)的比值為2，則（

）A．15 B．16 C．17 D．186．已知函數(shù)，則的圖象大致為（

）A． B．C． D．7．已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．8．過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A． B． C．1 D．2二、多選題9．已知函數(shù)，.下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)不存在最大值，也不存在最小值 B．函數(shù)存在極大值和極小值C．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)的極小值就是的最小值10．為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是（）A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“樂”“射”排在相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在不相鄰的三周，共有144種排法D．課程“禮”不排在第一周，課程“數(shù)”不排在最后一周，共有480種排法11．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為等比數(shù)列 B．為等比數(shù)列C． D．三、填空題12．的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng).13．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，且，則．14．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為．四、解答題15．在二項(xiàng)式的展開式中，其展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)和為，求：（1）和展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和；（2）展開式中的有理項(xiàng)．16．已知函數(shù)，其圖象在處的切線過點(diǎn)．（1）求a的值；（2）討論的單調(diào)性；17．設(shè)函數(shù)，設(shè)，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）若，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切成立，求的取值范圍．18．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行于直線．（1）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：．19．已知等差數(shù)列中，，，數(shù)列滿足，．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，試比較與的大??；（3）任意，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

答案1．【正確答案】A【詳解】任取1本可分三類：第一類取的是語文書，第二類取的是數(shù)學(xué)書，第三類取的是物理書，由此可得取法為．故選A．2．【正確答案】C【詳解】由，由于能被7整除，所以除以7余，故經(jīng)過天后是是星期六；故選C3．【正確答案】D【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)處的切線的斜率為，由切線與直線垂直，可得，解得，故選．4．【正確答案】D【詳解】第一步先排第1名，第1名可以是丙、丁、戊、己中的一位，共有種情況；第二步排乙，可以選擇第2、3、4、5名，共有種情況；第三步排其他人，相當(dāng)于4個(gè)人全排列，共有種情況；所以共有種情況；故選D.5．【正確答案】C【詳解】由楊輝三角的性質(zhì)知，第n行的數(shù)對(duì)應(yīng)的是展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)榈谛袕淖蟮接业?2個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)的比值為2，所以，即，解得.故選C.6．【正確答案】C【詳解】由題意可得，解得且，即定義域?yàn)?，可排除D，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，，可排除A；當(dāng)，，可排除A，綜上，C為正確選項(xiàng).故選C7．【正確答案】B【詳解】，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，則，，，由得：，解得：，又，.故選B.8．【正確答案】B【詳解】由題意得，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，由于，故，，由題意可知，為的兩個(gè)解，則，，故.故選B9．【正確答案】BCD【詳解】，則，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，且，，如圖，

所以，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，極小值即為最小值，且函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)0.故選BCD.10．【正確答案】ABC【詳解】A：6門中選2門共有種選法，故A正確；B：課程“樂”“射”排在相鄰的兩周時(shí)，把這兩個(gè)看成一個(gè)整體，有種排法，然后全排列有種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，“樂”“射”相鄰的排法共有種，故B正確；C：課程“御”“書”“數(shù)”排在不相鄰的三周，先排剩下的三門課程有種排法，然后利用插空法排課程“御”“書”“數(shù)”有種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有種排法，故C正確；D：分2種情況討論：若先把“禮”排在最后一周，再排“數(shù)”，有種排法，若先把“禮”不排在最后一周，再排“數(shù)”，有種排法，所以，共有種排法，故D錯(cuò)誤.故選ABC.11．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，，，所以，，因此，，，而，，所以?shù)列不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，所以，而，，因此?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故B正確；對(duì)C：由選項(xiàng)B知：數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此，而，，所以，故C正確；對(duì)D：由選項(xiàng)C知：，因此，故D正確.故選BCD.12．【正確答案】10【詳解】展開式的通項(xiàng)為，由得，因?yàn)?，所以，故系?shù)最大的項(xiàng)是第10項(xiàng).13．【正確答案】【詳解】由，得是以為首相，1為公差的等差數(shù)列，，，當(dāng)時(shí)，，14．【正確答案】【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，且.①當(dāng)時(shí)，由可得，即，即，可得，解得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，由可得，即.即，可得，解得，此時(shí).綜上所述，不等式的解集為.15．【正確答案】（1）；1.（2）見詳解.【詳解】（1）二項(xiàng)式系數(shù)和為，，解得，令二項(xiàng)式中，則．，所有項(xiàng)系數(shù)之和為1．（2）二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，若為有理項(xiàng)，則，即，，，，，，．16．【正確答案】（1）（2）在上遞增，在上遞增；【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，，則，所以函在處的切線方程為，又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，即，解得；（2）由（1）知；，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞增；17．【正確答案】（1）；（2）．【詳解】（1）；時(shí)，，，相加得，所以，又，所以對(duì)一切正整數(shù)，有；（2），，，，即，，時(shí)，，，，即，，，，所以即時(shí)，取得最大值，，綜上，．18．【正確答案】（1）（2）見詳解【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，由題知，解得．由題意可知對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，只需，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以，于是，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）由條件知，對(duì)其求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以存在，使，即，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，于是是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，即得證．19．