/重慶市重點高中2026屆高三上學期12月聯(lián)考檢測數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，則A． B． C． D．2．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量若則（

）A． B． C．1 D．24．為了分析某次數(shù)學模擬考試成績，在90分及以上的同學中隨機抽取了100名同學的成績，得到如下成績分布表：分數(shù)區(qū)間人據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列結論中正確的是（

）A．所抽取的100名同學的成績的中位數(shù)小于120B．所抽取的100名同學的成績低于130所占比例超過C．所抽取的100名同學的成績的極差不小于40且不大于60D．所抽取的100名同學的成績的平均分數(shù)介于100至110之間5．若，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知為等差數(shù)列，為的前項和．若，則當取最大值時，的值為（

）A． B．4 C． D．7．設正整數(shù)，其中，記，則下列不正確的選項是（

）．A． B．C． D．8．若函數(shù)有極值，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．若函數(shù)，則（

）A．的最大值為 B．的最小正周期C．在上單調遞增 D．的圖象關于點對稱10．在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1，2，3，4的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關閉，只有主持人知道獎品在哪個箱子里，當抽獎人選擇了某個箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機打開另一個沒有獎品的箱子，并問抽獎人是否愿意更改選擇以便增加中獎概率，現(xiàn)在已知甲選擇了1號箱，用表示i號箱有獎品，用表示主持人打開j號箱子，下列結論正確的是（

）A．B．C．若，甲無論是否更改選擇，他獲獎的概率均為D．若，要使獲獎概率更大，甲應該改選2號或者4號箱中的任意一個11．如圖，一個圓錐PO的軸截面三角形PAB是邊長為的等邊三角形，在底面上過點A作AO的垂線l，以AP，l所在直線確定的平面記為，則（

）．A．圓錐PO的外接球體積為B．平面與圓錐PO的外接球的截面周長為C．若點E為線段PA的中點，點M為圓錐PO的外接球球面上的任意一點，則D．若在圓錐PO內(nèi)部放入三個半徑均為a的小球，三個小球兩兩相切且均與圓錐的底面和側切，則三、填空題12．等比數(shù)列的前項和為，且，則．13．若，，若直線與線段AB有公共點，則實參數(shù)m的取值范圍為．14．已知函數(shù)，，，，若函數(shù)與圖象交點的橫坐標記為，，記數(shù)列滿足：，則數(shù)列的所有項之和為．四、解答題15．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若的面積為，，求的周長．16．已知數(shù)列的前n項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和．17．如圖，平行四邊形ABCD中，，，點E，G分別為線段AD，BC的中點，現(xiàn)將沿BE對折至，連接PC，PD，PG．（1）證明：；（2）當直線PG與平面BCDE所成夾角為30°時，若點M為線段PC上（不含端點）的動點，當為何值時，平面PBE與平面MGD所成夾角也為30°．18．體育賽事中，常有“局勝制”、“局勝制”、、“局勝”制，．現(xiàn)有甲、乙兩隊比賽，甲獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立，且無平局．為鼓勵提高比賽水平及廠商的廣告需要，比賽結束后參加一項抽獎活動．箱中共有張獎券，其中有張獎券金額各萬元，另外張獎券無獎金．若賽完，某隊某場獲勝且每局都贏，則由該隊在該箱中一次性抽張獎券，而另一隊不參與抽獎；若賽完，某場比賽的局數(shù)中各有輸贏，則先由甲隊任取張后，再由乙隊從余下獎券中任抽張．（1）當，時，求甲獲勝的概率；（2）當，時，求乙隊獲得獎金金額（萬元）的分布列與期望；（3）在“局勝”制比賽中，隨著增大，甲、乙誰獲勝的可能性更大？證明你的結論．19．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若，證明函數(shù)的圖象上橫坐標成等差數(shù)列的任意三個不同的點A，B，C，直線AC的斜率小于函數(shù)的圖象在點B處的切線的斜率．（3）當時，若存在實數(shù)a，不等式對任意成立（為函數(shù)的導函數(shù)），求實數(shù)b的取值范圍．

答案1．【正確答案】A【詳解】先求出集合B再求出交集.【詳解】，∴，則，故選A．2．【正確答案】D【詳解】∵復數(shù)，∴復數(shù)z對應的點的坐標是，∴復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限．故選D．3．【正確答案】C【詳解】向量則所以解得.故選C.4．【正確答案】C【詳解】對于A選項，根據(jù)人數(shù)分布可知，所以所抽取的100名同學的成績的中位數(shù)不小于120，所以A選項不正確；對于B選項，所抽取的100名同學的成績低于130的人數(shù)為，故所抽取的名同學的成績低于所占比例低于，所以B選項不正確；對于C選項，所抽取的100名同學的成績的極差最大值為，極差最小值大于，所以C選項正確；對于D選項，成績的平均分數(shù)，所以D選項不正確，故選C.5．【正確答案】A【詳解】由，可得，即，解得，所以.故選A.6．【正確答案】C【詳解】因為，所以，又，所以，所以，則.故選:C.7．【正確答案】B【詳解】對于A，，則，A正確；對于B，取，則，，而，因此，B錯誤；對于C，，因此，C正確；對于D，，是首項為1，公比為9的數(shù)列的前n項和，即，因此，D正確.故選B8．【正確答案】A【詳解】由，，則，令，，則，當時，恒成立，則，即函數(shù)在上單調遞增，此時函數(shù)無極值，不符合題意；當時，令，得，當時，，則，得函數(shù)在上單調遞減，又時，；時，，所以存在，使得，則函數(shù)存在極值；當時，，則時，；時，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，則，設，，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，又，且時，，則時，，此時函數(shù)無極值，不符合題意；當時，，且時，；時，，此時函數(shù)存在極值.綜上所述，的取值范圍為.故選A.9．【正確答案】BC【詳解】，故A錯誤；的最小正周期，故B正確；令，，得，，取，得在上單調遞增，，所以在上單調遞增，故C正確；令，，得，，的圖象關于對稱，但，，故D錯誤.故選BC.10．【正確答案】ABD【詳解】對于A選項，抽獎人在不知道獎品在哪個箱子的情況下選擇了1號箱，他的選擇不影響獎品在四個箱子中的概率分配，因此，，，的概率均為，即A正確；對于B選項，獎品在2號箱里，主持人只能打開3、4號箱，故，故B正確；對于C、D選項，獎品在1號箱里，主持人可打開2、3、4號箱，故，獎品在2號箱里，主持人只能打開3、4號箱，故，獎品在3號箱里，主持人打開3號箱的概率為0，故，獎品在4號箱里，主持人只能打開2、3號箱，故，由全概率公式可得：，，，故C錯誤，D正確．故選ABD．11．【正確答案】ACD【詳解】A：如圖：設圓錐外接球的球心為，連接，設外接球半徑為R，則，，，在中，，即，解得，∴圓錐PO的外接球體積，故A正確；B：如圖：過圓錐外接球的球心為作，∵底面，底面，∴，又∵，平面，∴平面，∵平面，∴，，，，∴平面與圓錐PO的外接球的截面是以為直徑的圓．，，，平面與圓錐PO的外接球的截面周長為，故B錯誤；C：如圖：由選項B可知E與N重合，直線與球的表面交于，當M為時，最短，為，當M為時，最長，為，∴，故C正確；D：如圖：圖①為圓錐俯視圖，圖②為圖①中按箭頭所示方向，包含一個小球的縱截面的一半．易知是邊長為的正的中心，則，則圖②中．圖②中，與相切，為的平分線，∵，∴，∴，，又，∴，故D正確．故選ACD．12．【正確答案】【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由條件可知，，所以，，所以.故13．【正確答案】【詳解】將代入直線方程：，將代入直線方程：，因為直線與線段有公共點，所以，所以解集為，即實數(shù)的取值范圍為.14．【正確答案】0【詳解】對于函數(shù)，其圖象關于直線對稱．對于函數(shù)，令，解得，∴的圖象關于直線對稱．∵與的圖象都關于直線對稱，∴它們圖象的交點也關于直線對稱．已知，設交點關于直線的對稱點為，則，即，那么．由于函數(shù)與圖象的交點關于直線對稱，∴數(shù)列的項兩兩配對，每對的和都為0，因此數(shù)列的所有項之和為0．15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）∵，由正弦定理得：，即，即．∵在中，，∴．又∵，∴；（2）∵的面積為，即，∵，∴，由，可得．由余弦定理得：，即，得，∴，∴周長為．16．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）已知①，當時，②，①-②得：，所以.當時，，所以，滿足.因此數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，通項公式為.（2），，，相減可得：，其中，是首項為，公比為的等比數(shù)列，其和為：所以，所以．17．【正確答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）證明：取BE中點為O，連接OP，OG，EG，∵E，G分別為AD，BC的中點，且，∴四邊形ABGE為菱形，∴，，又∵O為BE的中點，∴，，又∵OP，平面OPG，，∴平面OPG，又∵平面OPG，∴．（2）由（1）可得平面OPG，又∵平面BCDE，∴平面平面OPG，∵平面平面，∴在平面OPG內(nèi)，過P作OG的垂線交GO的延長線于H，則有平面BCDE，過O點作，則有平面BCDE，又∵，∴分別以OG，OE，OQ為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設平面PBE的法向量為，平面MGD的法向量為．∵直線PG與平面BCDE所成夾角為30°，即，又∵，∴，則，，則有，，，，，，，由，，可得，由，，，可得，，解得．18．【正確答案】（1）；（2）分布列見詳解，；（3）見詳解.【詳解】（1）當，時，即采用局勝制，設甲獲勝為事件，則甲前兩局都贏，或者甲第三局贏，前兩局贏一局輸一局，則．（2）甲全勝的概率為：，乙全勝的概率為：，各有輸贏的概率為：，所以的所有可能值為、、，，，，所以，隨機變量的分布列如下：所以．（3）設局勝制中，甲的獲勝概率為，可分為以下三類：①局中甲獲勝的概率為：；②局中勝局且后續(xù)局至少勝局的概率為：；③局中勝局且后續(xù)局全勝的概率為：．所以，所以，由，得，且組合數(shù)與概率項均為正，故，即單調遞增，當時，甲最終獲勝的可能性更大；當時，，即甲、乙最終獲勝的可能性一樣大；當時，得，且組合數(shù)與概率項均為正，故，即單調遞減，則當時，乙最終獲勝的可能性更大．19．【正確答案】（1）當時，在上為單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）見詳解（3）．【詳解】（1）（1），，當時，在上恒成立，此時單調遞減；當時，令，解得.當時，，此時在上單調遞增，當時，，此時在上單調遞減，綜上，當時，在上為單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）當時，，.設，，，且，，成等差數(shù)列，即.直線的斜率為.在點處的切線斜率為.由題意知，需證，即，即.不妨設，則，，令（），，令（），則，故在上單調遞增，因此，即，又，所以，故在上單調遞增，因此，即，即，即成立，所以，即函數(shù)的圖象上橫坐標成等差數(shù)列的任意三個不同的點A，B，C，直線AC的斜率小于函數(shù)的圖象在點B處的切線的斜