/河南省百師聯(lián)盟2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（北師大版）一、單選題1．某興趣小組由5名高一學(xué)生、7名高二學(xué)生和8名高三學(xué)生組成，選1名代表小組參加比賽，不同的選法有（

）A．5種 B．7種 C．15種 D．20種2．已知點(diǎn)，，，若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)n的值為（

）A．8 B．10 C．6 D．43．已知集合，集合，從集合A中取一個(gè)數(shù)作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從集合B中取一個(gè)數(shù)作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則在第二象限的點(diǎn)有（

）A．2個(gè) B．4個(gè) C．1個(gè) D．12個(gè)4．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若，則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，．記以為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)C，使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．在空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面可以表示為集合．設(shè)，則，所以平面的方程為．若點(diǎn)在方程為的平面內(nèi)，點(diǎn)在平面外，則直線與平面α所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為6，離心率．過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．用數(shù)字，，，，組成數(shù)字，下列說(shuō)法正確的有（

）A．可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B．可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)C．可以組成個(gè)小于且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)D．可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且十位上的數(shù)字最大的三位數(shù)10．已知橢圓上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)n的值可以是（

）A．0 B．1 C． D．11．已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，沿對(duì)角線將折起，得到如圖所示的三棱錐．設(shè)，，，E是棱上靠近B的三等分點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．棱的長(zhǎng)為 D．異面直線與所成角的余弦值為三、填空題12．已知，那么.13．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B，D均在拋物線C上．若的重心恰為點(diǎn)F，則．14．已知點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，則雙曲線的離心率為．四、解答題15．在正四棱錐中，O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且.求直線BC與平面PAC所成的角.16．（1）從5本不同的書(shū)中選出3本送給3位同學(xué)，每人1本，有多少種不同的送法？（2）已知集合，，從集合A中選1個(gè)元素作為，從集合B中選1個(gè)元素作為，可以組成多少個(gè)橢圓？（3）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位志愿者被安排到A，B，C，D四個(gè)社區(qū)做活動(dòng)，每人去1個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)都有志愿者．由于距離限制，甲不去B社區(qū)，乙不去C社區(qū)，共有多少種不同的安排方案？17．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和M到定直線的距離的比是常數(shù)．（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是曲線C，求曲線C的方程并指出曲線C是什么曲線；（2）已知點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn)，是圓的直徑，求的取值范圍．18．已知圓的半徑為，圓心在直線上，且圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，直線：與圓交于，兩點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）弦長(zhǎng)是否有最大值？何時(shí)弦長(zhǎng)最??？當(dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，求直線的方程及弦長(zhǎng)．（3）直線過(guò)點(diǎn)，且，直線與圓交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．19．如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，，，．平面平面，M為的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)P，D重合）．（1）求證：平面．（2）當(dāng)時(shí)，求證：平面．（3）是否存在點(diǎn)E，使得平面和平面夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．

答案1．【正確答案】D【詳解】由題意，興趣小組有名成員，從中選1名，有20種不同的選法．故選D．2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，所以直線的斜率．因?yàn)椋灾本€的斜率，即，解得．故選C．3．【正確答案】B【詳解】在第二象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)為正數(shù)，由題意得點(diǎn)的橫坐標(biāo)有，兩種選擇，點(diǎn)的縱坐標(biāo)有3，5兩種選擇．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得在第二象限的點(diǎn)有個(gè)．故選B．4．【正確答案】C【詳解】由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)M在x軸上方．設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為H，則．過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，作準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q，則四邊形是矩形，，所以．在中，因?yàn)?，，所以，所以．因?yàn)榻裹c(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為．故選C．5．【正確答案】A【詳解】設(shè)，則，由橢圓的定義，得，因?yàn)橐詾橹睆降膱A與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，所以，在中，，即，所以離心率，故選A．6．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)C在以為直徑的圓上，記為圓D．因?yàn)?，，所以圓心，圓D的半徑，因?yàn)辄c(diǎn)C在直線l上，所以直線l與圓D有公共點(diǎn)，所以圓心D到直線l的距離，即，化簡(jiǎn)得，解得，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是．故選B7．【正確答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，所以，解得，所以平面的一個(gè)法向量為，由題意可知，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.故選C．8．【正確答案】D【詳解】由題意得，，所以，，所以，，，所以雙曲線的方程為，因?yàn)椋本€過(guò)點(diǎn)且傾斜角為，則直線的斜率，所以直線l的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，消去，整理得，解得，，所以．故選D．9．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，百位上的數(shù)字有種選擇，十位上的數(shù)字有種選擇，個(gè)位上的數(shù)字有種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以個(gè)位上的數(shù)字有，，，共種選擇，千位上的數(shù)字有種選擇，百位上的數(shù)字有種選擇，十位上的數(shù)字有種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭桥紨?shù)，所以個(gè)位上的數(shù)字有，，共種選擇，若個(gè)位上的數(shù)字是，因?yàn)榻M成的數(shù)小于，所以百位上的數(shù)字有，，，共種選擇，十位上的數(shù)字有種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成個(gè)小于且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，若個(gè)位上的數(shù)字是，因?yàn)榻M成的數(shù)小于，所以百位上的數(shù)字有，，共種選擇，十位上的數(shù)字有種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成個(gè)小于且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)．由分類加法計(jì)數(shù)原理，可以組成個(gè)小于且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，故C正確；因?yàn)槭簧系臄?shù)字最大，所以十位上的數(shù)字可以是，，，當(dāng)十位上的數(shù)字是時(shí)，若個(gè)位上的數(shù)字是，則百位上的數(shù)字有種選擇，若個(gè)位上的數(shù)字不是，則個(gè)位上的數(shù)字有種選擇，百位上的數(shù)字有種選擇，所以可以組成個(gè)符合要求的三位數(shù)；當(dāng)十位上的數(shù)字是時(shí)，個(gè)位和百位都有種選擇，所以可以組成個(gè)符合要求的三位數(shù)，當(dāng)十位上的數(shù)字是時(shí)，符合要求的三位數(shù)只有，共個(gè)，綜上，可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且十位上的數(shù)字最大的三位數(shù)，故D正確；故選BCD．10．【正確答案】ABD【詳解】設(shè)橢圓上關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)是，，線段的中點(diǎn)為，則，因?yàn)橹本€l的斜率為，所以直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，解得，即，由韋達(dá)定理得，，所以，，，所以，解得，所以，即，結(jié)合選項(xiàng)可知C不符合題意．故選ABD．11．【正確答案】ABD【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)镋是棱上靠近B的三等分點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，，，所以，故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為2，，所以，．因?yàn)?，所以，解得，故B正確；選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以．在三棱錐的側(cè)面中，由余弦定理得，所以，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，可得異面直線與所成角的余弦值為，故D正確．故選ABD．12．【正確答案】8【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所?故答案為813．【正確答案】18【詳解】由題意知，．設(shè)點(diǎn)A，B，D的橫坐標(biāo)分別為，，，則，所以．由拋物線的定義得．14．【正確答案】【詳解】由題意，雙曲線C的漸近線方程為，所以點(diǎn)在漸近線上，即，所以，所以離心率．15．【正確答案】【詳解】如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a(a＞0)，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，．則，，．設(shè)平面PAC的法向量為，則即，得，令，則，則．∴．∴直線BC與平面PAC所成的角為90°－60°＝30°．16．【正確答案】（1）種；（2）個(gè)；（3）種【詳解】（1）由題意得，不同的送法有種；（2）因?yàn)樵跈E圓C中，，所以當(dāng)時(shí)，可以是5，7，9，10，有4種選擇；當(dāng)時(shí)，可以是5，7，9，有3種選擇；當(dāng)時(shí)，可以是5，7，有2種選擇；由分類加法計(jì)數(shù)原理，可以組成個(gè)橢圓C；（3）①若甲去C社區(qū)，則剩余3人去3個(gè)社區(qū)，有種不同的安排方案；②若甲不去C社區(qū)，則安排甲，有2種不同的方案，再安排乙，有2種不同的方案，丙、丁去剩下的2個(gè)社區(qū)，有種不同的方案，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得有種不同的方案，由分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同的安排方案有種.17．【正確答案】（1）曲線C的方程為，曲線C是橢圓（2）【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以由題意得，兩邊平方并化簡(jiǎn)，得，所以，所以曲線C的方程為，曲線C是橢圓；（2）由圓N的方程知，圓N的圓心為，半徑為2，設(shè)，則，所以，因?yàn)槭菆AN的直徑，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即的取值范圍?18．【正確答案】（1）（2）弦長(zhǎng)沒(méi)有最大值；當(dāng)垂直于時(shí)軸，弦長(zhǎng)最小，此時(shí)的方程為，（3）【詳解】（1）因?yàn)閳A的半徑，且被x軸截得的弦長(zhǎng)為4，所以圓心在x軸上又因?yàn)閳A心在直線上，令，解得，所以圓心所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由直線的方程知，若直線的斜率為，則；直線恒過(guò)定點(diǎn)，且此定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)弦為圓的直徑時(shí)，弦最長(zhǎng)，即的值最大，此時(shí)直線為x軸，斜率，又因?yàn)?，所以弦不存在最大值，?dāng)直線軸時(shí)，即時(shí)，弦最短，此時(shí)直線的方程為，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以最短弦長(zhǎng).（3）由（2）知，直線恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，則直線的方程為，由（2）知，，弦是圓的直徑，所以，所以四邊形的面積，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，則直線的方程為，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以，同理得，所以四邊形的面積為，令，則，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，由，解得，即，因?yàn)?，所以四邊形面積的最大值為.19．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）見(jiàn)詳解（3）存在，或【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)Q，連接，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以Q為的中點(diǎn)．又因?yàn)镸為