九年級(jí)數(shù)學(xué)相似三角形經(jīng)典例題集相似三角形是九年級(jí)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，它將三角形的形狀關(guān)系與線段比例、面積計(jì)算等知識(shí)深度融合，既是幾何證明的重要工具，也是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵模型。本文精選經(jīng)典例題，從基礎(chǔ)判定、性質(zhì)應(yīng)用、實(shí)際建模到綜合探究，逐步拆解相似三角形的核心考點(diǎn)，助力同學(xué)們系統(tǒng)掌握解題思路。一、基礎(chǔ)判定與性質(zhì)鞏固相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）是解決一切相似問題的“基石”，熟練掌握判定后，需結(jié)合性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊成比例、面積比為相似比的平方等）進(jìn)行初步應(yīng)用。例題1：角角判定型（AA）題目：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=60°，∠B=∠E=70°，判斷兩三角形是否相似，并說明理由。分析：相似三角形的“角角判定”（AA）要求兩組對(duì)應(yīng)角相等。本題中∠A與∠D、∠B與∠E分別相等，滿足AA的判定條件。解答：∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF（兩角對(duì)應(yīng)相等，三角形相似）。點(diǎn)評(píng)：AA是最常用的判定方法，解題時(shí)需優(yōu)先觀察三角形的角的關(guān)系，尤其在有平行線、公共角、對(duì)頂角的場(chǎng)景中，角的相等關(guān)系易被“隱藏”。例題2：邊角判定型（SAS）題目：已知△ABC中，AB=4，AC=6，∠A=60°；△DEF中，DE=2，DF=3，∠D=60°，判斷兩三角形是否相似。分析：SAS判定要求兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等。需先計(jì)算邊的比例，再驗(yàn)證夾角是否相等。解答：AB/DE=4/2=2，AC/DF=6/3=2，且∠A=∠D=60°（夾角相等），∴△ABC∽△DEF（兩邊成比例且夾角相等，三角形相似）。點(diǎn)評(píng)：注意“夾角”的限制——若兩邊成比例但夾角不相等（如非夾角的角相等），則無法用SAS判定相似。例題3：三邊判定型（SSS）題目：△ABC的三邊為3，4，5；△DEF的三邊為6，8，10，判斷兩三角形是否相似。分析：SSS判定要求三邊對(duì)應(yīng)成比例。需分別計(jì)算三組邊的比例，驗(yàn)證是否相等。解答：3/6=1/2，4/8=1/2，5/10=1/2，三邊對(duì)應(yīng)成比例，∴△ABC∽△DEF（三邊成比例，三角形相似）。點(diǎn)評(píng)：三邊成比例的本質(zhì)是“形狀完全相同，大小成倍數(shù)”，計(jì)算時(shí)需注意比例的“對(duì)應(yīng)性”（如最長(zhǎng)邊對(duì)最長(zhǎng)邊，最短邊對(duì)最短邊）。二、性質(zhì)應(yīng)用與線段計(jì)算相似三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊成比例、面積比為相似比的平方、對(duì)應(yīng)高/中線/角平分線的比等于相似比）是解決線段長(zhǎng)度、面積計(jì)算的核心工具。例題4：相似比與對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度題目：△ABC∽△DEF，相似比為2:3，若BC=4，求EF的長(zhǎng)度。分析：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，比例等于相似比。需明確BC與EF的對(duì)應(yīng)關(guān)系（由相似符號(hào)△ABC∽△DEF可知，BC對(duì)應(yīng)EF）。解答：由相似比，BC/EF=2/3，代入BC=4得：4/EF=2/3，解得EF=6。點(diǎn)評(píng)：相似比的“順序”決定對(duì)應(yīng)邊的比例方向（如相似比為2:3，說明△ABC的邊長(zhǎng)是△DEF的2/3倍，或△DEF是△ABC的3/2倍）。例題5：相似比與面積比題目：△ABC∽△DEF，相似比為3:5，△ABC的面積為18，求△DEF的面積。分析：相似三角形的面積比等于相似比的平方。需注意面積比與相似比的“平方關(guān)系”，避免與周長(zhǎng)比（等于相似比）混淆。解答：設(shè)△DEF的面積為S，由面積比公式：S△ABC/S△DEF=(3/5)2=9/25，代入S△ABC=18得：18/S=9/25，解得S=50。點(diǎn)評(píng)：面積比是相似比的平方，這一結(jié)論常與“等高三角形面積比等于底之比”“等底三角形面積比等于高之比”結(jié)合使用，需靈活區(qū)分。例題6：對(duì)應(yīng)高的比例關(guān)系題目：△ABC∽△DEF，相似比為1:4，△ABC中BC邊上的高為3，求△DEF中EF邊上的高。分析：相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比（對(duì)應(yīng)邊的高與對(duì)應(yīng)邊成比例，而對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比）。解答：設(shè)△DEF中EF邊上的高為h，由對(duì)應(yīng)高的比等于相似比得：3/h=1/4，解得h=12。點(diǎn)評(píng)：對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的比均等于相似比，這一性質(zhì)可推廣到“對(duì)應(yīng)線段”（如對(duì)應(yīng)邊上的任意線段）的比例關(guān)系。三、實(shí)際應(yīng)用與模型構(gòu)建相似三角形的實(shí)際應(yīng)用需將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為“相似模型”（如平行光線的影子模型、鏡面反射模型），通過比例關(guān)系求解未知量。例題7：陽光下的影子模型（平行光線）題目：同一時(shí)刻，小明（身高1.6m）的影子長(zhǎng)2m，旗桿的影子長(zhǎng)15m，求旗桿高度。分析：同一時(shí)刻太陽光線平行，人和旗桿與影子分別構(gòu)成相似直角三角形（AA判定：直角+太陽光線的夾角相等）。解答：設(shè)旗桿高度為xm，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得：1.6/2=x/15，解得x=12。點(diǎn)評(píng)：“影子模型”的核心是“平行光線→同位角相等→直角三角形相似”，需明確“身高對(duì)應(yīng)旗桿高，影子長(zhǎng)對(duì)應(yīng)影子長(zhǎng)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例題8：鏡面反射模型（角相等）題目：小穎站在距離鏡子2m處（眼睛到地面1.5m），鏡子距離旗桿底部8m，她通過鏡子看到旗桿頂端，求旗桿高度。分析：鏡面反射中入射角等于反射角，因此人眼-鏡子-腳的三角形與旗桿頂-鏡子-底部的三角形相似（AA判定：直角+反射角相等）。解答：設(shè)旗桿高度為hm，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得：1.5/2=h/(2+8)，即1.5/2=h/10，解得h=7.5。點(diǎn)評(píng)：“鏡面反射模型”的關(guān)鍵是找到“人到鏡子的距離”對(duì)應(yīng)“旗桿底部到鏡子的距離”，“人高”對(duì)應(yīng)“旗桿高”的比例關(guān)系。四、綜合探究與多知識(shí)點(diǎn)融合相似三角形常與函數(shù)、圓、直角三角形性質(zhì)等結(jié)合，需通過“角的轉(zhuǎn)化”“邊的比例代換”突破綜合題。例題9：相似與平行線分三角形（DE∥AB）題目：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D在BC上（BD=2），過D作DE∥AB交AC于E，求DE的長(zhǎng)度。分析：DE∥AB→△CDE∽△CBA（AA判定：∠C公共，∠CDE=∠CBA），相似比為CD/CB。解答：CD=BC-BD=6-2=4，相似比k=CD/CB=4/6=2/3。由相似性質(zhì)，DE/AB=k，即DE/5=2/3，解得DE=10/3。點(diǎn)評(píng)：“平行線分三角形相似”是常見模型，需明確“截線平行于一邊→三角形相似”，相似比由“截得的邊與原邊的比”決定。例題10：相似與直角三角形斜邊中線（CD⊥AB，E為AC中點(diǎn)）題目：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交CB的延長(zhǎng)線于F，求證：△FBD∽△FDC。分析：需通過“直角三角形斜邊中線性質(zhì)”“余角相等”“對(duì)頂角/鄰補(bǔ)角”轉(zhuǎn)化角，證明兩組角相等（AA判定）。解答：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°。∵E是AC中點(diǎn)，∴ED=EA=EC（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），∴∠EDA=∠A?！摺螮DA+∠EDC=90°（∠ADC=90°），∠A+∠B=90°（∠ACB=90°），∴∠EDC=∠B（等角的余角相等）。∵∠EDC=∠FDB（對(duì)頂角相等），∴∠FDB=∠B。又∵∠FBD=180°-∠B（F在CB延長(zhǎng)線上，鄰補(bǔ)角定義），∠FDC=180°-∠EDC=180°-∠B（E、D、F共線，鄰補(bǔ)角定義），∴∠FBD=∠FDC。∵∠F是△FBD和△FDC的公共角，∴△FBD∽△FDC（AA，兩角對(duì)應(yīng)相等）。點(diǎn)評(píng)：綜合題需結(jié)合多個(gè)幾何性質(zhì)（斜邊中線、余角、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角）進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，核心思路是“找相等的角→滿足相似判定”?？偨Y(jié)：相似三角形的解題核心相似三角形的學(xué)習(xí)需把握三個(gè)關(guān)鍵：1.判定優(yōu)先：遇三角形相似問題，先觀察角的關(guān)系（AA最常用），再驗(yàn)證邊的比例（SAS、SSS）；2.性質(zhì)轉(zhuǎn)化：利用“對(duì)應(yīng)邊成比例”“面積比為相似比的平方”“對(duì)應(yīng)高/中線/角平分線的比等于相似比”，將未知線段、面積轉(zhuǎn)