2026年數(shù)學(xué)信號(hào)處理試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列信號(hào)中屬于能量信號(hào)的是（）A.x(t)=cos(2πt)（t∈RB.x[n]=u[n]（u[n]為單位階躍序列）C.x(t)=e-3tu(t)D.x[n]=2答案：C解析：能量信號(hào)滿足能量有限（E=∫-∞∞|x(t)|2dt<∞或E=∑n=-∞2.已知連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的傅里葉變換為X(jω)，則信號(hào)y(t)=x(2t-4)的傅里葉變換Y(jω)為（）A.12B.12C.2X(j2ω)eD.2X(j2ω)e答案：A解析：傅里葉變換的時(shí)移和尺度變換性質(zhì)：若x(at+b)，則先時(shí)移x(t+b)?X(jω)ejbω，再尺度變換x(at)?1|a|X(jωa)。本題中y(t)=x(2(t-2))，即先尺度壓縮2倍（3.某因果穩(wěn)定的連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)=s+2s2A.(eB.(eC.(-eD.(2e答案：B解析：系統(tǒng)函數(shù)分母因式分解為(s+1)(s+2)，部分分式展開H(s)=s+2(s+1)(s+2)=As+1+Bs+2。通分后分子s+2=A(s+2)+B(s+1)，令s=-1得1=A(1)?A=1；令4.離散時(shí)間信號(hào)x[n]=cos(πA.3B.6C.12D.非周期答案：B解析：離散正弦信號(hào)cos(ω0n+?)的周期N滿足ω0N=2πk（k為整數(shù)），即N=2πkω5.對(duì)最高頻率為5kHz的帶限信號(hào)x(t)進(jìn)行理想采樣，若采樣頻率為8kHz，則采樣后信號(hào)的頻譜會(huì)出現(xiàn)（）A.混疊失真，因?yàn)椴蓸宇l率小于2倍最高頻率B.混疊失真，因?yàn)椴蓸宇l率大于最高頻率C.無混疊失真，因?yàn)椴蓸宇l率大于最高頻率D.無混疊失真，因?yàn)椴蓸宇l率小于2倍最高頻率答案：A解析：根據(jù)奈奎斯特采樣定理，無混疊的條件是采樣頻率fs≥2fm（fm為信號(hào)最高頻率）。本題中f6.已知離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)=10.5A.因果穩(wěn)定的IIR系統(tǒng)B.因果穩(wěn)定的FIR系統(tǒng)C.非因果穩(wěn)定的IIR系統(tǒng)D.因果不穩(wěn)定的IIR系統(tǒng)答案：A解析：系統(tǒng)為IIR（分母有z的負(fù)冪，非零極點(diǎn)）。因果性要求收斂域包含|z|>R（R為極點(diǎn)模的最大值），極點(diǎn)由分母1+0.8z-1=0得z=-0.87.下列關(guān)于離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）的描述中，錯(cuò)誤的是（）A.DTFT僅對(duì)絕對(duì)可和的離散信號(hào)存在B.DTFT的頻譜是周期為2π的連續(xù)函數(shù)C.若x[n]是實(shí)偶信號(hào)，則其DTFT是實(shí)偶函數(shù)D.時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域乘積答案：A解析：DTFT存在的充分條件是信號(hào)絕對(duì)可和（∑|x[n]|<∞），但對(duì)于周期信號(hào)或功率信號(hào)（如單位階躍序列），可通過沖激函數(shù)表示其DTFT（廣義傅里葉變換），因此A錯(cuò)誤；B正確（DTFT的周期性）；C正確（實(shí)偶信號(hào)的DTFT為實(shí)偶）；D正確（卷積性質(zhì)）。8.設(shè)計(jì)一個(gè)3階巴特沃斯低通濾波器，通帶截止頻率Ωp=1000rad/s，阻帶截止頻率ΩsA.1B.2C.1000D.2000答案：B解析：巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)需先歸一化頻率，令Ω'=Ω/Ωp，則歸一化通帶截止頻率二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分。請(qǐng)將答案填寫在橫線處）9.連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)=e-2|t|的傅里葉變換答案：44+解析：x(t)=e-2|t|是偶信號(hào)，可表示為e-2tu(t)+e2tu(-t)10.離散時(shí)間信號(hào)x[n]=δ[n-3]+2δ[n+1]的Z變換X(z)=______，其收斂域?yàn)開_____。答案：z1+2z3（或2z解析：δ[n-k]的Z變換為z-k，因此x[n]=δ[n-3]+2δ[n+1]對(duì)應(yīng)z-(-3)+2z-(-1)=z3+2z11.某連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的輸入x(t)=u(t)，輸出y(t)=(1e-t)u(t)答案：1s(s+1)解析：輸入x(t)=u(t)的拉普拉斯變換X(s)=1s，輸出y(t)=(1e-t)u(t)的拉普拉斯變換Y(s)=1s1s+1（注：經(jīng)核查，正確計(jì)算應(yīng)為：y(t)=(1e-t)u(t)的拉普拉斯變換為L{1}L{e-t}=1s12.已知離散時(shí)間信號(hào)x[n]的自相關(guān)函數(shù)Rx[k]=∑n=-∞∞答案：2解析：自相關(guān)函數(shù)Rx[1]=∑nx[n]x[n+1]。x[n]僅在n=0,1處非零（值為1和2），則x[n+1]在n=-1,0處非零。兩者重疊的n值為n=0（此時(shí)x[0]=113.對(duì)信號(hào)x(t)=cos(1000πt)+cos(3000πt)進(jìn)行理想采樣，為避免混疊，最小采樣頻率fs答案：3000解析：信號(hào)最高頻率fm=3000π/(2π)=1500Hz，根據(jù)奈奎斯特采樣定理，最小采樣頻率14.某因果離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為y[n]0.5y[n-1]=x[n]+2x[n-1]，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)=______。答案：1+2z-110.5解析：對(duì)差分方程兩邊取Z變換（因果系統(tǒng)，y[n-1]?z-1Y(z)，x[n-1]?z-1三、計(jì)算題（本大題共4小題，每小題12分，共48分）15.計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)=e-2tu(t)cos(3t)解：利用頻移性質(zhì)：e-atu(t)?1cos(3t)=ej3t+對(duì)兩部分分別取傅里葉變換：F{eF{e因此，X(jω)=1通分后化簡：X(jω)=12·(2+j(ω+3))+(2+j(ω3))(2+j(ω3))(2+j(ω+3))=12·4+j2ω4+(ω3)(ω+3)+j2ω(2)j216.已知離散時(shí)間信號(hào)x[n]=(12解：Z變換定義為X(z)=∑這是等比級(jí)數(shù)，當(dāng)|12z|<1即|z|>DTFT存在的條件是信號(hào)絕對(duì)可和，即∑n=0∞|(117.設(shè)計(jì)一個(gè)3階巴特沃斯模擬低通濾波器，要求通帶截止頻率Ωp=1000rad/s，通帶最大衰減αp=3dB，阻帶截止頻率Ωs=2000rad/s，阻帶最小衰減解：（1）巴特沃斯濾波器的幅頻平方特性為|H(jΩ)|2=11+(Ω/Ωc)2N，其中Ω（2）歸一化處理：令s'=s/Ωc，則歸一化系統(tǒng)函數(shù)Hn(s')=1∏展開分母：(s'+232)2+(12)2)(s'+j)=(s'2+23s'+1)(s'+j)=s(s'+232j12但虛部為正的極點(diǎn)應(yīng)取共軛，因此實(shí)際分母應(yīng)為(s（3）實(shí)際系統(tǒng)函數(shù)通過頻率變換s=ΩcsH(s)=HH(s)=100018.已知離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)=z(z0.5)(z0.8)(z+0.6)，分析其穩(wěn)定性、因果性，并求輸入x[n]=(0.5)解：（1）穩(wěn)定性：極點(diǎn)為z=0.8和z=-0.6，模分別為0.8和0.6，均小于1。若系統(tǒng)因果（收斂域|z|>0.8），則包含單位圓，系統(tǒng)穩(wěn)定；若收斂域?yàn)?.6<|z|<0.8，則不包含單位圓，系統(tǒng)不穩(wěn)定。通常默認(rèn)因果系統(tǒng)，故穩(wěn)定。（2）因果性：收斂域?yàn)閨z|>0.8（最大極點(diǎn)模），對(duì)應(yīng)因果系統(tǒng)。（3）零狀態(tài)響應(yīng)：輸入x[n]=(0.5)nu[n]的Z變換X(z)=輸出Y(z)=H(z)X(z)=z(z0.5)(z0.8)(z+0.6)·部分分式展開：設(shè)z2(z0.8)(z+0.6)=A+令z=0.8：0.64=B(1.4)?B=0.64/1.4=16/35；令z=-0.6：0.36=C(-1.4)?C=-0.36/1.4=-9/35；令z=0：0=A(-0.8)(0.6)+B(0.6)+C(-0.8)?0=-0.48A+(16/35)(0.6)+(-9/35)(-0.8)，計(jì)算得A=1（因分子最高次為2，分母為2次，故A=1）。因此Y(z)=1+16/35Y(z)=1+16/35·其逆Z變換為y[n]=δ[n]+1635(0.8y[n]=δ[n]+1635×0.8(0.8)nu[n-1]935×(-0.6)(-0.6)nu[n-1]=δ[n]+235(0.8)nu[n-1]+3