湖南省株洲市醴陵市第二中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等比數(shù)列中，若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的值是（）A. B.C. D.2．已知拋物線x2＝4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為()A. B.C.1 D.23．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，的面積為，則（）A. B.C. D.4．下列數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A. B.C. D.5．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線上，直線FA與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若，且，則（）A.1 B.2C.3 D.46．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)，連接交拋物線于點(diǎn)，，則的面積為（）A.4 B.9C. D.7．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，8．已知圓：的面積被直線平分，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相交C.內(nèi)切 D.外切9．已知數(shù)列中，，()，則（）A. B.C. D.210．下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)①在中，若，則②是，，成等比數(shù)列的充要條件③直線是雙曲線的一條漸近線④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則是函數(shù)的極值點(diǎn)A.0 B.1C.2 D.311．已知直線與拋物線C：相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.12．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線是一個(gè)橢圓；③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)，為拋物線：上不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，則的面積的最小值為__________.14．如圖：雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過原點(diǎn)O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，其中P在右支上，且，則的面積為___________.15．已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與的對(duì)稱軸垂直，與交于，兩點(diǎn)，，為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則的面積為________16．點(diǎn)到拋物線上的點(diǎn)的距離的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)都在圓上.（1）求圓的方程；（2）圓與直線交于，兩點(diǎn)，在圓上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)直線的方程；若不存在，說明理由.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面底面ABCD，，，，，（1）證明：是直角三角形；（2）求平面PCD與平面PAB的夾角的余弦值19．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值20．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是矩形，且平面平面，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（1）證明：；（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求的最小值21．（12分）已知四棱錐的底面是矩形，底面，且，設(shè)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點(diǎn)，H為EG的中點(diǎn)，如圖.（1）求證：平面；（2）求直線FH與平面所成角的大小.22．（10分）如圖，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓的圓心恰是拋物線的焦點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）一條直線的斜率等于2，且過拋物線焦點(diǎn)，它依次截拋物線和圓于、、、四點(diǎn)，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)，因?yàn)?，且所以，故選：B2、D【解析】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y＝－1，過A作AA1⊥l于A1，過B作BB1⊥l于B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過M作MM1⊥l于M1.則|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點(diǎn))，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x軸的距離d≥2.3、C【解析】利用面積公式，求出，進(jìn)而求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出【詳解】由面積公式得：，因?yàn)榈拿娣e為，所以，求得：因，所以由余弦定理得：所以由正弦定理得：，即，解得：故選：C4、C【解析】分別判斷的符號(hào)，從而可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A，，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故A不符合題意；對(duì)于B，，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故B不符合題意；對(duì)于C，，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，故C符合題意；對(duì)于D，，則，所以數(shù)列遞減數(shù)列，故D不符合題意.故選：C.5、D【解析】設(shè)，由和在拋物線上，求出和，利用求出p.【詳解】過A作AP垂直x軸與P.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.設(shè)，因?yàn)?，所以，解得?因?yàn)樵趻佄锞€上，則.所以，即，解得：.故選：D6、D【解析】根據(jù)題意求得拋物線的方程為和焦點(diǎn)為，由，得到為的中點(diǎn)，得到，代入拋物線方程，求得，進(jìn)而求得的面積.【詳解】由直線是拋物線的準(zhǔn)線，可得，即，所以拋物線的方程為，其焦點(diǎn)為，因?yàn)?，可得可得三點(diǎn)共線，且為的中點(diǎn)，又因?yàn)椋?，所以，將點(diǎn)代入拋物線，可得，所以的面積為.故選：D.7、C【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.8、D【解析】根據(jù)題意，圓：的面積被直線平分，即直線經(jīng)過圓的圓心，由此求出兩圓的圓心和半徑，然后判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系即可【詳解】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑，圓：的面積被直線平分，即直線經(jīng)過圓的圓心，則有1?m＋1＝0，解可得m＝2，即所以圓的圓心（1，?1），半徑為1，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心（?2，3），半徑為4，其圓心距，所以兩個(gè)圓外切，故選：D.9、A【解析】由已知條件求出，可得數(shù)是以3為周期的周期數(shù)列，從而可得，進(jìn)而可求得答案【詳解】因?yàn)椋?)，所以，所以數(shù)列的周期為3，，故選：A10、B【解析】根據(jù)三角函數(shù)、等比數(shù)列、雙曲線和導(dǎo)數(shù)知識(shí)逐項(xiàng)分析即可求解.【詳解】①在中，則有，因，所以，又余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故①正確，②當(dāng)且時(shí)，此時(shí)，但是，，不成等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤，③由雙曲線可得雙曲線的漸近線為，故③錯(cuò)誤，④“”是“是函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件，故④錯(cuò)誤.故選：B.11、C【解析】設(shè)，，由消得：，又，由韋達(dá)定理代入計(jì)算即可得答案.【詳解】設(shè)，，由消得：，所以，故.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.12、D【解析】對(duì)于①在方程中換為，換為可判斷；對(duì)于②分析曲線的圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的可判斷；對(duì)于③在第一象限內(nèi)，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關(guān)系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱所以①正確,當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)所以曲線圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當(dāng)，時(shí)，設(shè)，設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立）所以在第一象限內(nèi)，橢圓的圖形在曲線的上方.根據(jù)曲線和橢圓的的對(duì)稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個(gè)頂點(diǎn)在曲線上）所以曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積，故③正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，，利用可得即可求得，利用兩點(diǎn)間距離公式求出、，面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】設(shè)，，由可得，解得：，，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的面積的最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)，坐標(biāo)，采用設(shè)而不求的方法，將轉(zhuǎn)化為，求出參數(shù)之間的關(guān)系，再利用基本不等式求的最值.14、24【解析】利用雙曲線定義結(jié)合已知求出，，再利用雙曲線的對(duì)稱性計(jì)算作答.【詳解】依題意，，，又，解得，，則有，即，連接，如圖，因過原點(diǎn)O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知，P，Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，因此，四邊形是平行四邊形，，所以的面積為24.故答案為：2415、【解析】先設(shè)出拋物線方程，寫出準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用得到拋物線方程，再利用三角形的面積公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)拋物線的方程為，則焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由題意，得，，，所以，解得，所以.故答案為：.16、【解析】設(shè)出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，配方求出最小值.【詳解】設(shè)拋物線上的點(diǎn)坐標(biāo)，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，直線方程為或.【解析】（1）利用待定系數(shù)法即求；（2）利用直線與圓的位置關(guān)系可得，然后利用菱形的性質(zhì)可得圓心到直線的距離，即得.【小問1詳解】曲線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，，設(shè)圓的方程為，則，解得.∴圓的方程為；【小問2詳解】∵圓與直線交于，兩點(diǎn)，圓化為，圓心坐標(biāo)為，半徑為.∴圓心到直線的距離，解得.假設(shè)存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形，則與互相平分，∴圓心到直線的距離，即，解得，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件.∴存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形，此時(shí)的直線方程為或.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接BD，在四邊形ABCD中求得，在中，取得，得到，由線面垂直的性質(zhì)證得平面，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面PBD，進(jìn)而得到，即可證得是直角三角形（2）以為原點(diǎn)，以所在直線為x軸，過點(diǎn)且與平行直線為y軸，所在直線為z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接BD，因?yàn)樗倪呅沃?，可得，，，所以，，則在中，由余弦定理可得，所以，所以因?yàn)槠矫娴酌?，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因?yàn)槠矫鍼AB，所以，因?yàn)?，，所以平面PBD因?yàn)槠矫鍼BD，所以，即是直角三角形【小問2詳解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中點(diǎn)O，連接PO，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，平面底面，平面底面，所以底?以為原點(diǎn)，以所在直線為x軸，過點(diǎn)且與平行的直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，可得，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，，所以，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為19、（1）+1；（2）單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間是和，極大值為，極小值為【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線斜率，求出后利用點(diǎn)斜式即可得解；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)后，解一元二次不等式分別求出、時(shí)的取值范圍即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，∴切線方程為，即+1；（2），所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和，極大值為，極小值為20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）要證，只需證平面，只需證（由勾股定理可證），，只需證平面，只需證（由平面平面可證），（由可證），即可證明結(jié)論.（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)由于軸，可設(shè)，可得出與的坐標(biāo)設(shè)為平面的法向量，求出法向量.是關(guān)于的一個(gè)式子，求出的取值范圍，即可求出的最小值【小問1詳解】在中，，，，所以，所以所以是等腰直角三角形，即因?yàn)椋杂忠驗(yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面又平面，所以又因?yàn)?，EC，平面所以平面又平面，所以，所以在中，，，所以所以又因?yàn)?，，所以，所以又，，平面所以平面又平面，所以【小?詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，因?yàn)檩S，可設(shè)，可求得，設(shè)為平面的法向量則令，解得，所以又因?yàn)槭瞧矫娴姆ㄏ蛄克?，因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)，取到最小值21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接CH，延長(zhǎng)交PD于點(diǎn)K，連接BK，根據(jù)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點(diǎn)，易得，再利用線面平行的判定定理證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，平面PBC一個(gè)法向量，代入公式求解.【詳解】（1）如圖所示：連接CH，延長(zhǎng)交PD于點(diǎn)K，連接BK，因?yàn)樵O(shè)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點(diǎn)，所以H為CK的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面；（2）建立如圖所示直角坐標(biāo)系則，所以，設(shè)平面PBC一個(gè)法向量為：，則，有，令，，設(shè)直線FH與平面所成角為，所以，因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理，線面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理，運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.22、（1）圓的圓心坐標(biāo)為，即拋物線的焦點(diǎn)為,……3分∴∴拋物線方程為……6分

由題