8.2重力勢能

初中我們已經(jīng)定性地學習了重力勢能，物體的質(zhì)量越大、所處的位置越高，重力勢能就越大。

這一節(jié)我們來進一步定量地研究重力勢能。你認為重力勢能的表達式應該是怎樣的呢？問題？一.重力做的功（1）重力做的功：WG=mgΔh，式中的Δh是物體運動時初、末位置的高度差.1.重力做的功（2）推導①如圖所示，質(zhì)量為m的物體，在重力作用下自由下落Δh高度，由W=FL知WG=mgΔh.②如圖所示，可視為質(zhì)點、質(zhì)量為m的物體，從傾角為θ、高為Δh的斜面頂端滑到底部，由W=FLcosα得WG=mgLsinθ=mgΔh.③如圖所示，當可視為質(zhì)點、質(zhì)量為m的物體從任意路徑滑至底端時，可以把整個路徑分割成很多很短的斜線路徑，由于每一段都很小，因而可近似地將每一段路徑看作一段傾斜的直線，設每段小斜線的長度分別為L1、L2、L3、···高度差分別為Δh1、Δh2、Δh3、···與水平面的夾角分別為θ1、θ2、θ3···物體通過每段小斜線時重力做的功分別為mgL1sinθ1、mgL2sinθ2、mgL3sinθ3···物體通過整個路徑時重力做的功，等于重力在每小段上所做功的代數(shù)和，即:WG=mgL1sinθ1+mgL2sinθ2+mgL3sinθ3+?=mgΔh1+mgΔh2+mgΔh3+?=mgΔh重力對它做的功只跟它的起點和終點的位置有關，而跟物體運動的路徑無關.2.重力做功的特點如圖所示，質(zhì)量為m的小球從位置A運動到位置B的過程中，雖然小球先運動到地面再到B位置，但初、末位置的高度差是H-h.由于重力做功與運動路徑無關，只取決于物體的重力mg和物體初、末位置的高度差，所以小球由A位置運動到B位置，重力做的功WG=mg(H?h)。注意說明例1.沿著高度相同，坡度不同，粗糙程度也不同的斜面將同一物體分別從底端拉到頂端，下列說法正確的是()A．沿坡度小的斜面運動時，物體克服重力做的功多B．沿坡度大、粗糙程度大的斜面運動時，物體克服重力做的功多C．沿坡度小、粗糙程度大的斜面運動時，物體克服重力做的功多D．不管沿怎樣的斜面運動，物體克服重力做的功都相同D（4）矢標性：重力勢能是標量，只有大小，沒有方向，但有正負之分.二.重力勢能（1）定義：物體由于被舉高而具有的能．（2）公式：Ep=mgh，式中的h是物體的重心相對參考平面的高度.（3）單位：焦耳，符號J

1.重力勢能

2.重力勢能的“四性”（1）系統(tǒng)性：重力勢能是物體和地球所組成的系統(tǒng)共同具有的能量，而不是物體獨有的，通常所說的“物體的重力勢能”是一種簡略的習慣說法.（4）重力勢能變化量的絕對性：物體在從一個位置到另一個位置的過程中，其重力勢能的變化量與參考平面的選擇無關，該變化量是絕對的.（3）參考平面選擇的任意性：選擇哪一個水平面作為參考平面，要根據(jù)具體情況而定，一般以方便解決問題為原則，通常選擇地面或物體運動時所達到的最低處為參考平面.例2.如圖所示，質(zhì)量為m的鐵球從空中位置A處由靜止釋放，經(jīng)過一段時間后下落至位置B處，A、B間高度差為H，重力加速度為g，不計空氣阻力，取位置A為零勢能點．則（)A．在位置B處，鐵球的重力勢能為mgHB．如果存在空氣阻力，在位置B處鐵球的重力勢能大于﹣mgHC．無論是否存在空氣阻力，經(jīng)過位置B時，鐵球的重力勢能一定減小mgHD．若選擇位置B為零勢能點，由于零勢能點下降，重力做功會大于mgHC3.重力做功與重力勢能之間的關系

這也說明了重力做正功，重力勢能減少，重力做負功，重力勢能增加.三.彈性勢能物體具有彈性勢能的條件是發(fā)生彈性形變.例如，卷緊的發(fā)條、拉長或壓縮的彈簧、拉開的弓、正在擊球的網(wǎng)球拍、撐竿跳高運動員手中彎曲的竿等，這些物體都發(fā)生了彈性形變，因此這些物體都具有彈性勢能.發(fā)生彈性形變的物體的各部分之間，由于有彈力的相互作用，也具有勢能，這種勢能叫作彈性勢能.1.彈性勢能的定義2.物體具有彈性勢能的條件（2）彈性勢能的大小還跟其他因素有關系．例如，彈簧的彈性勢能還跟彈簧的勁度系數(shù)有關.不同的彈簧發(fā)生同樣大小的形變，勁度系數(shù)越大，彈簧的彈性勢能就越大.3.彈性勢能大小的影響因素（1）在彈性限度內(nèi)，發(fā)生彈性形變的物體具有的彈性勢能與物體的形變大小有關.形變越大，物體具有的彈性勢能就越大.彈性勢能是相對的，對于彈簧來說，通常認為彈簧長度為原長時其彈性勢能為零.彈簧被拉伸（或壓縮）后就具有彈性勢能，外力拉伸（或壓縮）彈簧做了多少功，彈簧的彈性勢能就增加多少；彈簧在恢復原長的過程中，彈力對外做了多少功，彈性勢能就減少多少.4.彈簧彈性勢能的變化和彈力做功的關系彈簧彈性勢能的變化量等于彈簧彈力做功的負值，即

W彈=-ΔEp彈例3.關于彈簧的彈性勢能，下列說法中正確的是()A．當彈簧變長時，它的彈性勢能一定增大B．當彈簧變短時，它的彈性勢能一定變小C．當拉伸相同的長度時，彈簧的勁度系數(shù)越大，它的彈性勢能就越大D．彈簧在拉伸時的彈性勢能一定大于壓縮時的彈性勢能C

（2）由初、末狀態(tài)的重力勢能求重力勢能的變化量．選擇合適的參考平面，先分別求物體在初狀態(tài)和末狀態(tài)的重力勢能，然后求重力勢能的變化量，這也是一種常用的方法.應當引起注意的是，對于大小和形狀不可忽略的物體，在計算其重力勢能時，要由其重心的位置來確定它相對于參考平面的高度.拓展一：重力勢能變化量的分析方法重力勢能具有相對性，但在某一過程中重力勢能的變化量卻是絕對的，因此在研究問題時，關注該過程中重力勢能的變化量.求解重力勢能變化量的方法有兩種：（1）由重力做功求重力勢能的變化量．重力做了多少功，重力勢能就減少了多少；物體克服重力做了多少功，重力勢能就增加了多少.

4284.5J拓展二：彈性勢能與彈力做功的關系1.對彈性勢能的理解①彈簧的形變量x②彈簧的勁度系數(shù)k(1）彈性勢能的產(chǎn)生原因①物體發(fā)生了彈性形變②各部分間有彈力作用(2）彈性勢能的影響因素（4）相對性：彈性勢能的大小與選定的零勢能位置有關，對于彈簧，一般規(guī)定彈簧處于原長時的彈性勢能為零，彈簧處于原長時的位置為零勢能位置.（3）系統(tǒng)性：彈性勢能是發(fā)生彈性形變的物體上所有質(zhì)點因相對位置改變而具有的能量，因此彈性勢能具有系統(tǒng)性.（2）彈力做正功時，彈性勢能減小，彈性勢能轉(zhuǎn)化為其他形式的能.2.彈性勢能與彈力做功的定性關系（1）彈力做負功時，彈性勢能增加，其他形式的能轉(zhuǎn)化為彈性勢能.彈力做功與彈性勢能的關系式為：3.彈性勢能與彈力做功的定量關系

如圖所示，彈簧左端固定，右端連接一物體，O點為彈簧的原長處.在物體由O點向右移動的過程中，彈簧被拉長，彈力對物體做負功，彈簧的彈性勢能增加；在物體由O點向左移動的過程中，彈簧被壓縮，彈力對物體做負功，彈簧的彈性勢能增加.4.彈簧彈性勢能變化與彈力做功的關系

在物體由A點向右移動到0點的過程中，彈簧的壓縮量減小，彈力對物體做正功，彈性勢能減少；在物體由A＇點向左移動到O點的過程中，彈簧的伸長量減小，彈力對物體做正功，彈性勢能減少.例5.關于彈簧的彈性勢能，下列說法正確的是()A．當彈簧變長時，它的彈性勢能一定增加B．當彈簧變短時，它的彈性勢能一定變小C．若選彈簧自然長度時的勢能為零，則其他長度的勢能均為正值D．若選彈簧自然長度時的勢能為零，則當彈簧伸長時彈性勢能為正值，當彈簧壓縮時彈性勢能為負值C

拓展三：繩子、鏈條類物體重力勢能的求法如圖所示，柔軟鏈條（繩索）在運動過程中形狀會發(fā)生變化，重心也會發(fā)生變化，即相對參考面的高度發(fā)生變化，其重力勢能也就隨之發(fā)生變化，解題時確定重心位置是解決鏈條（繩索）問題的關鍵.1.建模背景（3）選取合理的勢能零點，可以使計算更方便．2.模型特點（1）粗細均勻、質(zhì)量分布均勻的長直鏈條（繩索），其重心在長度的一半處.（2）如圖甲、乙所示，柔軟鏈條（繩索）不以直線狀（如折線狀）放置時，應分段求重力勢能再求和.①當繩子、鏈條呈直線狀（水平或豎直或傾斜）放置時，Ep=mgh中的h表示中點處相對參考平面的高度；3.模型解法②當繩子、鏈條不以直線狀（如以折線狀）放置時，應當分段表示重力勢能再求和.方法一：方法二：例6.