2026屆新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)幾何意義與不等式證明命題熱度：本專題是歷年高考命題必考的內(nèi)容，屬于低中高檔題目，三種題型都有所考查，分值約為5~13分.考查方向：考查重點一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程、參數(shù)值、范圍等，二是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，涉及構(gòu)造函數(shù)求最值、極值點偏移，以及切割線放縮等.考點一導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)(2025·湛江模擬)已知函數(shù)f(x)=ex+2x，則曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為A.y=2x+1 B.y=3x+1C.y=2x D.y=3x例1√由f(x)=ex+2x，得f'(x)=ex+2，則f(0)=1，f'(0)=3，所以曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y=3x+1.解析(2)若至少存在一條直線與曲線f(x)=2x2+3和g(x)=3-tlnx(t≠0)均相切，則t的取值范圍是A.[-4e，0) B.[2e，+∞)C.(-4e，0)∪(0，+∞) D.[-4e，0)∪(0，+∞)√

解析

解析(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義①函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)即曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率；②曲線在某點的切線與曲線過某點的切線不同；③切點既在切線上，又在曲線上；(2)區(qū)分“在點處”的切線和“過點處”的切線，過點P的切線，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.規(guī)律方法跟蹤演練1

(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)若曲線y=ex+x在點(0，1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線，則a=

.

ln2

解析

解析考點二單變量函數(shù)不等式的證明

例2

解

解(2)若a=0，x>0，證明：f(x)>g'(x).

證明

證明

證明即ln

x+1≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，要證f(x)>g'(x)，即證xex>ln

x+1，只需證xex>x，即證ex>1.因為x>0，所以ex>e0=1，即證得f(x)>g'(x)成立.方法三

切線放縮法令φ(x)=ex-x-1，則φ'(x)=ex-1，當(dāng)x∈(-∞，0)時，φ'(x)<0，證明當(dāng)x∈(0，+∞)時，φ'(x)>0，所以φ(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，所以φ(x)≥φ(0)=0，即ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立.當(dāng)x>0時，xex>x(x+1)，要證f(x)>g'(x)，即證xex>ln

x+1，只需證x(x+1)>ln

x+1，即證x(x+1)-ln

x-1>0.證明

證明

證明

證明利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題的常用方法(1)最值法：通過移項構(gòu)造新函數(shù)或者等價變形構(gòu)造新函數(shù)，求解新函數(shù)的最值，從而得出不等關(guān)系；(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；(3)凹凸反轉(zhuǎn)法：把所證不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的大小關(guān)系，分別求解兩個函數(shù)的最值，得到不等關(guān)系.規(guī)律方法

解

證明考點三雙變量函數(shù)不等式的證明

已知函數(shù)f(x)=xe-x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；例3f'(x)=e-x-xe-x=(1-x)e-x，令f'(x)>0?x<1；令f'(x)<0?x>1，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，+∞).解(2)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2>2.

證明即f(1+x)>f(1-x)對x∈(0，1)恒成立.由0<x1<1<x2，得1-x1∈(0，1)，所以f(1+(1-x1))=f(2-x1)>f(1-(1-x1))=f(x1)=f(x2)，即f(2-x1)>f(x2)，又因為2-x1，x2∈(1，+∞)，且f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，所以2-x1<x2，即x1+x2>2.方法二

要證x1+x2>2，即證x2>2-x1，不妨設(shè)x1<x2，由方法一知，0<x1<1<x2，故2-x1，x2∈(1，+∞)，又因為f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，證明

證明

證明構(gòu)造函數(shù)G(t)=2t+(t-2)(et-1)，t>0，則G'(t)=(t-1)et+1，令p(t)=G'(t)，t>0，則p'(t)=tet>0，故G'(t)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，G'(t)>G'(0)=0，從而G(t)也在(0，+∞)上單調(diào)遞增，則G(t)>G(0)=0，即2t+(t-2)(et-1)>0成立，即原不等式x1+x2>2成立.證明證明含雙參不等式成立的關(guān)鍵：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式；二是構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從