橢圓及其標準方程07:20:5407:20:54橢圓是圓錐曲線的一種，具有豐富的幾何性質，在科研、生產(chǎn)和人類生活中具有廣泛的應用。在電影院中，膠片電影放映機的聚光燈有一個反射鏡，它的形狀是旋轉橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面）。07:20:54示意圖如下，電影工作人員會把影片門和燈絲放在橢圓兩個特殊的不同定點F1、F2處，利用橢圓的光學性質：從燈絲F2發(fā)出的光經(jīng)過橢圓面的反射總能到達影片門F1，其目的是為了讓影片門（電影膠片通過的地方）獲得最強的光，這樣放映的電影就能更清楚了。07:20:54在數(shù)學中我們把這兩個特殊的定點叫做橢圓的焦點。一般記為點F1、F2。其光線簡化如下圖。利用光的反射性質得到F1M的虛像F1’M07:20:54觀察到此時F1’F2為定值，即F1’M+F2M=常數(shù)。而F1’M=F1M，所以F1M+F2M=常數(shù)。此常數(shù)通常用2a表示。得到橢圓的幾何特征：橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為定值。若光線從不同的方向射入，F(xiàn)1’的位置會有怎樣的變化？07:20:54今年9月17號，神舟十二號載人飛船順利歸來，三名宇航員的回歸振奮人心，所有人歡呼鼓舞，為航天英雄稱贊！07:20:54今年9月17號，神舟十二號載人飛船順利歸來，三名宇航員的回歸振奮人心，所有人歡呼鼓舞，為航天英雄稱贊！橢圓具有豐富的幾何性質，在科研、生產(chǎn)和人類生活中具有廣泛的應用。比如：放大鏡、探照燈、汽車的反光鏡都用到了橢圓的幾何性質。所以研究橢圓將會幫助我們解決生活中許多問題。那么，什么是橢圓？怎么畫橢圓呢？07:20:54生活中常見的橢圓形物品有哪些？探究：取一長度固定的細繩，兩端固定于平面上不同的兩點。套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么？在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？筆尖到兩個定點的距離的和等于常數(shù)。07:20:541、橢圓的定義：

平面內到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。

兩定點稱為焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，記為2c。焦距的一半叫做半焦距，記為c。M幾點說明：1、(定點）F1、F2是兩個不同的定點；2、（定長）|MF1|+|MF2|=2a；（動點）M為橢圓任意一點3、（大小關系）常數(shù)記為2a，焦距為2c，且2a>2c（？）；4、如果2a=2c，則M點的軌跡是5、如果2a<2c，則M點的軌跡

下面我們來求橢圓的標準方程.線段F1F2.不存在.|MF1|+|MF2|=|F1F2|

|MF1|+|MF2|<|F1F2|

2c|MF1|+|MF2|=2a07:20:54推導橢圓的標準方程建立橢圓的方程就是要用代數(shù)式子橢圓是平面內到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡M表示出|MF1|+|MF2|=2a描繪出橢圓的幾何特征07:20:54推導橢圓的標準方程

建立直角坐標系一般應符合簡單和諧的原則，注意要充分利用圖形的對稱性。一般美觀的圖形他的方程也會很簡潔，比如我們在求圓的標準方程時，把圓心作為坐標原點，得到的方程就很簡潔美觀。r觀察橢圓，可以發(fā)現(xiàn)橢圓具有對稱性，而且過兩個焦點的直線是它的對稱軸，所以我們以經(jīng)過橢圓兩焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系。M07:20:54類比OXYF1F2M方案一07:20:54YOXF1F2MOXYF1F2M方案一方案二07:20:54F1F2PxOy

以直線F1F2為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立如圖坐標系。設P(x,y)為橢圓上的任意一點，∵F1F2＝2c(c>0),則：F1(-c,0)、F2(c,0)∵∴對于含有兩個根式的方程，可以采用移項兩邊平方進行化簡。方程的推導方程的推導07:20:54（定義法）移項平方y(tǒng)xO07:20:54（定義法）移項平方y(tǒng)xO07:20:5407:20:54同學們思考一下，還否有其他的推導過程呢？YOXF1F2MN（幾何法）設MF1=r1，MF2=r2，M（x，y），則有r1+r2=2a.07:20:54同學們思考一下，還否有其他的推導過程呢？YOXF1F2MN（幾何法）設MF1=r1，MF2=r2，M（x，y），則有r1+r2=2a.

①07:20:54同學們思考一下，還否有其他的推導過程呢？YOXF1F2MN（巧用余弦定理）設MF2=z，∠MF2N=α，因為MF1+MF2=2a.α07:20:54同學們思考一下，還否有其他的推導過程呢？YOXF1F2MN（巧用余弦定理）設MF2=z，∠MF2N=α，因為MF1+MF2=2a.

αOXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXYF1F2M(0,-c)(0,c)橢圓的標準方程的再認識：（1）橢圓標準方程的形式：（2）橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、b、c滿足（3）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。能不能不畫圖，只從標準方程就可以知道焦點在那個坐標軸上？左邊是兩個分式的平方和，右邊是107:20:54橢圓的標準方程

定義圖形方程焦點F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之間的關系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a（2a＞2c）小結：YOXF1F2MOXYF1F2M07:20:54注意：（3）若a2在x2之下，則焦點在x軸上；若a2在y2之下，則焦點在y軸上.哪個字母下面的分母大，焦點在哪個軸上。（2）a、b、c有關系式：c2=a2-b2，即a2=b2+c2，a最大.（1）在兩種方程中，總有a>b>0;07:20:54例1：1.口答：下列方程哪些表示橢圓？

若是,則判定其焦點在何軸？并指明，寫出焦點坐標.07:20:54

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課后思考：你還能用其他方法求它的標準方程嗎？試比較不同方法的特點。07:20:54

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07:20:54[方法規(guī)律總結]尋求點M的坐標（x,y）中x，y與x0，y0之間的關系，然后消去x0，y0，得到點M的軌跡方程，這是解析幾何中求點的軌跡方程常用的方法。利用信息技術，可以更方便地探究點M的軌跡的形狀。07:20:54

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07:20:54運用信息技術，可以探究點M的軌跡形狀。07:20:54一、二、二、三一個概念；二個方程；三個意識：小結小結二個方法：定義法；幾何法|MF1|+|MF2|=2a，（2a