2026年高等數(shù)學(xué)馬爾可夫鏈專項訓(xùn)練試題沖刺卷考試時長：120分鐘滿分：100分班級：__________姓名：__________學(xué)號：__________得分：__________試卷名稱：2026年高等數(shù)學(xué)馬爾可夫鏈專項訓(xùn)練試題沖刺卷考核對象：高等院校數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、計算機(jī)科學(xué)等相關(guān)專業(yè)學(xué)生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）請判斷下列命題的正誤。1.馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P必須滿足每行元素之和為1。2.無窮馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布是唯一的。3.馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率P(t)與初始分布無關(guān)。4.如果馬爾可夫鏈?zhǔn)遣豢杉s的且不可約狀態(tài)是常返的，則該鏈存在平穩(wěn)分布。5.馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣P是隨機(jī)矩陣。6.馬爾可夫鏈的遍歷性要求狀態(tài)空間是有限的。7.馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布是使得P(x,y)π(x)=π(y)的解。8.馬爾可夫鏈的常返狀態(tài)一定是周期性的。9.馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣P可以表示為P(t)=P^t，其中t為時間步數(shù)。10.馬爾可夫鏈的不可約性意味著所有狀態(tài)之間可以相互到達(dá)。---二、單選題（每題2分，共20分）請選擇最符合題意的選項。1.設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為{1,2,3}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：P=[[0.5,0.3,0.2],[0.4,0.4,0.2],[0.1,0.3,0.6]]則狀態(tài)1到狀態(tài)2的一步轉(zhuǎn)移概率為（）。A.0.3B.0.4C.0.5D.0.62.馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布π滿足（）。A.πP=πB.πP^t=πC.πP=P^tD.πP^t=P3.設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為無限集，則該鏈（）。A.一定不可遍歷B.可能存在平穩(wěn)分布C.一定不存在平穩(wěn)分布D.一定不可約4.馬爾可夫鏈的周期T滿足（）。A.T為所有狀態(tài)轉(zhuǎn)移的最小公倍數(shù)B.T為狀態(tài)返回自身所需的最小步數(shù)C.T為狀態(tài)空間的大小D.T為轉(zhuǎn)移概率的最大值5.設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣P為：P=[[0.7,0.3],[0.4,0.6]]則該鏈的平穩(wěn)分布為（）。A.[0.57,0.43]B.[0.6,0.4]C.[0.5,0.5]D.[0.4,0.6]6.馬爾可夫鏈的常返狀態(tài)是指（）。A.從該狀態(tài)出發(fā)，最終以概率1返回該狀態(tài)B.從該狀態(tài)出發(fā)，最終以概率0返回該狀態(tài)C.從該狀態(tài)出發(fā)，不可能返回該狀態(tài)D.從該狀態(tài)出發(fā)，返回概率小于17.設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為{1,2,3,4}，轉(zhuǎn)移概率矩陣P為：P=[[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1],[1,0,0,0]]則該鏈的周期為（）。A.1B.2C.3D.48.馬爾可夫鏈的遍歷性要求（）。A.狀態(tài)空間有限且不可約B.狀態(tài)空間無限且不可約C.狀態(tài)空間有限且可約D.狀態(tài)空間無限且可約9.設(shè)馬爾可夫鏈的初始分布為π(0)=[0.5,0.5]，轉(zhuǎn)移概率矩陣為P，則π(1)=（）。A.π(0)PB.π(0)P^2C.Pπ(0)D.P^2π(0)10.馬爾可夫鏈的不可約性要求（）。A.所有狀態(tài)之間可以相互到達(dá)B.存在至少一個常返狀態(tài)C.狀態(tài)空間為有限集D.轉(zhuǎn)移概率矩陣P為對角矩陣---三、多選題（每題2分，共20分）請選擇所有符合題意的選項。1.馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布π滿足（）。A.πP=πB.π非負(fù)C.π各元素之和為1D.πP^t=π2.馬爾可夫鏈的常返狀態(tài)具有（）。A.狀態(tài)返回概率為1B.狀態(tài)返回概率小于1C.狀態(tài)期望返回時間為有限值D.狀態(tài)期望返回時間為無窮大3.馬爾可夫鏈的不可約性要求（）。A.狀態(tài)空間有限B.所有狀態(tài)之間可以相互到達(dá)C.存在至少一個常返狀態(tài)D.轉(zhuǎn)移概率矩陣P為對角矩陣4.馬爾可夫鏈的周期T滿足（）。A.T為所有狀態(tài)轉(zhuǎn)移的最小公倍數(shù)B.T為狀態(tài)返回自身所需的最小步數(shù)C.T為狀態(tài)空間的大小D.T為轉(zhuǎn)移概率的最大值5.設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣P為：P=[[0.6,0.4],[0.3,0.7]]則該鏈的平穩(wěn)分布為（）。A.[0.57,0.43]B.[0.6,0.4]C.[0.5,0.5]D.[0.4,0.6]6.馬爾可夫鏈的遍歷性要求（）。A.狀態(tài)空間有限B.狀態(tài)空間無限C.不可約D.常返7.馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布π滿足（）。A.π非負(fù)B.π各元素之和為1C.πP=πD.πP^t=π8.馬爾可夫鏈的常返狀態(tài)具有（）。A.狀態(tài)返回概率為1B.狀態(tài)返回概率小于1C.狀態(tài)期望返回時間為有限值D.狀態(tài)期望返回時間為無窮大9.馬爾可夫鏈的不可約性要求（）。A.狀態(tài)空間有限B.所有狀態(tài)之間可以相互到達(dá)C.存在至少一個常返狀態(tài)D.轉(zhuǎn)移概率矩陣P為對角矩陣10.設(shè)馬爾可夫鏈的初始分布為π(0)=[0.5,0.5]，轉(zhuǎn)移概率矩陣為P，則π(1)=（）。A.π(0)PB.π(0)P^2C.Pπ(0)D.P^2π(0)---四、案例分析（每題6分，共18分）1.案例：某城市有A、B、C三個區(qū)，居民在每天會隨機(jī)選擇去另一個區(qū)旅游，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：P=[[0,0.6,0.4],[0.3,0,0.7],[0.5,0.5,0]]（1）求該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。（2）若初始時刻A區(qū)有60%居民，B區(qū)有30%居民，C區(qū)有10%居民，求第二天各區(qū)的居民比例。2.案例：某網(wǎng)站用戶登錄狀態(tài)為“在線”“離線”“退出”，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：P=[[0.8,0.1,0.1],[0.2,0.7,0.1],[0.1,0.2,0.7]]（1）求該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。（2）若初始時刻“在線”“離線”“退出”狀態(tài)的用戶比例分別為[0.5,0.3,0.2]，求用戶狀態(tài)分布的平穩(wěn)性是否成立。3.案例：某生產(chǎn)線有三種狀態(tài)：正常、故障、維修，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：P=[[0.9,0.05,0.05],[0.1,0.8,0.1],[0.2,0.1,0.7]]（1）求該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。（2）若初始時刻生產(chǎn)線處于“正?！薄肮收稀薄熬S修”狀態(tài)的概率分別為[0.7,0.2,0.1]，求1小時后各狀態(tài)的概率分布。---五、論述題（每題11分，共22分）1.論述題：馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布與遍歷性的關(guān)系是什么？請結(jié)合具體例子說明。2.論述題：馬爾可夫鏈的不可約性與常返性的定義是什么？它們之間有何聯(lián)系？請結(jié)合具體例子說明。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析---一、判斷題1.√2.×（無窮馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布可能不存在）3.×（平穩(wěn)分布與初始分布有關(guān)）4.√5.√6.×（遍歷性不要求狀態(tài)空間有限）7.×（平穩(wěn)分布滿足πP=π）8.×（常返狀態(tài)可以是非周期的）9.×（馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣P(t)通常不滿足P(t)=P^t）10.√解析：1.馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣P必須滿足每行元素之和為1，這是隨機(jī)矩陣的定義。2.無窮馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布可能不存在，例如狀態(tài)空間為{1,2,3,...}的隨機(jī)游走。3.平穩(wěn)分布π滿足πP=π，即π(1)=0.6π(1)+0.4π(2)，與初始分布有關(guān)。4.不可約且常返的狀態(tài)鏈存在平穩(wěn)分布，這是馬爾可夫鏈的基本性質(zhì)。5.隨機(jī)矩陣的定義是每行元素非負(fù)且和為1。6.遍歷性不要求狀態(tài)空間有限，例如無限狀態(tài)空間的不可約常返鏈。7.平穩(wěn)分布滿足πP=π，即π(1)=0.6π(1)+0.4π(2)，而非π(x,y)π(x)=π(y)。8.常返狀態(tài)可以是非周期的，例如狀態(tài)1→2→1的周期為1。9.π(1)=π(0)P，即初始分布乘以轉(zhuǎn)移概率矩陣。10.不可約性要求所有狀態(tài)之間可以相互到達(dá)，這是定義。---二、單選題1.A2.A3.B4.B5.A6.A7.A8.A9.A10.A解析：1.狀態(tài)1到狀態(tài)2的一步轉(zhuǎn)移概率為P(1,2)=0.3。2.平穩(wěn)分布π滿足πP=π。3.無限狀態(tài)空間的馬爾可夫鏈可能存在平穩(wěn)分布，例如隨機(jī)游走。4.周期T是狀態(tài)返回自身所需的最小步數(shù)。5.解πP=π得π=[0.57,0.43]。6.常返狀態(tài)是指從該狀態(tài)出發(fā)，最終以概率1返回該狀態(tài)。7.周期為1，因為狀態(tài)4→1→4→...。8.遍歷性要求狀態(tài)空間有限且不可約。9.π(1)=π(0)P，即[0.5,0.5][0.7,0.3,0.2]=...。10.不可約性要求所有狀態(tài)之間可以相互到達(dá)。---三、多選題1.A,B,C2.A,C3.B,C4.A,B5.A6.A,C7.A,B,C8.A,C9.B,C10.A解析：1.平穩(wěn)分布π滿足πP=π，π非負(fù)，π各元素之和為1。2.常返狀態(tài)是指從該狀態(tài)出發(fā)，最終以概率1返回該狀態(tài)，且期望返回時間為有限值。3.不可約性要求所有狀態(tài)之間可以相互到達(dá)，且存在至少一個常返狀態(tài)。4.周期T是狀態(tài)返回自身所需的最小公倍數(shù)。5.解πP=π得π=[0.57,0.43]。6.遍歷性要求狀態(tài)空間有限且不可約。7.平穩(wěn)分布π滿足π非負(fù)，π各元素之和為1，πP=π。8.常返狀態(tài)是指從該狀態(tài)出發(fā)，最終以概率1返回該狀態(tài)，且期望返回時間為有限值。9.不可約性要求所有狀態(tài)之間可以相互到達(dá)，且存在至少一個常返狀態(tài)。10.π(1)=π(0)P，即初始分布乘以轉(zhuǎn)移概率矩陣。---四、案例分析1.案例：（1）解πP=π，π各元素之和為1，得π=[0.57,0.43]。（2）π(1)=π(0)P=[0.5,0.3,0.2][0.6,0.4,0.4]=...。2.案例：（1）解πP=π，π各元素之和為1，得π=[0.57,0.43]。（2）π(1)=π(0)P=[0.5,0.3,0.2][0.8,0.1,0.1]=...。3.案例：（1）解πP=π，π各元素之和為1，得π=[0.57,0.43]。（2）π(1)=π(0)P=[0.7,0.2,0.1][0.9,0.05,0.05]=...。---五、論述題1.論述題：馬爾可夫鏈的