哈爾濱德強(qiáng)高級(jí)中學(xué)2025-2026學(xué)年度上學(xué)期期末考試

高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題(Ⅱ卷)

時(shí)間：120分鐘滿分：150分

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題四個(gè)選項(xiàng)中，僅有一項(xiàng)正確)

1.計(jì)算：A2=()

A.5B.10C.15D.20

2.拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為()

A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-2

3.函數(shù).在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)值是()

A.1B.-1D.

4.已知等差數(shù)列{a,}的前n項(xiàng)和為S?,a?+a?=8,則S=()

A.52B.40C.44D.36

5.兩圓x2+y2=36和(x-3)2+(y+4)2=1的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)切B.外離C.外切D.相交

6.數(shù)列{an},若a?=1,an=an?1+n+1(n≥2),則a=()

A.34B.43C.53D.64

7.已知拋物線C:y2=6x,過點(diǎn)A(4.2)的直線1與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)，若MA=AN,

則直線l的斜率是()

B.D.

8.若函數(shù)f(x)定義在(0,+∞)上且可導(dǎo)，f(x)<xf'(x)則()

A.ef(1)<f(e)B.ef(1)>f(e)

C.ef(1)=f(e)D.f(1)=f(e)

二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

9.設(shè)從東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆贩謩e有2,3,3,4條，現(xiàn)要從一面上山，從剩余三面中的任意一

面下山，則下列結(jié)論正確的是()

A.從東面上山有20種走法B.從西面上山有27種走法

試卷第1頁，共4頁

C.從南面上山有30種走法D.從北面上山有32種走法

10.題圖為y=f'(x)的圖像，下列判斷中正確的是().

A.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-3,0)上是減函數(shù)

B.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù)

C.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,2)上是增函數(shù)

D.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(3,4)上是增函數(shù)

11.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S。,若a?+a?=10,a?a?a?=64,則()

A.S?+-S,=2”+1B.a=2”-1

C.S=2”-1D.S?=2”?1-1

12.已知雙曲線E:的左、右焦點(diǎn)分別為F,F?,P是E的右支上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.|PF|-|PF?|=4B.E的離心率是√3

C.|PF|的最小值是6D.P到兩漸近線的距離的乘積是3

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.函數(shù)f(x)=x3-2x2的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為_·

14.將A,B,C三個(gè)人隨機(jī)安排到甲、乙、丙、丁這四個(gè)部門工作，已知甲部門一定有人，則不同的安排方法

種數(shù)是·

15.已知橢圓的離心率為e,F,F?分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得

∠F?PF?是鈍角，則滿足條件e的范圍

16.有一個(gè)數(shù)陣排列如下：

12345678……

2468101214……

試卷第2頁，共4頁

48121620……

8162432……

16324864……

326496……

64……

則第9行從左至右第3個(gè)數(shù)字為

四、解答題(本大題共6小題，其中第17題10分，18-22題每題12分，共70分)

17.已知圓過兩點(diǎn)A(1,4)、B(3,2),且圓心在直線y=0上.

(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)判斷點(diǎn)P(2,4)與圓的關(guān)系.

18.已知等比數(shù)列{a,}各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足a=1,a?=9.

(1)求數(shù)列{a,}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b,=n+an,求數(shù)列{b.}的前n項(xiàng)和T,.

19.已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.若函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值-4.

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值.

20.已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S=3n2-n.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

數(shù)列{b,}的前n項(xiàng)和為T,證明：

21.已知函數(shù)f(x)=xlnx-3x2-kx-2.

(1)若k=0,求f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

試卷第3頁，共4頁

(2)若f(x)≤0,求k的取值范圍.

22.已知橢圓(,離心率,過點(diǎn)

(1)求C的方程；

(2)直線1過點(diǎn)M(0,1),交橢圓于A、B兩點(diǎn)，記N(0,3),并設(shè)直線NA、直線NB的斜率分別為ka、kNB,

證明：ka+kNB=0.

試卷第4頁，共4頁

高二期末考試數(shù)學(xué)學(xué)科(Ⅱ卷)參考答案

一、單選題

1.計(jì)算：A3=()

A.5B.10C.15D.20

【答案】D【詳解】A2=5×4=20,

2.拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為

A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-2

【答案】C【詳解】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)在x軸上，且

∴拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-1.

3.函數(shù)在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)值是()

A.1B.-1

【答案】B

【詳解】由得,所以f'(1)=-1,

4.已知等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S,a?+a?=8,則S=()

A.52B.40C.44D.36

【答案】C

【詳解】等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得：a?+a??=a?+a?,所以

5.兩圓x2+y2=36和(x-3)2+(y+4)2=1的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)切B.外離C.外切D.相交

【答案】A

【詳解】圓x2+y2=36的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為r=6,

圓(x-3)2+(y+4)2=1的圓心坐標(biāo)為(3,-4),半徑為r?=1,

兩圓圓心距為d=√(0-3)2+(0+4)2=5,,則d=r-r?,

因此，兩圓x2+y2=36和(x-3)2+(y+4)2=1內(nèi)切.

6.數(shù)列{an},若a?=1,an=an?1+n+1,則a?=()

A.34B.43C.53D.64

試卷第1頁，共9頁

【答案】B

【詳解】∵an=an_1+n+1且a?=1,∴an-an?1=n+1,

7.已知拋物線C:y2=6x,過點(diǎn)A(4,2)的直線1與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)，若MA=AN,則直線1的斜率是

()

【答案】D

【詳解】設(shè)M(x,y?),N(x?,y?),則y2=6x,y2=6x?,

因?yàn)镸A=AN,所以A(4,2)為MN的中點(diǎn)，

所以y?+y?=4,

故直線l的斜

N

A

x

oM

8.若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，f(x)<xf'(x)則

A.ef(1)<f(e)B.ef(1)>f(e)

C.ef(1)=f(e)D.f(1)=f(e)

【答案】A

詳解：根據(jù)f(x)<xf'(x)可得xf'(x)-f(x)>0,

可知當(dāng)x>0時(shí)，,即

所以可知函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù)，即

從而得ef(1)<f(e),故選A.

試卷第2頁，共9頁

二、多選題

9.設(shè)從東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆贩謩e有2,3,3,4條，現(xiàn)要從一面上山，從剩余三面中的任意一

面下山，則下列結(jié)論正確的是()

A.從東面上山有20種走法B.從西面上山有27種走法

C.從南面上山有30種走法D.從北面上山有32種走法

【答案】ABD

【詳解】若從東面上山，則上山走法有2種，下山走法有10種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有20種走法；

若從西面上山，則上山走法有3種，下山走法有9種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有27種走法；

若從南面上山，則上山走法有3種，下山走法有9種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有27種走法；

若從北面上山，則上山走法有4種，下山走法有8種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有32種走法；

10.題圖為y=f'(x)的圖像，下列判斷中正確的是().

A.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-3,0)上是嚴(yán)格減函數(shù)

B.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,3)上是嚴(yán)格減函數(shù)

C.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,2)上是嚴(yán)格增函數(shù)

D.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(3,4)上是嚴(yán)格增函數(shù)

【答案】AC

【詳解】對(duì)A:在區(qū)間(-3,0)上f'(x)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,0)是嚴(yán)格減函數(shù)，故A正確；

對(duì)B:在區(qū)間(1,3)上f'(x)有正有負(fù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C:在區(qū)間(0,2)上f'(x)>0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)是嚴(yán)格增函數(shù)，故C正確；

對(duì)D:在區(qū)間(3,4)上f'(x)有正有負(fù)，故D錯(cuò)誤；

11.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a?+a?=10,a?a?a?=64,則()

A.S?+-S,=2"+1B.an=2”-1

C.S?=2”-1D.S,=2”?1-1

【答案】BC

試卷第3頁，共9頁

【詳解】∵數(shù)列{an}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且a?+a?=10>0,∴a>0

∵a?a?a?=64,∴a?2=64,解得a?=4,

a?+a?=10,4+4q=10即2q2-5q+2=0,解得q=2或

又?jǐn)?shù)列{an}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，取q=2,

\a=2”?1,,S?+-S?=2”+1-1-(2”-1)=2”.

12.已知雙曲線E:的左、右焦點(diǎn)分別為F?,F?,P是E的右支上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.|PF|-|PF?|=4B.E的離心率是√3

C.|PF|的最小值是6D.P到兩漸近線的距離的乘積是3

【答案】ACD

【詳解】解：已知雙曲線E:,得a2=4,b2=12,c2=a2+b2=16,

則a=2,b=2√3,c=4,

由雙曲線的定義得：|PF|-|PF?|=2a=4,所以選項(xiàng)A正確；

離心率所以選項(xiàng)B不正確；

當(dāng)P在右頂點(diǎn)時(shí)，|PF|取得最小值，即,則C正確；

因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為

設(shè)點(diǎn)P(x?,y%),則即3x。2-y2=12,

則點(diǎn)P到y(tǒng)=√3x和到y(tǒng)=-√3x的距離乘積為：

則D正確.

三、填空題

13.函數(shù)f(x)=x3-2x2的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為_·

【答案】4x-y-8=0

【詳解】f'(x)=3x2-4x,f'(2)=3×22-4×2=4,f(2)=23-2×22=0,

故函數(shù)f(x)=x3-2x2的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y-0=4(x-2),即4x-y-8=0.

試卷第4頁，共9頁

14.將A,B,C三個(gè)人隨機(jī)安排到甲、乙、丙、丁這四個(gè)部門工作，已知甲部門一定有人，則不同的安排方法

種數(shù)是_·

【答案】37

【詳解】先不考慮甲部門是否有人，總數(shù)為4×4×4=64種；

甲部門沒有人的種數(shù)為3×3×3=27種；

所以甲部門有人的安排方法種數(shù)為64-27=37種；

15.已知橢圓的離心率為e,F,F?分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得

∠F?PF?是鈍角，則滿足條件e的范圍

【答案】

y個(gè)

P?

P

【詳解】

x

F0F?

如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓長軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，P對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角∠FPF?漸漸增大，

當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P處時(shí)，張角∠FPF?達(dá)到最大值.

∵橢圓上存在點(diǎn)P使得∠F?PF?是鈍角，

∴△P?FF?中，∠F?P?F?>90°,∴RI△ROF?中，∠OP?F?>45°,∴PO<0F?,即b<c,

∴a2-c2<c2,可得a2<2c2,

16.有一個(gè)數(shù)陣排列如下：

246810

326496……

64……

則第9行從左至右第3個(gè)數(shù)字為

【答案】768

試卷第5頁，共9頁

【詳解】數(shù)陣排列第一列是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列a?=2”-1

所以第9行首項(xiàng)為2?=256,第9行公差為2?=256,

所以第9行從左至右第3個(gè)數(shù)字為768

四、解答題

17.已知圓過兩點(diǎn)A(1,4)、B(3,2),且圓心在直線y=0上.

(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)判斷點(diǎn)P(2,4)與圓的關(guān)系.

【詳解】(1)∵圓心在直線y=0上，

∴設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0),

則|AC|=|BC|,

即√(a-12+16=√(a-32+4,

即(a-1)2+16=(a-3)2+4,

解得a=-1,即圓心為(-1,0),

半徑r=|4C|=√(-1-1)2+16=√20=2√5

則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=20(6分)

(2)∵|PC|=√(-1-2)2+(0-4)2=√9+16=√25=5>r

∴點(diǎn)P(2,4)在圓的外面.(10分)

18.已知等比數(shù)列{a,}各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足a?=1,a?=9.

(1)求數(shù)列{a,}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b?=n+an,求數(shù)列{b,}的前n項(xiàng)和T.

【詳解】(1)設(shè)公比為q(q>0),

由a?=1,a?=9,得所以q=3(q=-3舍去),

所以a=3”?;(6分)

(2)由(1)得b,=n+a=3”?1+n,

試卷第6頁，共9頁

.(6分)

19.已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.若函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值-4.

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值.

【詳解】(1)因?yàn)閒(x)=2x3-ax2+b,

所以f'(x)=6x2-2ax,

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處取得極小值-4,

所以解得

此時(shí)f'(x)=6x2-6x=6x(x-1),

當(dāng)x<0或x>1時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取到極小值，符合題意.

所以(6分)

(2)由(1)知，a=3,b=-3,

f'(x)=6x2-6x=6x(x-1),

令f'(x)=0,則x=0或x=1,

當(dāng)f'(x)≥0時(shí)，x≤0或x≥1,所以f(x)在(-∞,0),[1,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)<0,f(x)在(0,1)單調(diào)遞減.

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞0,0),[1,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1);

當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f(x)取到極大值，即f(0)=-3.(6分)

20.已知數(shù)列{a,}的前n項(xiàng)和為S?=3n2-n.

(1)求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；

②,數(shù)列{b,}的前n項(xiàng)和為T?,證明：

試卷第7頁，共9頁

【詳解】(1)當(dāng)n≥2時(shí)，a?=S,-S??1=3n2-n-3(n-1)2+(n-1)=6n-4,

因?yàn)閚=1時(shí)，a?=S?=2,滿足上式，

所以數(shù)列{a,}的通項(xiàng)公式為a?=6n-4.(5分)

因?yàn)樗?7分)

21.已