5.1頻率特性

5.1.1頻率特性的基本概念頻率特性又稱頻率響應(yīng)，它是系統(tǒng)（或元件）對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性。設(shè)線性系統(tǒng)的輸入為一頻率為ω的正弦信號(hào)，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的輸出具有和輸入同頻率的正弦函數(shù)，但其振幅和相位一般均不同于輸入量，且隨著輸入信號(hào)頻率的變化而變化，如圖５－２所示。下面用一個(gè)簡(jiǎn)單的電路討論頻率特性的基本概念。圖５－３所示的ＲＣ電路在前面已討論過(guò)。如果在這一線形電路上加入正弦交流電壓ｅ１（ｔ）＝Ａｓｉｎωｔ，那么在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，電路中的輸出電壓ｅ２（ｔ）也必定和電壓ｅ１（ｔ）按同一頻率變化。下一頁(yè)返回5.1頻率特性圖５－３所示電路的傳遞函數(shù)為設(shè)輸入電壓ｕｉ（ｔ）＝Ａｓｉｎ（ωｔ），由電路原理求得式（５－２）表示把正弦信號(hào)加到系統(tǒng)時(shí)，在穩(wěn)定狀態(tài)下，系統(tǒng)的輸出量和輸入量的比。這個(gè)比值隨頻率而變化，頻率不同，這個(gè)比值的幅值大小和相位都不同。我們把這個(gè)比值叫作系統(tǒng)的頻率特性，上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.1頻率特性或頻率響應(yīng)，常用Ｇ（ｊω）表示，顯然它由該電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，與輸入信號(hào)的幅值和相位無(wú)關(guān)，Ｇ（ｊω）可改寫為式中，Ｔ＝ＲＣ。式中，Ｇ（ｊω）是Ｇ（ｊω）的幅值，它表示在穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出量和輸入量的幅值比隨頻率變化，稱為電路的幅頻特性。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.1頻率特性式中，φ（ω）是Ｇ（ｊω）的相角，它表示在穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出量和輸入量的相位差，也是隨頻率變化的，稱為電路的相頻特性。綜上所述，當(dāng)一頻率為ω的正弦信號(hào)加到電路的輸入端后，它的輸出量的穩(wěn)態(tài)值為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.1頻率特性由上式可知，當(dāng)ω＝０時(shí)，輸出與輸入的電壓不僅幅值相等，而且相位也完全一致。隨著ω的不斷增大，輸出電壓的幅值將不斷地衰減，相位也不斷地滯后。圖５－４所示為該電路的幅頻和相頻特性。比較式（５－２）和式（５－１）電路傳遞函數(shù)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)的頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相似的形式，只要把傳遞函數(shù)中的ｓ用ｊω代之，就得到系統(tǒng)（元件）的頻率特性，即有上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.1頻率特性由于頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊形式，因而它和傳遞函數(shù)一樣能表征系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，成為描述系統(tǒng)的又一種數(shù)學(xué)模型，具有普遍性。顯然，傳遞函數(shù)的有關(guān)運(yùn)算規(guī)則同樣也適用于頻率特性。5.1.2、頻率特性的求取若想用頻率法分析綜合系統(tǒng)，首先要求出系統(tǒng)的頻率特性。頻率特性函數(shù)可用以下方法求取。（１）如果已知系統(tǒng)的微分方程，則可將系統(tǒng)的輸入變量以正弦函數(shù)代入，求系統(tǒng)的輸出變量的穩(wěn)態(tài)解，輸出變量的穩(wěn)態(tài)解與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比即為系統(tǒng)的頻率特性。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.1頻率特性（２）如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則可將系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的ｓ以ｊω代之，即可得到系統(tǒng)的頻率特性。因此，頻率特性是特定情況下的傳遞函數(shù)。它和傳遞函數(shù)一樣，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系。（３）實(shí)驗(yàn)方法。穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的頻率特性可以用實(shí)驗(yàn)方法確定，即在系統(tǒng)的輸入端施加不同頻率的正弦信號(hào)，然后測(cè)量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，再根據(jù)幅值比和相位差作出系統(tǒng)的頻率特性曲線。5.1.3頻率特性表示法頻率特性可用解析式或圖形來(lái)表示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.1頻率特性１．復(fù)數(shù)點(diǎn)的表示法系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)是一種復(fù)變函數(shù)，可表示為式中，Ｕ（ω）是Ｗ（ｊω）實(shí)部，稱為實(shí)頻特性；Ｖ（ω）是Ｗ（ｊω）的虛部，稱為虛頻特性。２．復(fù)數(shù)的矢量表示法頻率特性函數(shù)還可表示為幅頻特性Ａ（ω）和相頻特性φ（ω）的形式，即上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.1頻率特性３．三角表示法４．指數(shù)表示法Ｇ（ｊω）＝Ｕ（ω）＋ｊＶ（ω）＝Ａ（ω）［ｃｏｓφ（ω）＋ｊｓｉｎφ（ω）］＝Ａ（ω）ｅｊφ（ω）（５－１３）其中以幅頻特性Ａ（ω）和相頻特性φ（ω）表示的頻率特性在工程中最為常用。頻率特性可用圖形形象地表示，工程上常用圖形來(lái)表示頻率特性。表示頻率特性的圖形有三種：對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖、極坐標(biāo)圖和對(duì)數(shù)幅相圖。本章主要討論極坐標(biāo)圖和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的繪制。上一頁(yè)返回5.2極坐標(biāo)圖基于頻率特性Ｗ（ｊω）是一個(gè)復(fù)數(shù)，因而可用下式表示：或?qū)懽魇街?，這樣，Ｇ（ｊω）可用幅值為Ｇ（ｊω）、相角為φ（ω）的向量來(lái)表示。在Ｇ（ｊω）平面上，以橫坐標(biāo)表示Ｐ（ω），縱坐標(biāo)表示ｊＱ（ω），這種采用極坐標(biāo)系的頻率特性圖稱為極坐標(biāo)圖或幅相曲線。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.2極坐標(biāo)圖

若將頻率特性表示為復(fù)指數(shù)形式，則為幅平面上的向量，而向量的長(zhǎng)度為頻率特性的幅值，向量與實(shí)軸正方向的夾角等于頻率特性的相角。由于幅頻特性為ω的偶函數(shù)，相頻特性為ω的奇函數(shù)，則ω從零變化到正無(wú)窮大和從零變化到負(fù)無(wú)窮大的幅相曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，因此一般只繪制頻率ω由０→∞變化時(shí)的幅相曲線。這種圖形主要用于對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究，乃奎斯特（Ｎ.Ｎｙｑｕｉｓｔ）在１９３２年基于極坐標(biāo)圖闡述了反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性的論證。為了紀(jì)念他對(duì)控制理論所做出的貢獻(xiàn)，這種圖形又名乃奎斯特曲線，簡(jiǎn)稱乃氏圖。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.2極坐標(biāo)圖

5.2.1典型環(huán)節(jié)１.比例環(huán)節(jié)頻率特性由于Ｋ是一個(gè)與ω?zé)o關(guān)的常數(shù)，相角為０°，因而它的乃氏圖為Ｇ（ｊω）平面實(shí)軸上的一個(gè)定點(diǎn)，如圖５－６（ａ）所示。２．積分、微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的頻率特性上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.2極坐標(biāo)圖

積分環(huán)節(jié)的幅值與ω成反比，相角恒為－９０°，其乃氏圖如圖５－６（ｂ）所示。同理，微分環(huán)節(jié)的乃氏圖如圖５－６（ｃ）所示。３．一階環(huán)節(jié)（１）一階慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為即上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.2極坐標(biāo)圖

式中，φ（ω）＝－ａｒｃｔａｎＴω。下面證明其極坐標(biāo)圖為一個(gè)半圓，如圖５－７（ａ）所示。因?yàn)槭街校谑?，上一?yè)下一頁(yè)返回5.2極坐標(biāo)圖

上式經(jīng)配完全平方后（２）一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為即式中，。圖５－７（ｂ）所示為它的乃氏圖。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.2極坐標(biāo)圖

４．二階環(huán)節(jié)對(duì)于二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性為式中上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.2極坐標(biāo)圖

由式（５－３１）可知，振蕩環(huán)節(jié)的低頻和高頻部分分別為當(dāng)ζ值已知時(shí)，由式（５－１８）可求得對(duì)應(yīng)于不同ω值時(shí)的Ｇ（ｊω）和φ（ω）值。圖５－８所示為當(dāng)ζ＞０時(shí)二階環(huán)節(jié)的乃氏圖。當(dāng)ω＝ωｎ時(shí)，Ｇ（ｊω）＝１／ｊ２ζ，其相角為－９０°。當(dāng)ζ＜１／２時(shí)，在乃氏圖上距原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率就是振蕩環(huán)節(jié)的諧振頻率ωｒ，其諧振峰值Ｍｒ用Ｇ（ｊωｒ）與Ｇ（ｊ０）之比來(lái)表示。圖５－９所示為諧振峰值的確定方法。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.2極坐標(biāo)圖

由上一節(jié)的討論可知，當(dāng)ζ≥１／２時(shí)，振蕩環(huán)節(jié)不產(chǎn)生諧振，Ｇ（ｊω）向量的長(zhǎng)度將隨著ω的增加而單調(diào)地減小。當(dāng)ζ＞１時(shí)，Ｇ（ｓ）有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)極點(diǎn)。如果ζ值足夠大，則其中一個(gè)極點(diǎn)靠近ｓ平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，另一個(gè)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸。顯然，遠(yuǎn)離虛軸的這個(gè)極點(diǎn)對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的影響很小，此時(shí)式（５－１８）的特性與一階慣性環(huán)節(jié)相類同，它的乃氏圖近似于一個(gè)半圓。同理，二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.2極坐標(biāo)圖

式中根據(jù)二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性可得出５－１０的乃氏圖。5.2.2、開環(huán)系統(tǒng)的乃氏圖把開環(huán)頻率特性寫作如下的極坐標(biāo)形式：上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.2極坐標(biāo)圖

當(dāng)ω由０→變化時(shí)，逐點(diǎn)計(jì)算相應(yīng)的Ｇｋ（ｊω）和φ（ω）的值，據(jù)此畫出開環(huán)系統(tǒng)的乃氏圖。在繪制乃氏圖時(shí)，必須先寫出開環(huán)系統(tǒng)的相位表達(dá)式，由它可以看出，當(dāng)ω由０→∞變化時(shí)Ｇｋ（ｊω）向量的旋轉(zhuǎn)方向。在控制工程中，一般只需要畫出乃氏圖的大致形狀和幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置。下面分析不同類型系統(tǒng)的乃氏圖在ω＝０＋和ω→∞時(shí)的特征。我們知道開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率特性為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.2極坐標(biāo)圖

（１）ｖ＝０即０型系統(tǒng)。當(dāng)ω＝０時(shí)，即為實(shí)軸上的一點(diǎn)（Ｋ，０），它是０型系統(tǒng)乃氏圖的起點(diǎn)；當(dāng)ω→∞時(shí)，上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.2極坐標(biāo)圖

當(dāng)０＋＜ω＜時(shí)，乃氏曲線的具體形狀由開環(huán)傳遞函數(shù)所含的具體環(huán)節(jié)和參數(shù)確定。（２）ｖ＝１即Ⅰ型系統(tǒng)。當(dāng)ω＝０＋時(shí)，Ｇｋ（ｊ０＋∞）＝∠－９０°；當(dāng)ω→∞時(shí)，（３）ｖ＝２即Ⅱ型系統(tǒng)。當(dāng)ω＝０＋時(shí)，當(dāng)ω→∞時(shí)，上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.2極坐標(biāo)圖

綜上所述，０型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)極坐標(biāo)圖低頻部分由環(huán)節(jié)Ｋ／（ｊω）ｖ確定，一般形狀如圖５－１１所示。如果Ｇｋ（ｊω）的分母多項(xiàng)式階次高于分子多項(xiàng)式階次（ｎ＞ｍ），則當(dāng)ω→∞時(shí)，ＧｋＧｋ（ｊω）的軌跡將沿著順時(shí)針?lè)较虬矗梗啊悖ǎ睿恚┑慕嵌仁諗坑谧鴺?biāo)原點(diǎn)，如圖５－１２所示。上一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖對(duì)數(shù)頻率特性曲線由兩張圖組成：一張是對(duì)數(shù)幅頻特性圖，另一張是相頻特性圖。為了描繪頻率曲線特性的方便，常取對(duì)數(shù)化的形式。對(duì)式兩邊取對(duì)數(shù)，得這是對(duì)數(shù)頻率特性的表達(dá)式。習(xí)慣上，不考慮０.４３４這個(gè)系數(shù)，而只用相角位移本身。通常將對(duì)數(shù)幅頻特性描繪在以１０為底的對(duì)數(shù)坐標(biāo)中。頻率特性幅值的對(duì)數(shù)常用分貝（ｄＢ）表示，通常為了書寫方便，把用符號(hào)Ｌ（ω）表示，即上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

這樣，對(duì)數(shù)幅頻特性的坐標(biāo)圖中橫坐標(biāo)的角頻率ω，為了在一張尺寸有限的圖紙上同時(shí)能展示出頻率特性的低頻和高頻部分，可對(duì)橫坐標(biāo)采用ｌｇω分度。這里需要注意的是，在坐標(biāo)原點(diǎn)處的ω值不得為零，而為一個(gè)非零的正值。至于它取何值，應(yīng)視實(shí)際所要表示的頻率范圍而定。在以ｌｇω分度的橫坐標(biāo)上，ω每變化１０倍，橫坐標(biāo)就增加一個(gè)單位長(zhǎng)度，這個(gè)單位長(zhǎng)度代表１０倍頻的距離，故稱為十倍頻程，用符號(hào)ｄｅｃ表示，如圖５－１６所示。至于相頻特性，其橫坐標(biāo)與幅頻特性的橫坐標(biāo)相同，其縱坐標(biāo)表示相角位移，采用線性分度，單位為度，由此構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

5.3.1典型環(huán)節(jié)的伯德圖為了便于對(duì)頻率特性作圖，本章中的開環(huán)傳遞函數(shù)均以時(shí)間常數(shù)形式表示。與這種形式的開環(huán)傳遞函數(shù)相對(duì)應(yīng)的開環(huán)頻率特性Ｇ（ｊω）Ｈ（ｊω）一般由下列五種典型環(huán)節(jié)組成。（１）比例環(huán)節(jié)Ｋ（Ｋ＞０）；（２）一階環(huán)節(jié)；（３）積分和微分環(huán)節(jié)；（４）二階環(huán)節(jié)；（５）滯后環(huán)節(jié)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

１．比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻和相頻表達(dá)式分別為如圖５－１７所示，改變開環(huán)頻率特性表達(dá)式中Ｋ的大小，會(huì)使開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性升高或降低一個(gè)常量，但不影響相角的大小。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

２．積分、微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)頻率特性的對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性的表達(dá)式分別為在伯德圖中，頻率比可以用倍頻或十倍頻程來(lái)表示。倍頻程是頻率從ω１變到２ω１的頻帶寬度，其中ω１為任意頻率值；十倍頻程是頻率從ω１變到１０ω１的頻帶寬度，其中ω１也是一個(gè)任意頻率值。因?yàn)樯弦豁?yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

所以該直線的斜率為－２０ｄＢ／ｄｅｃ，表示頻率每增加十倍頻程，幅值衰減２０ｄＢ。當(dāng)ω＝１時(shí)Ｌ（１）＝０是對(duì)數(shù)幅頻特性上的一個(gè)特殊點(diǎn)。半對(duì)數(shù)相頻特性是一條－９０°的直線，它不隨頻率變化。同理，微分環(huán)節(jié)ｊω的對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性表達(dá)式分別為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

顯然，它是一條斜率＋２０ｄＢ／ｄｅｃ的直線，相角恒為９０°圖５－１８（ａ）和圖５－１８（ｂ）所示分別是１／ｊω和ｊω的對(duì)數(shù)幅頻和相頻曲線。如果傳遞函數(shù)中包含因（１／ｊω）ｎ，則對(duì)數(shù)幅值和相角分別為這是一條斜率為－２０ｎｄＢ／ｄｅｃ，且在ω＝１（弧度／秒）處過(guò)零分貝線（ω軸）的直線。其相頻特性是一條與ω?zé)o關(guān)、值為－９０°×ｎ且與ω軸平行的直線。同理，（ｊω）ｎ的對(duì)數(shù)幅值和相角分別為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

3.一階性質(zhì)（１）一階慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為式中，上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

當(dāng)ω?ω１時(shí)，略去式（５－２２）中的（ω／ω１）２項(xiàng)，，這表示Ｌ（ω）的低頻漸進(jìn)線為一條斜率為０的水平線（見(jiàn)圖５－１９）。當(dāng)ω?ω１時(shí)，略去式（５－２２）中的１，則得Ｌ（ω）≈－２０ｌｇωω１，這表示Ｌ（ω）的高頻漸進(jìn)線為一條斜率為－２０ｄＢ／ｄｅｃ的直線，－２０ｄＢ／ｄｅｃ表示當(dāng)輸入信號(hào)的頻率每增加十倍頻程時(shí)，對(duì)應(yīng)輸出信號(hào)的幅值便下降２０ｄＢ。在ω１＝１Ｔ處，。。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

不難看出，兩條漸進(jìn)線交點(diǎn)的頻率ω１＝１Ｔ，這個(gè)頻率稱為轉(zhuǎn)折頻率，又名轉(zhuǎn)角頻率。由于漸進(jìn)線易于繪制，且與精確曲線之間誤差較小，所以初步設(shè)計(jì)時(shí)，（１＋ｊωＴ）－１環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻曲線可用其漸進(jìn)線表示。當(dāng)需要繪制精確的對(duì)數(shù)幅頻曲線時(shí)，轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)的幅值誤差應(yīng)予以修正。圖５－１９所示為對(duì)數(shù)幅頻特性表明該環(huán)節(jié)具有低通濾波器的特性。如果系統(tǒng)的輸入信號(hào)中含有多種頻率的諧波分量，那么在穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的輸出只能復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)中的低頻分量，其他高頻分量的幅值將受到不同程度的衰減，頻率越高的信號(hào)，其幅值的衰減量也越大。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

（２）一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為由于與互為倒數(shù)，因而它們的對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性只相差一個(gè)符號(hào)，則它們的幅頻特性和相頻特性分別關(guān)于橫軸對(duì)稱，所以將一階慣性環(huán)節(jié)的頻率特性曲線翻轉(zhuǎn)畫出，如圖５－１９所示。４．二階振蕩環(huán)節(jié)當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中含有一對(duì)共軛極點(diǎn)時(shí)，就有下列的二階環(huán)節(jié)存在，即上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

式中，。對(duì)數(shù)幅頻特性為在低頻時(shí)，即當(dāng)時(shí)，其對(duì)數(shù)幅值為這表示低頻漸近線為一條斜率為０的水平線。在高頻時(shí)，即當(dāng)ω?ωｎ時(shí)，其對(duì)數(shù)幅值為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

所以高頻漸近線的方程是一條斜率為－４０的直線。不難看出，高頻漸近線與低頻漸近線在ω＝ωｎ處相交。這個(gè)頻率就是上述二階振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率?；趯?shí)際的對(duì)數(shù)幅頻特性既與頻率ω和ωｎ有關(guān)，又與阻尼比ζ有關(guān)，因而這種環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線一般不能用其漸進(jìn)線近似表示，不然會(huì)引起較大的誤差。圖５－２１所示為不同ζ值精確的對(duì)數(shù)幅頻曲線及其漸進(jìn)線，它們之間的誤差曲線如圖５－２２所示。由圖可見(jiàn)，ζ值越小，對(duì)數(shù)幅頻曲線的峰值就越大，它與漸進(jìn)線之間的誤差也就越大。下面分析式（５－２４）在什么條件下，其幅值會(huì)有峰值出現(xiàn)，這個(gè)峰值和相應(yīng)的頻率應(yīng)如何計(jì)算。式（５－２４）的幅頻表達(dá)式為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

令顯然，在某一頻率時(shí)，ｇ（ω）有最小值，則Ｇ（ｊω）有最大值。把式（５－２７）改寫為由式（５－２８）可見(jiàn)，當(dāng)ω＝ωｎ１－２ζ２時(shí)，ｇ（ω）有最小值，Ｇ（ｊω）有最大值，這個(gè)最大值稱為諧振峰值，用Ｍｒ表示。由式（５－２８）求得Ｇ（ｊω）的峰值Ｍｒ?yàn)樯弦豁?yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

Ｍｒ與ζ間的關(guān)系曲線如圖５－２３所示。產(chǎn)生諧振峰值時(shí)的頻率叫諧振頻率，用ωｒ表示，值為由式（５－３０）可見(jiàn)，當(dāng)ζ趨于零時(shí)，諧振頻率ωｒ就趨向于ωｎ。當(dāng)０≤ζ≤０.７０７時(shí)，ωｒ總小于阻尼自然振蕩頻率ωｄ。當(dāng)ζ＞0.７０７時(shí)，式（５－２４）又可改寫為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

不難看出，由于ｇ（ω）隨著ω的增大而增大，因而Ｗ（ｊω）隨著ω的增大而單調(diào)減小。這意味著當(dāng)ζ＞0.７０７時(shí)，幅值曲線不可能有峰值出現(xiàn)，即不會(huì)有諧振。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

相角φ是ω和ζ的函數(shù)。當(dāng)ω＝０時(shí)，相角等于０°；而當(dāng)ω＝ωｎ時(shí)，不管ζ值的大小如何，相角總是等于－９０°。當(dāng)ω?∞時(shí)，相角等于－１８０°。相角曲線對(duì)φ＝－９０°的彎曲點(diǎn)而言是斜對(duì)稱的，如圖５－２３所示。二階微分環(huán)節(jié)與上述振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)關(guān)系，因而它們的對(duì)數(shù)幅值和相角與上述的振蕩環(huán)節(jié)都只差一個(gè)符號(hào)。5.3.2開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則其對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性分別為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

因此，只要作出Ｇ（ｊω）所含各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性曲線，然后對(duì)它們分別進(jìn)行代數(shù)相加，就能畫出開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖。顯然，這樣做既不便捷又費(fèi)時(shí)間。為此，工程上常采用下述的方法，直接畫出開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖，其步驟如下：（１）寫出開環(huán)頻率特性表達(dá)式，將所含各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率由大到小依次標(biāo)在頻率軸（２）繪制開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻曲線的漸近線。漸近線由若干條分段直線組成，其低頻段的斜率為。在ω＝１處，。以低頻段作為分段直線的起始段，沿著頻率增大的方向，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，就改變一次分段直線的斜率。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

如遇到環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻１／Ｔ１，當(dāng)ω≥１／Ｔ１時(shí)，分段直線斜率的變化量為；其他環(huán)節(jié)用類同的方法處理。分段直線的最后一段是開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻曲線的高頻漸近線，其斜率為，ｎ為極點(diǎn)數(shù)，ｍ為零點(diǎn)數(shù)。（３）作出以分段直線表示的漸近線后，如果需要，再按典型環(huán)節(jié)的誤差曲線對(duì)相應(yīng)的分段直線進(jìn)行修正。（４）作相頻特性曲線。根據(jù)表達(dá)式，在低頻、中頻和高頻區(qū)域中各選擇若干個(gè)頻率進(jìn)行計(jì)算，然后連成曲線。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

5.3.3由伯德圖確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)根據(jù)頻率特性測(cè)試儀記錄的數(shù)據(jù)，可以繪制出最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線，然后可以由此頻率特性確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。前面曾討論過(guò)根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制伯德圖，而在這里問(wèn)題正好相反：由實(shí)驗(yàn)測(cè)得伯德圖，經(jīng)過(guò)分析和測(cè)算，確定出系統(tǒng)所包含的各個(gè)環(huán)節(jié)，從而建立起真實(shí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，具體步驟如下：（１）確定漸進(jìn)線形式。對(duì)由實(shí)驗(yàn)測(cè)得伯德圖進(jìn)行分析，用斜率為±２０的倍數(shù)的直線段來(lái)近似，即辨識(shí)出系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性的漸近線形式。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

（２）確定轉(zhuǎn)折頻率，即確定典型環(huán)節(jié)。當(dāng)ω處系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率發(fā)生變化時(shí)，此ω即為某個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。當(dāng)斜率變化２０時(shí)，可知此ω處加了一階微分τｓ＋１；當(dāng)斜率變化－２０時(shí)，可知此ω處加了一個(gè)慣性環(huán)節(jié)；當(dāng)斜率變化－４０時(shí)，可知此ω處加入了振蕩環(huán)節(jié)或兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)（３）積分環(huán)節(jié)確定。伯德圖低頻段的斜率是由積分環(huán)節(jié)的數(shù)目ν決定的，當(dāng)?shù)皖l段的斜率為－２０υ時(shí)，系統(tǒng)即為ν型系統(tǒng)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

（４）開環(huán)增益Ｋ的確定。低頻段為一水平線時(shí)，即幅值為２０ｌｇＫｄＢ，由此求得Ｋ值；低頻段斜率為－２０時(shí)，此線（或其延長(zhǎng)線）與零分貝線交點(diǎn)處的ω值等于開環(huán)增益Ｋ，或由ω＝１ｒａｄ／ｓ作零分貝線的垂線，與－２０斜率線交點(diǎn)處的分貝數(shù)即可求得Ｋ值；當(dāng)?shù)皖l段斜率為－４０時(shí)，此線（或其延長(zhǎng)線）與零分貝線交點(diǎn)處的ω值等于Ｋ。5.3.4最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半ｓ平面上沒(méi)有極點(diǎn)和零點(diǎn)，則稱為最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

反之，在右半ｓ平面上有極點(diǎn)和（或）零點(diǎn)的傳遞函數(shù)稱為非最小相位傳遞函數(shù)。具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。上一頁(yè)返回5.4用MATLAB繪制伯德圖和極坐標(biāo)圖5.4.1用MATLAB繪制伯德圖控制系統(tǒng)的伯德圖是由對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性兩幅圖形組成。用MATLAB繪制伯德圖同樣如此，其功能指令為應(yīng)用ＭＡＴＬＡＢ功能指令還可方便地求解控制系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量。相位裕量和增益裕量是衡量控制系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的重要指標(biāo)，現(xiàn)舉例說(shuō)明。根據(jù)伯德圖和乃奎斯特圖用ＭＡＴＬＡＢ求相位裕量和增益裕量的方法，應(yīng)用ＭＡＴＬＡＢ程序5-３，就能畫出圖5-30所示的伯德圖。下一頁(yè)返回5.4用MATLAB繪制伯德圖和極坐標(biāo)圖

5.4.2用MATLAB繪制極坐標(biāo)圖控制系統(tǒng)的乃奎斯特圖既可用于判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也能確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。由于乃氏圖的繪制工作量很大，因此在分析時(shí)一般只能畫出它的示意圖。但如用MATLAB去繪制，則不僅快捷方便，而且所得的圖形亦較精確。如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則應(yīng)用MATLAB的功能指令就能方便地畫出系統(tǒng)的乃氏圖。其中，num，den分別為Ｗ（ｓ）Ｈ（ｓ）分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)按下式所示形式組成的數(shù)組：上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.4用MATLAB繪制伯德圖和極坐標(biāo)圖

如果Ｗ（ｓ）Ｈ（ｓ）分子多項(xiàng)式ｓ的最高階次ｍ小于其分母多項(xiàng)式ｓ的最高階次ｎ。對(duì)于這種情況，分子中所缺的（ｎ－ｍ）項(xiàng)均用０元素補(bǔ)上。即通過(guò)執(zhí)行nyquist繪圖指令，就能在屏幕上自動(dòng)地生成乃奎斯特圖。用ＭＡＴＬＡＢ繪制乃氏圖時(shí)，坐標(biāo)范圍的選定是很重要的，因?yàn)樗婕皥D形的質(zhì)量。若僅需要畫出ω由０～部分的乃氏圖，則只要把ｐｌｏｔ指令括號(hào)中的函數(shù)內(nèi)容做如下的修改，使之變?yōu)樯弦豁?yè)下一頁(yè)返回5.4用MATLAB繪制伯德圖和極坐標(biāo)圖

例如對(duì)于例５－７的開環(huán)傳遞函數(shù)，應(yīng)用ＭＡＴＬＡＢ程序５－６，就能畫出圖５－３４所示的乃氏圖。上一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5.1閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性與開環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系圖５－３５所示為反饋控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖。反饋控制系統(tǒng)設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，Ｇ（ｓ）為前向通道傳遞函數(shù)；Ｈ（ｓ）為反饋通道傳遞函數(shù)。令頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

其閉環(huán)傳遞函數(shù)為將閉環(huán)特征方程與開環(huán)特征方程之比構(gòu)成一個(gè)輔助方程，得上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

顯然，輔助方程即是閉環(huán)特征方程，其階數(shù)為ｎ階，且分子分母同階，則輔助方程可寫成以下形式式中，－ｚｉ，－ｐｉ為Ｆ（ｓ）的零點(diǎn)和極點(diǎn)。因此，（１）Ｆ（ｓ）的極點(diǎn)就是開環(huán)極點(diǎn)。（２）Ｆ（ｓ）的零點(diǎn)是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

（３）穩(wěn)定條件是Ｆ（ｓ）＝０的所有零點(diǎn)（即閉環(huán)極點(diǎn)）全部位于左半ｓ平面。乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是將開環(huán)頻率響應(yīng)Ｈ（ｊω）Ｇ（ｊω）與１＋Ｈ（ｓ）Ｇ（ｓ）在右半ｓ平面內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)聯(lián)系起來(lái)的判據(jù)。它依據(jù)的是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，由解析的方法和實(shí)驗(yàn)的方法得到的開環(huán)頻率特性曲線，均可用來(lái)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是建立在復(fù)變函數(shù)理論中的輻角原理基礎(chǔ)上的。5.5.2輻角原理上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

設(shè)式中，。根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，除了在ｓ平面上有限個(gè)奇點(diǎn)外的任一點(diǎn)ｓ，函數(shù)Ｆ（ｓ）總是復(fù)變量ｓ的單值正則解析函數(shù)。因此，對(duì)于ｓ平面上給定的一條不通過(guò)任何奇點(diǎn)的連續(xù)封閉曲線Ｃｓ，在Ｆ（ｓ）平面上必存在一條封閉曲線ＣＦ與之對(duì)應(yīng)（見(jiàn)圖５－３６）。若封閉曲線Ｃｓ沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，則與之對(duì)應(yīng)的封閉曲線ＣＦ可能沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，也可能沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，這決定于函數(shù)Ｆ（ｓ）本身。而系統(tǒng)的穩(wěn)定性與曲線ＣＦ包圍原點(diǎn)的圈數(shù)和運(yùn)動(dòng)方向有關(guān)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

所以Ｆ（ｓ）平面上的原點(diǎn)被封閉曲線包圍的次數(shù)和方向，在下面的討論中具有特別重要的意義。由式（５－３６）可知，Ｆ（ｓ）的相角為假設(shè)ｓ平面上的閉合曲線Ｃｓ以順時(shí)針?lè)较驀@著Ｆ（ｓ）的一個(gè)零點(diǎn)ｚ１，Ｆ（ｓ）的其余零點(diǎn)和極點(diǎn)均位于閉合曲線Ｃｓ之外，當(dāng)ｓ沿著閉合曲線Ｃｓ走了一周時(shí)，向量（ｓ－ｚ１）的相角變化了－２π，其余各向量的相角變化都為０°，這表示在Ｆ（ｓ）平面上的映射曲線按順時(shí)針?lè)较驀@坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

如圖５－３７所示。由此推論，若ｓ平面上的閉合曲線Ｃｓ以順時(shí)針?lè)较虬鼑疲ǎ螅┑模趥€(gè)零點(diǎn)，則在Ｆ（ｓ）平面上的映射曲線ＣＦ將按順時(shí)針?lè)较蚶@著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)Ｚ周。同理，若ｓ平面上的閉合曲線Ｃｓ以順時(shí)針?lè)较虬鼑疲ǎ螅┑模袀€(gè)極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，則在Ｆ（ｓ）平面上的映射曲線ＣＦ將按逆時(shí)針?lè)较蚶@著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)Ｐ周。綜上所述，得出下述幅角原理。輻角原理：設(shè)除了有限個(gè)奇點(diǎn)外，Ｆ（ｓ）是一個(gè)解析函數(shù)。如果ｓ平面上的閉合曲線Ｃｓ以順時(shí)針?lè)较虬鼑税鼑疲ǎ螅┑模趥€(gè)上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

零點(diǎn)和Ｐ個(gè)極點(diǎn)，且此曲線不通過(guò)Ｆ（ｓ）的任何零點(diǎn)和極點(diǎn)，則在Ｆ（ｓ）平面上的映射曲線ＣＦ將圍繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)Ｎ周，其中Ｎ＝Ｚ－Ｐ。若Ｎ＞０，表示曲線ＣＦ以順時(shí)針?lè)较驀@；若Ｎ＜０，表示曲線ＣＦ以逆時(shí)針?lè)较驀@。控制系統(tǒng)應(yīng)用中，由Ｈ（ｓ）Ｇ（ｓ）很容易確定的Ｐ數(shù)。因此，如果Ｆ（ｓ）的軌跡圖中確定了Ｎ，則ｓ平面上封閉曲線內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)很容易確定。5.5.3乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

上一頁(yè)下一頁(yè)返回其閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程為式中，ｓ＝ｚ′１、ｚ′２、…、ｚ′ｎ是Ｆ（ｓ）的零點(diǎn)，也是閉環(huán)特征方程式的根；ｓ＝ｐ１、ｐ２、…、ｐｎ是Ｆ（ｓ）的極點(diǎn)，也是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。如果閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其特征方程的根都必須位于ｓ的左半平面5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

內(nèi)。雖然開環(huán)傳遞函數(shù)Ｈ（ｓ）Ｇ（ｓ）的極點(diǎn)和零點(diǎn)可能位于ｓ的右半平面內(nèi)，但如果閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于ｓ的左半平面內(nèi)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。首先在ｓ平面上選取封閉曲線，該封閉曲線為乃奎斯特軌跡（軌跡的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍?，因此?dāng)乃奎斯特軌跡選定后，就可以確定ＣＦ繞原點(diǎn)的周數(shù)Ｎ，而Ｆ（ｓ）位于右半ｓ平面的極點(diǎn)數(shù)Ｐ，即開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)是已知的，由此可以求出Ｚ，進(jìn)而可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。１．ｊω軸上不存在Ｆ（ｓ）的極點(diǎn)和零點(diǎn)當(dāng)ｊω軸上不存在Ｆ（ｓ）的極點(diǎn)和零點(diǎn)時(shí)，ｓ平面上的封閉曲線選取整個(gè)右半ｓ平面。這時(shí)的封閉曲線由整個(gè)ｊω軸上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

（從ω＝－∞到ω＝＋∞）和右半ｓ平面上半徑為無(wú)窮大的半圓軌跡構(gòu)成，如圖５－３８所示。因?yàn)槟丝固剀壽E包圍了整個(gè)右半ｓ平面，所以它包圍了１＋Ｈ（ｓ）Ｇ（ｓ）的所有正實(shí)部的極點(diǎn)和零點(diǎn)。當(dāng)ｓ在無(wú)窮大半圓上變化時(shí)，有即當(dāng)ｓ沿半徑為無(wú)窮大的半圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，函數(shù)保持常數(shù)，F(xiàn)（s）=1

+

H（s）G（s）平面上的一個(gè)點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析沒(méi)有提供任何有用的信息。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

因此，Ｆ（ｓ）平面上的映射曲線ＣＦ是否包圍了坐標(biāo)原點(diǎn)，可以考慮ｓ平面上封閉曲線的一部分，即只考慮ｊω軸。假設(shè)ｊω軸上不存在Ｆ（ｓ）的極點(diǎn)和零點(diǎn)，則當(dāng)ｓ沿著ｊω軸由－ｊ∞變化到＋ｊ∞時(shí)，在Ｆ（ｊω）平面上的映射ＣＦ為設(shè)閉合曲線Ｃｓ以順時(shí)針?lè)较虬鼑耍疲ǎ螅┑模趥€(gè)零點(diǎn)和Ｐ個(gè)極點(diǎn)，由幅角原理可知，在Ｆ（ｊω）平面上的映射曲線ＣＦ將以順時(shí)針?lè)较驀@坐標(biāo)原點(diǎn)Ｎ周，其中上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

由于因而映射曲線Ｆ（ｊω）對(duì)其坐標(biāo)原點(diǎn)的圍繞等價(jià)于開環(huán)頻率特性曲線Ｇ（ｊω）Ｈ（ｊω）在ＧＨ平面上的點(diǎn)（－１，ｊ０）的圍繞，如圖５－３９所示。于是，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可通過(guò)開環(huán)頻率響應(yīng)曲線對(duì)點(diǎn)（－１，ｊ０）的包圍與否來(lái)判別，這就是乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。（１）如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即Ｐ＝０，則其閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Ｇ（ｊω）Ｈ（ｊω）曲線不包括點(diǎn)（－１，ｊ０）。（２）如果開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且一直有Ｐ個(gè)開環(huán)極點(diǎn)在ｓ的右半平面，則其閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Ｇ（ｊω）Ｈ（ｊω）曲線按上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

逆時(shí)針?lè)较驀@點(diǎn)（－１，ｊ０）Ｐ周。顯然，用乃氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，首先要確定開環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，即知道Ｐ為多少；其次要作出乃氏曲線Ｇ（ｊω）Ｈ（ｊω），以確定Ｎ；當(dāng)知道Ｐ和Ｎ后，根據(jù)幅角原理確定Ｚ是否為零。如果Ｚ＝０，表示閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之若Ｚ≠０，表示該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，Ｚ的具體數(shù)值等于閉環(huán)特征方程式的根在ｓ右半平面上的個(gè)數(shù)。２．ｊω上存在極點(diǎn)或零點(diǎn)如果Ｇ（ｓ）Ｈ（ｓ）含有位于ｊω上極點(diǎn)或零點(diǎn)的特殊情況，例如上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

此時(shí)就不能應(yīng)用圖５－３８所示的乃氏途徑，因?yàn)榉窃碇贿m用于乃氏途徑Ｃｓ不通過(guò)Ｆ（ｓ）的奇點(diǎn)的情況。為了研究在這種情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就需要對(duì)ｓ平面上的封閉曲線圖５－４０平面上的乃氏途徑的形狀加以改進(jìn)。在原點(diǎn)附近采用半徑為無(wú)窮小ε的半圓如圖５－４０所示。變量ｓ沿著ｊω軸從－ｊ∞運(yùn)動(dòng)到ｊ０－，從ｊ０－到ｊ０＋，變量ｓ沿著半徑為ε（ε?１）的半圓運(yùn)動(dòng)，再沿著正ｊω軸從ｊ０＋運(yùn)動(dòng)到ｊ∞。從ｊ∞開始，軌跡為半徑無(wú)窮大的半圓，變量沿著此軌跡返回到起始點(diǎn)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

顯然，圖５－３８與圖５－４０的區(qū)別是圖５－４０中多了一個(gè)半徑無(wú)窮小的半圓ＡＢＣ，其余完全相同。因此，只研究圖５－４０中的ＡＢＣ半圓部分在ＧＨ平面上的映射。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

在半圓部分，令，代入上式得當(dāng)ｓ以反時(shí)針?lè)较蜓刂雸A由點(diǎn)Ａ移動(dòng)到點(diǎn)Ｃ時(shí)，由式（５－４０）求得其在ＧＨ平面上的映射曲線，如圖５－４１所示。ν＝１的Ⅰ型系統(tǒng)，在ＧＨ平面上的映射曲線為一個(gè)半徑無(wú)窮大的半圓，如圖５－４１（ａ）所示，圖中ａ′ｂ′ｃ′分別為圖５－４０中ＡＢＣ的映射點(diǎn)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.5

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

ν＝２的Ⅱ型系統(tǒng)，在ＧＨ平面上的映射曲線為一個(gè)半徑無(wú)窮大的圓，如圖５－４１（ｂ）所示，推而廣之：對(duì)于包含環(huán)節(jié)１ｓν，ν＝１、２、３的開環(huán)傳遞函數(shù)Ｇ（ｓ）Ｈ（ｓ），當(dāng)變量ｓ沿半徑為ε（ε?１）的半圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，Ｇ（ｓ）Ｈ（ｓ）的圖形中將有ν個(gè)半徑為無(wú)窮大的順時(shí)針?lè)较虻陌雸A環(huán)繞原點(diǎn)。把半徑為無(wú)窮小ε的半圓在ＧＨ平面上的映射曲線和乃氏曲線Ｇ（ｊω）Ｈ（ｊω）在ω＝ｊ０－和ω＝ｊ０＋處相連接，就組成了一條封閉曲線。這樣，乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)就可以應(yīng)用了。上一頁(yè)返回5.6相對(duì)穩(wěn)定性分析5.6.1增益裕量Ｋｇ在開環(huán)頻率特性的相角φ（ωｇ）＝－１８０°時(shí)的頻率ωｇ處，開環(huán)幅值Ｇ（ｊωｇ）Ｈ（ｊωｇ）的倒數(shù)稱為增益裕量，用Ｋｇ表示，即式中，ωｇ稱為相位交界頻率。上式若用對(duì)數(shù)形式表示，則改寫為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.6相對(duì)穩(wěn)定性分析

式（５－４２）表示系統(tǒng)在變到臨界穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)的增益還能增大多少。例如，在圖５－４６所示的乃氏圖中，若ｄ＝0.5，則Ｋｇ＝１／ｄ＝２，表示該系統(tǒng)到臨界穩(wěn)定時(shí)，其增益還可以增加兩倍。由乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可知，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Ｇ（ｊω）Ｈ（ｊω）曲線不包圍點(diǎn)（－１，ｊ０），即Ｇ（ｊω）Ｈ（ｊω）曲線與其負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處的模小于１，此時(shí)對(duì)應(yīng)Ｋｇ＞１。反之，對(duì)于不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)，其Ｋｇ＜ｌ。5.6.2相位裕量γ描述系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的另一度量是相位裕量。對(duì)應(yīng)時(shí)的頻率稱為剪切頻率ωｃ，又名增益交界頻率。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.6相對(duì)穩(wěn)定性分析

將在剪切頻率ωｃ處，使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)所能接受的附加相位滯后角，定義為相位裕量，用γ表示。對(duì)于任何系統(tǒng)，相位裕量γ的計(jì)算式為式中，φ（ωｃ）是開環(huán)頻率特性在剪切頻率ωｃ處的相位。不難理解，對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，若γ＜０°，表示Ｇ（ｊω）Ｈ（ω）曲線包圍點(diǎn)（－１，ｊ０），相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；反之，若γ＞０°，則相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。一般γ越大，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性也就越好。在工程上通常要求γ為３０°～６０°，增益裕量大于６ｄＢ。這一要求的用意是使開環(huán)頻率特性曲線不要太靠近點(diǎn)上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.6相對(duì)穩(wěn)定性分析

（－１，ｊ０），這是完全有必要的。因?yàn)橄到y(tǒng)的參數(shù)并非絕對(duì)不變，如果γ和Ｋｇ太小，就有可能因參數(shù)的變化而使乃奎斯特曲線包圍（－１，ｊ０）點(diǎn)，即導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。必須指出，對(duì)于開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，不能用增益裕量和相位裕量來(lái)判別其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖５－４７同時(shí)示出了用乃氏圖和伯德圖表示穩(wěn)定和不穩(wěn)定系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量。上一頁(yè)返回5.7頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系5.7.1閉環(huán)頻率特性及其特征量由于開環(huán)和閉環(huán)頻率特性間有著確定的關(guān)系，因而可以通過(guò)開環(huán)頻率特性求取系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為對(duì)應(yīng)的閉環(huán)頻率特性為

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式（５－４４）描述了開環(huán)頻率特性與閉環(huán)頻率特性之間的關(guān)系。如果已知Ｇｋ（ｊω）曲線上的一點(diǎn)，就可由式（５－４４）確定閉環(huán)頻率特性曲線上相應(yīng)的一點(diǎn)。用這種方法逐點(diǎn)繪制閉環(huán)頻率特性曲線，顯然是既煩瑣又很費(fèi)時(shí)間。為此，過(guò)去工程上用圖解法去繪制閉環(huán)頻率特性曲線的工作，現(xiàn)在已由計(jì)算機(jī)ＭＡＴＬＡＢ軟件去實(shí)現(xiàn)，大大提高了繪圖的效率和精度。１．閉環(huán)幅頻特性的零頻值設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.7頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系

令上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.7頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系

式中，Ｋ為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)；ν為系統(tǒng)的無(wú)差度，即開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的重?cái)?shù)；Ｇ０（ｓ）為開環(huán)傳遞函數(shù)Ｇｋ（ｓ）中除開環(huán)放大系數(shù)Ｋ和積分項(xiàng)１ｓν以外的表達(dá)式，它滿足由上式得系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.7頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系

對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)頻率特性為即由此得到系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性的零頻值是上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.7頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系

當(dāng)ν＝０時(shí)，閉環(huán)幅頻特性的零頻值為當(dāng)ν≥１時(shí)，閉環(huán)幅頻特性的零頻值為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.7頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系

０型與Ⅰ型及Ⅰ型以上系統(tǒng)Ｍ（０）的差異，反映了它們跟隨階躍輸入時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差的不同，前者有穩(wěn)態(tài)誤差存在，后者沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生。２．頻域性能指標(biāo)圖５－４８所示為Ｍ（０）＝１時(shí)閉環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的一般形狀。諧振峰值Ｍｒ是指系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性幅值的最大值，它反映了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。一般而言，Ｍｒ值越大，則系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量也越大。諧振頻率ωｒ產(chǎn)生諧振峰值對(duì)應(yīng)的頻率，在一定程度上反映了系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的速度，ωｒ越大，則暫態(tài)響應(yīng)越快。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.7頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系

當(dāng)幅頻值下降到低于零頻率值以下３ｄＢ時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率ωｂ稱為截止頻率，即有對(duì)應(yīng)于閉環(huán)幅頻值不低于－３ｄＢ的頻率范圍０≤ω≤ωｂ，通常稱為系統(tǒng)的頻帶寬度。系統(tǒng)的頻帶寬度反映了系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的能力，具有寬的帶寬的系統(tǒng)，其瞬態(tài)響應(yīng)的速度快，調(diào)整的時(shí)間也小。對(duì)此，舉例說(shuō)明如下。5.7.2二階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)與頻域響應(yīng)的關(guān)系上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.7頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系

對(duì)于二階系統(tǒng)，其時(shí)域響應(yīng)與頻域響應(yīng)之間有著確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖５－５０所示。二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為對(duì)應(yīng)的閉環(huán)頻率特性為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.7頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系

式中，１．諧振峰值Ｍｒ與系統(tǒng)超調(diào)量Ｍｐ的關(guān)系當(dāng)０≤ζ≤１２時(shí)，系統(tǒng)有諧振產(chǎn)生，其諧振頻率和諧振峰值分別為上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.7頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系

由式（５－４８）得為了便于對(duì)Ｍｒ和Ｍｐ作比較，把Ｍｒ和Ｍｐ與ζ的關(guān)系曲線都畫在圖５－５１中。由圖可見(jiàn)，Ｍｐ和Ｍｒ均隨著ζ的減小而增大。顯然，對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)，若在時(shí)域內(nèi)的Ｍｐ大，則在頻域中的ζ必然也是大的；反之亦然。為了使系統(tǒng)具有良好的相對(duì)穩(wěn)定性，在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，通常取ζ值為0.４～0.7，對(duì)應(yīng)的Ｍｒ?qū)⒆湓冢薄?.4。在０＜ζ＜0.707的情況下，Ｍｒ和Ｍｐ的值是逐一對(duì)應(yīng)的；而當(dāng)ζ＞0.707時(shí)，Ｍｒ不再存在。上一頁(yè)下一頁(yè)返回5.7頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間