第24講相似三角形【構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】知識(shí)點(diǎn)1比例1．兩線(xiàn)段的比2.比例的性質(zhì)3.平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例4.黃金分割知識(shí)點(diǎn)2相似三角形性質(zhì)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例相似三角形的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(高線(xiàn)、中線(xiàn)、角平分線(xiàn))的比都等于相似比相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方判定兩角分別相等的兩三角形相似兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似【滿(mǎn)分技能】判定思路(1)有平行截線(xiàn)→用平行線(xiàn)的性質(zhì)找等角．(2)有一對(duì)等角→找另一對(duì)等角或該角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．(3)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例→找?jiàn)A角相等或第三邊對(duì)應(yīng)成比例．(4)直角三角形→找一對(duì)銳角相等或兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例．(5)等腰三角形→找頂角相等或一對(duì)底角相等或底和腰對(duì)應(yīng)成比例．知識(shí)點(diǎn)3相似多邊形性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例對(duì)應(yīng)邊的比、周長(zhǎng)的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方判定各對(duì)應(yīng)角相等，各對(duì)應(yīng)邊成比例的多邊形叫相似多邊形知識(shí)點(diǎn)4圖形的位似定義如果兩個(gè)相似多邊形每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心性質(zhì)位似圖形對(duì)應(yīng)角相等位似圖形對(duì)應(yīng)邊平行(或共線(xiàn))且成比例位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)或延長(zhǎng)線(xiàn)相交于同一點(diǎn)位似圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；位似圖形面積比等于相似比的平方位似變換與坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘同一個(gè)數(shù)k(k≠0，1)，所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比為|k|在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或－k【注意】

1.位似中心有時(shí)在兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間，有時(shí)在兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上．2．位似是在相似的基礎(chǔ)上要求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)交于一點(diǎn)，因此位似是相似的特殊情況．知識(shí)點(diǎn)5相似的應(yīng)用?？碱?lèi)型利用光的反射定律求物體的高度利用影子計(jì)算建筑物的高度，同一時(shí)刻，物高與影長(zhǎng)成比例構(gòu)造相似三角形計(jì)算不能直接測(cè)量的物體的高度(寬度)考點(diǎn)3相似三角形的性質(zhì)與判定(5年6地22考)1．[2022·包頭]如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AB，CD，則△ABE與△CDE的周長(zhǎng)比為()A．1∶4B．4∶1C．1∶2D．2∶12．[2024·赤峰]數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請(qǐng)同學(xué)們經(jīng)過(guò)小組討論，提出探究問(wèn)題．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)ED交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠BEF＝∠CED＝90°，∴∠F＝90°－∠B，∠CDE＝90°－∠C，且∠CDE＝∠ADF，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF；∵PF⊥AC，∴∠ACF＋∠CFP＝90°，∵FE⊥BC，∴∠B＋∠AFD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠B＝∠ACF，∴∠AFD＝∠CFP，3.[半角模型][2023·赤峰]數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖1，把一個(gè)含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)C重合，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，45°角的兩邊CM，CN始終與正方形的邊AD，AB所在直線(xiàn)分別相交于點(diǎn)M，N，連接MN，可得△CMN.【探究一】如圖2，把△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，同時(shí)得到點(diǎn)H在直線(xiàn)AB上．求證：∠CNM＝∠CNH；【探究二】在圖2中，連接BD，分別交CM，CN于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：△CEF∽△CNM；解：【探究一】證明：∵把△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，同時(shí)得到點(diǎn)H在直線(xiàn)AB上，∴CM＝CH，∠MCH＝90°，∴∠NCH＝∠MCH－∠MCN＝90°－45°＝45°，∴∠MCN＝∠HCN，【探究二】證明：如圖2所示，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA＝45°，又∵∠MCN＝45°，∴∠FBN＝∠FCE＝45°，∵∠EFC＝∠BFN，∴∠CEF＝∠FNB，又∵∠CNM＝∠CNH，∴∠CEF＝∠CNM，又∵公共角∠ECF＝∠NCM，∴△CEF∽△CNM；【探究三】∵AC，BD是正方形的對(duì)角線(xiàn)，∴∠CDE＝∠CDM＋∠EDM＝135°，∠CAN＝180°－∠BAC＝135°，∴∠CDE＝∠CAN，如圖3所示，將△DMC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BGC，則點(diǎn)G在直線(xiàn)AB上．∴MC＝GC，∠MCG＝90°，∴∠NCG＝∠NCM＝45°，又∵CN＝CN，∴△NCG≌△NCM(SAS)，∴∠MNC＝∠GNC，考點(diǎn)4圖形的位似(5年6地2考)1．[2025·內(nèi)蒙古]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O(0，0)，A(2，1)，B(1，2)，以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限畫(huà)△OA′B′與△OAB位似，若△OA′B′與△OAB的相似比為2∶1，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為()A．(－2，－1)B．(－4，－2)C．(－1，－2)D．(－2，－4)2．[呼和浩特中考]圖中的兩個(gè)三角形是位似圖形，它們的位似中心是()A．點(diǎn)PB．點(diǎn)OC．點(diǎn)MD．點(diǎn)N考點(diǎn)5相似三角形的應(yīng)用(5年6地2考)1．[2022·赤峰]如圖，為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿AB的高度，九年級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組，根據(jù)光的反射定律，利用鏡子、皮尺和測(cè)角儀等工具，按以下方式進(jìn)行測(cè)量：把鏡子放在點(diǎn)O處，然后觀測(cè)者沿著水平直線(xiàn)BO后退到點(diǎn)D，這時(shí)恰好能在鏡子里看到旗桿頂點(diǎn)A，此時(shí)測(cè)得觀測(cè)者觀看鏡子的俯角α＝60°，觀測(cè)者眼睛與地面距離CD＝1.7m，BD＝11m，則旗桿AB的高度約為_(kāi)__m．(結(jié)果取整數(shù)，≈1.7)172．[2022·鄂爾多斯]桿及升旗臺(tái)的剖面如圖所示，MN，CD為水平線(xiàn)，旗桿AB⊥CD于點(diǎn)B.某一時(shí)刻，旗桿AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一時(shí)刻，測(cè)得豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿影長(zhǎng)為0.25m(標(biāo)桿影子在坡面DN上)，此時(shí)光線(xiàn)AE與水平線(xiàn)的夾角為80.5°，求旗桿AB的高度．(參考數(shù)據(jù)：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6)1．[2025·長(zhǎng)春]將直角三角形紙片ABC(∠C＝90°)按如圖方式折疊兩次再展開(kāi)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()2．[2025·河北]如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，延長(zhǎng)BA，BC，分別交直線(xiàn)DE于點(diǎn)M，N.若添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△MAE∽△DCN，則這個(gè)條件是()A．∠B＋∠4＝180°B．CD∥ABC．∠1＝∠4D．∠2＝∠33．[2025·眉山]如圖，在4×3的方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，將△OAB以點(diǎn)O為位似中心放大后得到△OCD，則△OAB與△OCD的周長(zhǎng)之比是()A．2∶1B．1∶2C．4∶1D．1∶44.[跨學(xué)科創(chuàng)新·物理][2025·內(nèi)江]阿基米德曾說(shuō)過(guò)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我能撬動(dòng)整個(gè)地球．”這句話(huà)生動(dòng)體現(xiàn)了杠桿原理：通過(guò)調(diào)整支點(diǎn)位置和力臂長(zhǎng)度，用較小的力就能撬動(dòng)重物．這一原理在生活中隨處可見(jiàn)．如圖甲，這是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，另一端就會(huì)撬動(dòng)石頭．如圖乙所示，動(dòng)力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，則AC的長(zhǎng)度是()A．80cmB．60cmC．50cm

D．40cm5．[2025·浙江]如圖，五邊形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，已知點(diǎn)A，A′的坐標(biāo)分別為(2，0)，(3，0)．若DE的長(zhǎng)為3，則D′E′的長(zhǎng)為()6．[2025·陜西]如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，EF⊥EC，則△CEF的面積為()A．10B．8C．5D．47．[2025·宜賓]如圖，一張銳角三角形紙片ABC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝2DB，沿DE將△ABC剪成面積相等的兩部分，則的值為()A．1B．2C．3D．48．[2025·成都]若＝3，則的值為_(kāi)_．49．[2025·安徽]如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系xOy，△ABC的頂點(diǎn)和A1均為格點(diǎn)(網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn))．已知點(diǎn)A和A1的坐標(biāo)分別為(－1，－3)和(2，6)．(1)在所給的網(wǎng)格圖中描出邊AB的中點(diǎn)D，并寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大得到△A1B1C1，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1，請(qǐng)?jiān)谒o的網(wǎng)格圖中畫(huà)出△A1B1C1.解：(1)如圖所示，點(diǎn)D即為邊AB的中點(diǎn)，∵A(－1，－3)，B(－3，1)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2，－1)；(2)如圖所示，△A1B1C1即為所求作的三角形．10．[2025·河南]焦裕祿紀(jì)念園是全國(guó)重點(diǎn)革命烈士紀(jì)念建筑物保護(hù)單位，革命烈士紀(jì)念碑位于紀(jì)念園南部的中心．某綜合與實(shí)踐小組開(kāi)展測(cè)量紀(jì)念碑高度的活動(dòng)，記錄如下．活動(dòng)主題測(cè)量紀(jì)念碑的高度實(shí)物圖和測(cè)量示意圖測(cè)量說(shuō)明如圖，紀(jì)念碑AB位于有臺(tái)階的平臺(tái)BC上，太陽(yáng)光下，其頂端A的影子落在點(diǎn)D處，同一時(shí)刻，豎直放置的標(biāo)桿DE頂端E的影子落在點(diǎn)F處，位于點(diǎn)M處的觀測(cè)者眼睛所在位置為點(diǎn)N，點(diǎn)N，E，A在一條直線(xiàn)上，紀(jì)念碑底部點(diǎn)B在觀測(cè)者的水平視線(xiàn)上測(cè)量數(shù)據(jù)DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m備注點(diǎn)F，M，D，C在同一水平線(xiàn)上根據(jù)以上信息，解決下列問(wèn)題．(1)由標(biāo)桿的影子DF的長(zhǎng)和標(biāo)桿DE的長(zhǎng)相等，可得CD＝CA，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求紀(jì)念碑AB的高度；(3)小紅通過(guò)間接測(cè)量得到CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出紀(jì)念碑AB的高度約為18.5m．查閱資料得知，紀(jì)念碑的實(shí)際高度為19.64m．請(qǐng)判斷小紅的結(jié)果和(2)中的結(jié)果哪個(gè)誤差較大？并分析誤差較大的可能原因(寫(xiě)出一條即可)．解：(1)∵太陽(yáng)光下，其頂端A的影子落在點(diǎn)D處，同一時(shí)刻，豎直放置的標(biāo)桿DE頂端E的影子落在點(diǎn)F處，∵標(biāo)桿的影子DF的長(zhǎng)和標(biāo)桿DE的長(zhǎng)相等，即DE＝DF，∴CD＝CA；(2)如圖，令BN與DE的交點(diǎn)為H，則四邊形BCDH和MNHD是矩形，∵DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m，∴CD＝BH，BC＝DH