三角形的證明及其應(yīng)用第1節(jié)三角形內(nèi)角和定理第4課時(shí)多邊形的外角和學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.結(jié)合廣場(chǎng)五邊形等生活情境,理解多邊形外角和的定義,掌握“多邊形外角和等于360°”的定理,并能進(jìn)行證明.2.能運(yùn)用內(nèi)角和與外角和的關(guān)系解決多邊形邊數(shù)與角度的計(jì)算問(wèn)題，提升邏輯推理能力.3.關(guān)聯(lián)多邊形內(nèi)角和、三角形外角等舊知,通過(guò)問(wèn)題鏈逐步深入,體會(huì)“從特殊到一般”“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.教學(xué)設(shè)計(jì)的基本環(huán)節(jié)協(xié)作破冰問(wèn)題構(gòu)建情境啟航教師示范鞏固拓展當(dāng)堂檢測(cè)反思總結(jié)作業(yè)設(shè)計(jì)情境啟航

問(wèn)題：小剛繞著五邊形公園步道跑一圈,跑步方向改變的角度總和是多少？如果換成六邊形、八邊形，甚至任意多邊形,這個(gè)角度總和會(huì)變嗎？我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)方法證明這個(gè)結(jié)論？問(wèn)題1:上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了多邊形內(nèi)角和公式,你還記得n邊形的內(nèi)角和是多少嗎？五邊形的內(nèi)角和是多少度？(n?2)×180°；五邊形內(nèi)角和540°問(wèn)題2:三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是什么關(guān)系？互為鄰補(bǔ)角，和為180°問(wèn)題構(gòu)建

問(wèn)題3:小剛在五邊形步道逆時(shí)針慢跑,每次從一條邊轉(zhuǎn)到下一條邊時(shí)，跑步方向改變的角是哪個(gè)角？請(qǐng)?jiān)谙聢D上標(biāo)出這些角,說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)？方向改變的角是五邊形的外角,即內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線組成的角.問(wèn)題構(gòu)建

問(wèn)題4:他每跑完一圈,跑步方向改變的角的總和是多少度？你能先猜一猜,再嘗試用學(xué)過(guò)的知識(shí)驗(yàn)證嗎？根據(jù)上節(jié)課所學(xué)知識(shí),五邊形的內(nèi)角和等于：(5-2)×180°=540°，圖中外角∠1，∠2，∠3，∠4，∠5與內(nèi)角形成5組鄰補(bǔ)角，和為180°，內(nèi)外角之和等于5×180°=900°所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°問(wèn)題構(gòu)建

追問(wèn):如果步道是六邊形、八邊形，跑完一圈方向改變的角的總和還是360°嗎？請(qǐng)用同樣的方法推導(dǎo)六邊形和八邊形的外角和.六邊形內(nèi)角與外角總和6×180°=1080°內(nèi)角和：(6?2)×180°=720°外角和：1080°?720°=360°，驗(yàn)證結(jié)論.八邊形內(nèi)角與外角總和8×180°=1440°內(nèi)角和：(8?2)×180°=1080°外角和：1440°?1080°=360°，驗(yàn)證結(jié)論.猜想:任意多邊形的外角和都等于360°.問(wèn)題構(gòu)建

問(wèn)題5:對(duì)于任意n邊形（n≥3），你能仿照五邊形、六邊形、八邊形的推導(dǎo)過(guò)程,證明它的外角和等于360°嗎？1.n邊形所有內(nèi)角與外角的總和：n×180°2.n邊形內(nèi)角和：(n?2)×180°3.外角和=n×180°?(n?2)×180°=360°4.結(jié)論：多邊形的外角和等于360°（與邊數(shù)無(wú)關(guān)）追問(wèn)：在研究多邊形外角和的過(guò)程中，你經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？你有怎樣的思考？猜想驗(yàn)證歸納從特殊到一般轉(zhuǎn)化問(wèn)題構(gòu)建

例5一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍,它是幾邊形？定理多邊形的外角和等于360°解:設(shè)多邊形邊數(shù)為n,內(nèi)角和(n?2)×180°，外角和360°可列方程：(n?2)×180°=3×360°解得n=8，即八邊形.答:這個(gè)多邊形是八邊形.追問(wèn)：解決本例主要應(yīng)用了什么數(shù)學(xué)思想？方程思想?yún)f(xié)作破冰問(wèn)題6:如果一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都是45°,這個(gè)正多邊形是幾邊形？它的每個(gè)內(nèi)角是多少度？邊數(shù)n=360°÷45°=8（正八邊形）每個(gè)內(nèi)角=180°?45°=135°追問(wèn):你還有其他的計(jì)算方法嗎？1.正多邊形的每個(gè)內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角,因此每個(gè)內(nèi)角135°.2.多邊形內(nèi)角和公式：內(nèi)角和=(n?2)×180°正多邊形的內(nèi)角和也可以表示為:n×每個(gè)內(nèi)角的度數(shù).可列方程：(n?2)×180°=n×135°3.解得：n=8結(jié)論：這個(gè)正多邊形是正八邊形，每個(gè)內(nèi)角是135°.協(xié)作破冰多邊形內(nèi)外角綜合大挑戰(zhàn)（改編課本p12頁(yè)第15題）課堂小組競(jìng)賽版任務(wù)單競(jìng)賽規(guī)則分組:全班分為8個(gè)小組,每組6人,取一個(gè)響亮的隊(duì)名.積分:完成基礎(chǔ)任務(wù)得10分,挑戰(zhàn)拓展任務(wù)得20分,搶答正確得5分,錯(cuò)誤不扣分.勝負(fù)：競(jìng)賽結(jié)束時(shí)積分最高的小組獲得“幾何先鋒隊(duì)”稱號(hào)，并獲得小獎(jiǎng)品.第一關(guān)：基礎(chǔ)任務(wù)（必答）題目：在四邊形的四個(gè)內(nèi)角中,最多能有幾個(gè)鈍角？最多能有幾個(gè)銳角？請(qǐng)寫出完整推導(dǎo)過(guò)程.協(xié)作破冰步驟探究?jī)?nèi)容你的推導(dǎo)（請(qǐng)寫在白板上）1四邊形內(nèi)角和是多少？2最多能有幾個(gè)鈍角？3最多能有幾個(gè)銳角？(4?2)×180°=360°鈍角＞90°,若4個(gè)鈍角,內(nèi)角和＞360°,矛盾；3個(gè)鈍角時(shí),第4個(gè)角=360°-3×鈍角,可取正數(shù),故最多3個(gè)鈍角銳角＜90°,對(duì)應(yīng)外角＞90°;若4個(gè)銳角，外角和＞360°,矛盾；3個(gè)銳角時(shí),第4個(gè)外角=360°-3×外角,可取正數(shù),故最多3個(gè)銳角完成時(shí)間:5分鐘,完成后舉手示意,老師檢查并給分.協(xié)作破冰第二關(guān)：搶答挑戰(zhàn)（共3題）1.三角形中最多能有幾個(gè)鈍角？（搶答,5分）2.五邊形中最多能有幾個(gè)銳角？（搶答,5分）3.一個(gè)多邊形的外角和是360°,它一定是四邊形嗎？（搶答,5分）三角形中最多能有幾個(gè)鈍角？答案：最多1個(gè)鈍角解析：三角形內(nèi)角和為180°,鈍角的定義是大于90°且小于180°.若存在2個(gè)鈍角,僅這兩個(gè)角的和就會(huì)超過(guò)180°,與三角形內(nèi)角和為180°矛盾.因此,三角形中最多只能有1個(gè)鈍角.教師示范第二關(guān)：搶答挑戰(zhàn)（共3題）1.三角形中最多能有幾個(gè)鈍角？（搶答,5分）2.五邊形中最多能有幾個(gè)銳角？（搶答,5分）3.一個(gè)多邊形的外角和是360°,它一定是四邊形嗎？（搶答,5分）2.答案：最多3個(gè)銳角.解析:任意多邊形的外角和恒為360°，銳角的外角是大于90°的角.若五邊形有4個(gè)銳角,對(duì)應(yīng)的4個(gè)外角都大于90°,則這4個(gè)外角的和會(huì)超過(guò)4×90°=360°，與外角和為360°矛盾.若有3個(gè)銳角,對(duì)應(yīng)的3個(gè)外角各取100°（共300°）,剩下2個(gè)外角的和為360°?300°=60°，可以是30°和30°,滿足條件.因此,五邊形中最多能有3個(gè)銳角.教師示范第二關(guān)：搶答挑戰(zhàn)（共3題）1.三角形中最多能有幾個(gè)鈍角？（搶答,5分）2.五邊形中最多能有幾個(gè)銳角？（搶答,5分）3.一個(gè)多邊形的外角和是360°,它一定是四邊形嗎？（搶答,5分）3.答案：不一定.解析:多邊形外角和的性質(zhì)是:任意多邊形的外角和都恒為360°與邊數(shù)無(wú)關(guān).例如，三角形、五邊形、六邊形的外角和都是360°,所以外角和360°的多邊形不一定是四邊形.第三關(guān)：拓展任務(wù)（選做,20分）題目:如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角中,銳角的個(gè)數(shù)為k,請(qǐng)你推導(dǎo)出k的最大值與多邊形邊數(shù)n的關(guān)系?鞏固拓展定理任意多邊形的外角和為360°內(nèi)角與外角的關(guān)系:若一個(gè)內(nèi)角是銳角,則它的外角為180°?內(nèi)角,滿足90°＜外角＜180°.不等式推導(dǎo):設(shè)多邊形有k個(gè)銳角,這k個(gè)銳角對(duì)應(yīng)的外角均大于90°,其余(n?k)個(gè)外角均大于0°,所有外角之和為360°,因此：k×90°＜360°,化簡(jiǎn)得:k＜4,由于k是正整數(shù),故k≤3.結(jié)論:對(duì)于任意邊數(shù)n≥3的多邊形,其內(nèi)角中銳角的個(gè)數(shù)k的最大值為3,與邊數(shù)n無(wú)關(guān).舉例驗(yàn)證：三角形:最多3個(gè)銳角（如等邊三角形）.四邊形:最多3個(gè)銳角.五邊形:最多3個(gè)銳角.十邊形:最多3個(gè)銳角。這是因?yàn)槿绻?個(gè)或更多銳角,對(duì)應(yīng)的4個(gè)外角之和就會(huì)超過(guò)4×90°=360°，與外角和為360°矛盾.鞏固拓展積分表小組名稱基礎(chǔ)任務(wù)搶答得分拓展任務(wù)總積分??頒獎(jiǎng)環(huán)節(jié)競(jìng)賽結(jié)束后,為積分最高的小組頒發(fā)“幾何先鋒隊(duì)”獎(jiǎng)狀,并贈(zèng)送幾何尺套裝.問(wèn)題7:如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的k倍（k為正整數(shù)），你能寫出邊數(shù)n與k的關(guān)系式嗎？(n?2)×180°=k×360°，化簡(jiǎn)得n=2k+2當(dāng)堂檢測(cè)第1題圖

A

當(dāng)堂檢測(cè)

第2題圖當(dāng)堂檢測(cè)3.

當(dāng)堂檢測(cè)（2）請(qǐng)用文字描述上述關(guān)系式.解：四邊形的任意兩個(gè)外角的和等于與它們不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

反思總結(jié)1.多邊形內(nèi)角和與外角和的核心區(qū)別是什么？分別適合解決